数学分析与小学数学的联系（呼和浩特市由比例线段问题浅谈我的数学教学理念）

数学分析与小学数学的联系（呼和浩特市由比例线段问题浅谈我的数学教学理念）消点法的分析过程把图中五个点分为三组：第一组为点A，B，C我们把这组的点叫做自由点，这些点不受到其它条件的约束（前提条件点A、B、C不共线）。第二组为点D、E（此点由第一组约束产生）。第三组为点F，有了前面五个点才有F。我们把第一组叫做自由点，后两组叫做约束点，也就是由自由点约束产生的。这种点之间的制约关系，对解题至关重要。本题具体解题步骤问题提出已知，如图，在△ABC中，AD:DC=1:2，BE:EC=3:2，求BF:DF笔者设计的解题策略学生在处理这个问题时，都知道需要加平行线，构造A字形或八字形，然而常常是上课看板演怎么加怎么行，回家做作业怎么加怎么不行，感到很困惑。为了突破这个教学难点，笔者经过一段时间的研究，得到了以下解题流程：① 排除“装饰性”线段（如图1）② 此时图形有四条完整线段，其中涉及“条件”的是线段AC、BC，涉及“结论”的是线段BD（称为“有关线段”），线段AE是与

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文章来源：呼和浩特中小学数学（hhhtshuxue），谢谢合作！

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通过十六年的初中教学经历，教育数学的雏形慢慢在头脑中形成，笔者仅是一草根，在此大胆谈谈我自己的“教育数学”观，说地不当之处恳请大家指正。问题提出已知，如图，在△ABC中，AD:DC=1:2，BE:EC=3:2，求BF:DF

笔者设计的解题策略学生在处理这个问题时，都知道需要加平行线，构造A字形或八字形，然而常常是上课看板演怎么加怎么行，回家做作业怎么加怎么不行，感到很困惑。为了突破这个教学难点，笔者经过一段时间的研究，得到了以下解题流程：① 排除“装饰性”线段（如图1）② 此时图形有四条完整线段，其中涉及“条件”的是线段AC、BC，涉及“结论”的是线段BD（称为“有关线段”），线段AE是与“条件和结论无关”的线段（称为“无关线段”），观察C、D、B三点，它们在有关线段上且不在无关线段上，过这些点之一做平行线与无关线段（或所在直线）相交且不与有关线段（或所在直线）相交（如图2）即可

解法一：过点D做AE平行线没有意义且无法做AC、DB平行线，只能做BC平行线解法二：过点C做AE平行线没有意义且无法做AC、CB平行线，只能做BD平行线解法三：过点B做AE平行线没有意义且无法做BC、DB平行线，只能做AC平行线

当笔者把“添加平行线”的可操作的流程清晰地展现出来后，学生处理该问题的过程成为了算法过程，成功率大大提高，并一扫这类问题的神秘感。张院士设计的解题策略对此类问题张景中院士提供的则是另一种完全不同的策略：消点法。消点法．一般说来，只要题目中的条件可以用尺规作图表示出来，并且结论可以表示成常用几何量的多项式形式（常用几何量包括面积、线段及角的三角函数），那么，就总可以用消点法一步一步地做出解答（《消点法的运用》张景中、彭翕成著），消点法是在面积法的基础上发展起来的，那么下面列出消点法要用到的公式定理有：（注：记号△XYZ既用来表示三角形XYZ，在不会有歧义时也表示三角形XYZ的面积）

问题提出已知，如图，在△ABC中，AD:DC=1:2，BE:EC=3:2，求BF:DF

消点法的分析过程把图中五个点分为三组：第一组为点A，B，C我们把这组的点叫做自由点，这些点不受到其它条件的约束（前提条件点A、B、C不共线）。第二组为点D、E（此点由第一组约束产生）。第三组为点F，有了前面五个点才有F。我们把第一组叫做自由点，后两组叫做约束点，也就是由自由点约束产生的。这种点之间的制约关系，对解题至关重要。本题具体解题步骤

比较两种解题策略比较笔者的解法与张景中院士的解法，其不同之处在于我的解法更繁琐、张院士解法更简明。笔者的解法只能用于这一类问题，而且针对的是如何合理添加平行线，而张院士的“消点法”适用范围广地多，并以此为基础，初步实现几何证明的无辅计算机证明，如果张院士的解法是横贯浦江两岸的大桥，笔者的解法至多是过河的小舢板。然而笔者和张院士解法相同之处在于都提出了一套简明、有力的解题模式，帮助学生克服了问题解决中的困难。“改造数学使之更适宜于教学和学习，是教育数学为自己提出的任务。” 张景中院士曾有一个非常形象的比喻：“把学数学比作吃核桃，核桃仁美味而富有营养，但要砸开才能吃到它。数学教育要研究的，就是如何砸核桃吃核桃。教育数学呢，则要研究改良核桃的品种，让核桃更美味，更营养，更容易砸开吃净。”所以，可以认为这是笔者早年无意识下遵循张景中院士教育数学理念下做的数学探索。笔者认为世界杯踢的是足球，在弄堂里玩耍的也是足球，虽说水平天差地别，但事实证明，没有千千万万的孩子在踢弄堂足球就支撑不了一个国家足球的普及及国家队水平真正、永久的提升。没有千千万万数学教师实践教育数学的理念，教育数学也只能存在于金字塔之上。一线教师实践教育数学之路笔者读真正“大家”的作品的心得在于：“大家”从不全盘否认一线的做法，而是在帮助一线教师总结成功经验，上升理论层面的过程中提出更有力的改进措施。对于数学计算问题的反复操练，张奠宙教授认为“熟能生巧”是中国数学教育的宝贵经验，关键在于如何生巧？对于习题的分类寻找有力解题的策略，张景中院士提出：“小巧一题一法，固不应提倡，大巧法无定法，也确实太难，我提倡中巧。所谓中巧 就是能有效地解决一类问题的算法或模式。”有张院士等“大家”撑腰，面对教育改革各种不同声音，我们一线教师可以理直气壮地说：对于数学问题，分类寻找解决的算法或模式的方法没错！我们要改进的是：① 分类与解法的合理性，这是数学的问题；② 如何让学生参与到解题模块的摸索与总结中去，即对于一类问题的解题模式的摸索不仅仅是教师个人的事，而是希望从学生现有的认知中生成！对此张景中院士提出了教育数学三原理：在学生头脑里找概念、从概念里产生方法、方法要形成模式。笔者是这样理解与操作的（以等腰三角形分类讨论问题为例）：步骤一：给出4-5题等腰三角形分类讨论的压轴题；步骤二：引导学生发现其解法的共同规律，即腰余弦底对半步骤三：学生在此基础上，引用并引申这种解法具体解法参考此文：《中数参》荐文|"解题模块"在中考压轴题中的应用与探索这样操作实际上是教师暗中完成分类工作，心中有了导向性的解题模式，给学生自己体悟与完善的过程。进一步在时机成熟时还可以放手让学生自己在浩瀚的数学问题中摸索总结，实现分类解决，再互相交流提升。笔者认为这是一条培养学生数学思维，提升学生数学核心素养的有效实际的路径。

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