空间几何体的直观图公式（转化与化归思想）

空间几何体的直观图公式（转化与化归思想）求：PD＝AB＝2，E，F，G 分别为 PC，PD，BC 的中点．求解时， 常结合所给几何体的结构特征及条件，通过割、补等手段转化为规则几何体体积的和、差求解．二、典例剖析：【例题】如图所示，在四棱锥 P-­ABCD 中 ，底面 ABCD 为正方形，PD⊥平面 ABCD，

一、空间几何体的体积用到转化与化归思想的常见题型：

1、求某些三棱锥、四棱锥体积：

求解过程中当高不易求时，常需转换顶点利用等体积法解决．

2、不规则几何体的体积的求解：

求解时， 常结合所给几何体的结构特征及条件，通过割、补等手段转化为规则几何体体积的和、差求解．

二、典例剖析：

【例题】如图所示，在四棱锥 P-­ABCD 中 ，底面 ABCD 为正方形，PD⊥平面 ABCD，

PD＝AB＝2，E，F，G 分别为 PC，PD，BC 的中点．

求：

① 四棱锥 E-­ABCD 的体积；

② 三棱锥 P-­EFG 的体积．

【解题思路】　

① 看到 E 到平面 ABCD 的距离不易求，想到转化与化归思想，

EF∥平面 ABCD 转化为求 _{F­-ABCD 的体积}；

② 看到 P 到平面 EFG 的距离不易求，想到转化与化归思想转化为求 _{G­-PEF 的体积}.

【解析】

①

∵ E，F 分别为 PC，PD 的中点，

∴ EF∥DC，

又∵ DC ⊂ 平面 ABCD，

∴ EF∥平面 ABCD，

∵ PD⊥平面 ABCD，

∴ FD⊥平面 ABCD，且 FD＝1/2PD＝1，

②

∵ PD⊥平面 ABCD，GC ⊂ 平面 ABCD，

∴ GC⊥PD.

又∵ ABCD 为正方形，

∴ GC⊥CD.

∵ PD∩CD＝D，

∴ GC⊥平面 PCD.

∵ PF＝1/2 PD＝1，EF＝1/2 CD＝1，

∴ S_△PEF＝1/2 EF×PF＝1/2 .

∵ GC＝1/2 BC＝1，

习题练习

一个空间几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为 12π ＋ 8√5/3，

则该几何体的正(主)视图中 x 的值为 ( )

A．5 B．3 C．4 D．2

【解析】　

由三视图知，几何体是一个组合体，上面是一个正四棱锥，四棱锥的底面是一个对角线为 4 的正方形，侧棱长是 3，如下图所示：

根据勾股定理知正四棱锥的高是

下面是一个圆柱，底面直径是 4，母线长是 x，

因为该几何体的体积为 12π ＋ 8√5/3，

【答案】　B

三、知识总结：

1．必记公式

(1) 表面积公式

表面积＝侧面积＋底面积，其中：

① 多面体的表面积为各个面的面积的和；

② 圆柱的表面积公式：

③ 圆锥的表面积公式：

④ 圆台的表面积公式：

⑤ 球的表面积公式：

(2) 体积公式

2．重要结论

① 画三视图的基本要求：

正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高；

② 三视图排列规则：

俯视图放在正(主)视图的下面；侧(左)视图放在正(主)视图的右面．

3．易错提醒

① 未注意三视图中实、虚线的区别：

在画三视图时应注意看到的轮廓线画成实线，看不到的轮廓线画成虚线．

② 不能准确分析组合体的结构致误 ：

对简单组合体表面积与体积的计算要注意其构成几何体的面积、体积是和还是差．