英国学者马丁讲座（专访GeorgeLusztig教授）

小君 2022-12-26 13:01:06 54

英国学者马丁讲座（专访GeorgeLusztig教授）程舜仁(以下简称“程”): 首先 George 谢谢你愿意接受访谈。我们先从下面的问题开始: 你什么时候知道自己对数学感兴趣?在怎样的年纪? 怎样的时间点?George Lusztig 教授1946 年生于罗马尼亚 1968 年自University of Bucharest 毕业 1971 年取得美国普林斯顿大学硕士和博士学位。现为麻省理工学院Abdun-Nur 数学讲座教授以在表现理论及代数群的工作为人所知。2005 年获罗马尼亚科学院数学研究所授予荣誉院士为英国皇家学会、美国人文与科学学院及美国国家科学院院士。2014年获颁邵逸夫数学科学奖。2022年沃尔夫数学奖得主，表彰“其对表示论及其相关领域的开创性贡献”。地点 | 中央研究院数学研究所（台湾）整理 | 黄馨霈来源 |《数学传播》2016年12月（160），好玩的数学获授权转载，在此感谢！

英国学者马丁讲座（专访GeorgeLusztig教授）(1)

George Lusztig 教授

策划 | 刘太平

访问 | 程舜仁、王伟强、David Vogan

时间 | 2016 年1月6日

地点 | 中央研究院数学研究所（台湾）

整理 | 黄馨霈

来源 |《数学传播》2016年12月（160），好玩的数学获授权转载，在此感谢！

George Lusztig 教授1946 年生于罗马尼亚 1968 年自University of Bucharest 毕业 1971 年取得美国普林斯顿大学硕士和博士学位。现为麻省理工学院Abdun-Nur 数学讲座教授以在表现理论及代数群的工作为人所知。2005 年获罗马尼亚科学院数学研究所授予荣誉院士为英国皇家学会、美国人文与科学学院及美国国家科学院院士。2014年获颁邵逸夫数学科学奖。2022年沃尔夫数学奖得主，表彰“其对表示论及其相关领域的开创性贡献”。

程舜仁(以下简称“程”): 首先 George 谢谢你愿意接受访谈。我们先从下面的问题开始: 你什么时候知道自己对数学感兴趣?在怎样的年纪? 怎样的时间点?

Lusztig (以下简称“L”): 大概是14 岁在那之前我对数学就很有兴趣但14 岁才下定决心要当一位数学家。

程: 所以在进大学前你就知道自己想当数学家。

L: 对。

程: 了解。不过可能你也知道在华人的文化里父母通常……

L: 是因为八年级参加奥林匹亚竞赛那时我对这种国家奥林匹亚没什么概念不期待会有好的表现结果却出乎意料我就决定要认真花很多时间在上面。

王伟强(以下简称“王”): 在你初中的时候? 14岁?

L: 高中第一年的时候。

程: 你就读University of Bucharest 的时候当时的数学系与西方的学校相较在课程上有什么不同？

L: 嗯很难比较非常不一样。首先大学要念五年但在最后两年必须做一些专题也许比较像硕士的学程。

程: 我要问的是进到大学只需要修数学课还是也需要修其它的?

L: 必须进到数学系通过入学考试决定自己喜欢的校系。

程: 所以不像在美国必须修其它数学以外的课……

L: 也不是举例来说学生得修马克思主义。每年都要修某些马克思主义的课五年中大概有两年要修。

程: 你学了什么? 我的意思是这些课教什么?

王: 我们在中国大陆有一门类似的课要学中国共产党的历史。

L: 对有一门辩证唯物主义是某种马克思主义哲学还有政治经济这类的主题但也都是马克思主义。此外我们还有教学教法的课。因为这个系基本上是为了培育师资所以我们要上教学教法另外第一年要上物理还有力学。

程: 所以是数学和力学的系跟俄罗斯的体系一样这回答了我第二个问题: 罗马尼亚的教育体系是否受到苏联影响? 显然在这所大学答案是肯定的。

L: 有个影响是市面上有许多俄文数学书翻译所有来自西方的东西每卷Bourbaki 都有俄文翻译这些书定价极为低廉我能轻松购买相形之下比现在更负担得起。

程: 现在我们没人能买得起特别是Elsevier的期刊。

王: 你能读俄文吗?

L: 可以。

程: 想来你们在高中或大学俄文是必修?

L: 我们4 年级到11 年级都要学俄文大一大二也要。

程: 满多的。

王: 俄文是第二官方语言吗?

L: 不是。我们要修两种外语俄文是必修另一种可以选英文、法文或德文。

程: 所以你选的是?

L: 虽然理论上如此但也要看实际的开课状况不是每间学校都有这些选项。我修法文。

程: George 你读University of Bucharest 时有没有哪位教授影响你最深?

L: 有有位教授叫Teleman。叫Teleman 的有好几位来自同一个家族有血缘关系。这位教授有四个兄弟都是数学家其中一位是我的教授。

程: 为什么你要到西方去?怎么去的?你离开罗马尼亚后直接去美国?

L: 不其实我先前到过西方一次又回到罗马尼亚。1968年我参加意大利的暑期学术活动会后去了英国这其实是不被允许的但我去大使馆申请溯及既往的许可。回国半年后到德国波昂再去美国。其实我收到普林斯顿大学的邀请是因为Atiyah的关系。我第一次和Atiyah 见面在牛津。

程: 我想不是每个人都知道Atiyah 那时在普林斯顿。

L: 我1968 年在牛津第一次见到他的时候他正要到普林斯顿。应聘的同时可以推荐一些年轻人到高等研究所他推荐我和他一起工作。所以1969 年他已经在普林斯顿了。

程: 不你说过你先去了意大利。

L: 不是那是另一次是我第一次出国。先到意大利再到英国而后回罗马尼亚。我在牛津时就收到普林斯顿的邀请回国后申请去普林斯顿却遭到拒绝。

程: 那你怎么办?

L: 不过同时我也收到波昂Arbeitstagung 的邀请。那个邀请被批准了因为时间短只有一周算是地方当局的权限长途旅行则需要中央批准。所以同一时间一个批准一个驳回。因此我先去了波昂从那里绕道去美国因为我没有美国签证。

程: 但你有普林斯顿的邀请函?

L: 对实际上我先去加拿大参加一场会议。在加拿大申请美国签证待了两个月之后才到普林斯顿。

程: 和Michael Atiyah 一起做研究是怎样的情况?

L: 当然我不是他正式的学生他是非常杰出的数学家为人极好给了我很大的帮助。其实我们讨论又讨论几乎天天都在讨论那真的……

王: 你去Warwick 之前在普林斯顿待了一年?

L: 两年。

Vogan (以下简称“V”): 他必须拿到博士学位。

王: 对才可以教书。但你的论文做的不全是Lie theory 对吗?

L: 对。

王: 你是怎样逐渐地或者迅速地转向Lie theory 或Lie type 有限群(finite groups) 的研究?

L: Atiyah 当然懂一些Lie theory 对古典群表现(classical group representation) 知道的既多又精。但他对例外群(exceptional groups) 评价不高觉得不重要可以忽略。因此我知道的全都是指标理论(index theory) 的东西 Michael Atiyah 其实是拓朴学家。但是后来因为Quillen 的一场演讲那时Quillen 也在普林斯顿他用有限群表现(representation of finite groups) 的方法解决拓朴里的一些问题；事实上他利用Brauer lifting 把有限群的模表现(modular representation) 提升成以复数为系数的virtual representation 类似Green 以前做过的东西。其实那是非常深奥的定理没有其他拓朴学家意识到这样做很令人赞叹。他运用那个方法解决某些拓朴的东西我很感兴趣问Atiyah 对于Brauer lifting 有没有更明确的了解。因为Quillen 从有限体的自然表现着手以某种方式与某些复表现它的virtual representation 连结。我问他是否已经知道virtual representation 的分量(components)? Atiyah 告诉我特征标(characters) 已经知道但实际的表现仍未知特征标是经由Green 的工作为人所知。

王: 在type A?

L: 那只是标准的表现。这些分量中有一个是离散级数表现(discrete series representation) 仍未知已知的只有它的特征标。我开始有兴趣所以学的基本上是我需要的后来我对表现理论越来越感兴趣。

王: 那时已经有Green 的特征标理论?

L: 对 1955 年就出来了。有趣的是离开普林斯顿前我得到Warwick 大学的聘书 Green 正好在那。我以为对于我想解决的这个问题那里会是个好地方。但我错了其实他身体不太好几乎从没到系里来。

王: 之后你在Warwick 持续做哪方面的研究?

L: 对但Carter在那我跟他讨论他为我解释各种代数群我们合写了一些论文。最后我终于能解决这个问题。

王: 在那个阶段你还是只研究type A?

L: 不我第一件事是藉由运用Witt 向量的某个明确的模型找到方法来建构这个的离散级数表现。然后很快地我开始对古典群问相同的问题因为它们也有一个自然的表现。在做这个工作的时候透过对Brauer lifting 的审视我开始对表现理论有些了解。

V: 以当时的技巧来看不可能做出这些古典群的特定表现；但另一方面经由你之后十年的工作这些却变得出奇地简单。不过想到这些问题曾经那么复杂简单其实只是貌似简单。是这样吗?

L: 基本上古典群在Brauer 提升(lifting) 之下会发生什么情况？比方说symplectic 群有2 个分量(component) 在模设置(modular setting) 里有维表现将这维表现提升其中之一实际上是与Coxeter 环面(torus) 对应的一个离散级数但其它的也很困难不是离散级数却必须用离散级数分解。在里所有其它的都是直接induced 完全没有被分解。在别的古典群中分解不是简单的工作我必须了解有不等参数的Hecke algebra(Hecke algebra with unequal parameters) 是我必须要用的所以比还来的复杂。这个方法只能建构一个级数但古典群有多个离散级数好几个非同构(non-isomorphic) 的环面。事实上我下了不少功夫最终做出些成果却从未发表只写了一些非常简短的摘要。其实那是相当不错的理论没有发表某方面是因为它已经过时。但这一切其实帮助我获得许多经验在其它方面对我也有很大的助益。

V: 所以听起来你可能做了一些几乎是为这些古典群写下特征标列表(character tables)的事无论如何你非常明确地计算了很多表现的特征标了解所有的共轭类(conjugacy classes)。每个做数学的人都必须做些这样的计算但有些人比其他人还要喜欢你喜欢计算吗? 你算的真不少。

L: 嗯我确实很喜欢计算。

王: 嗯那些计算是我从来没有真正念过的东西但我学过你的辫子群(braid group)计算过了20 年仍然是个折磨。我教过辫子群几次总是选比较简单的类型来教但即便如此它还是非常复杂。即使到了今天我也从未尝试计算。

V: 你说过在Bucharest 必须修一门教学的课你有没有从这门课学到什么?

L: 没有。

V: 但另一方面你提到Teleman 你是怎么学到如何写出好的数学论文和做出好的数学? 你追随和效法的对象是谁?

L: 我在大学时的确写了些论文但我不认为我从Teleman 身上学了什么。从Atiyah 那倒是学了不少我试着以他为典范；应该说从Deligne身上学到更多我学了他的写作方式。

王: 我读过一些Atiyah 的文章我记得你们的风格不是很类似让我这么说吧!

L: 不像。

V: 读论文、听演讲目前为止你已经读过也知道许多人做的数学有没有哪些人是你认为大家应该效法的最佳典范?

L: Milnor 是我心目中的第一名一直有人告诉我他是这方面最厉害的数学家。他的书绝对是最好的他的演讲也是最好的是我的典范。

V: 你是否慎重考虑过回去做拓朴? 1970 到1980 年代在你开始做有限群、约化群(reductive groups)等之后你势如破竹地解决问题同时又快速地开启新问题很难想见你会回去做一些其它的东西因为还有很多东西值得挖掘。

L: 现在还是这样。不过还有个原因我在普林斯顿时觉得自己会成为拓朴学家我知道Dennis Sullivan 和他有些接触。事实上我当时的印象是他在解决拓朴的所有主要问题那就是我之所以不做拓朴的原因。其实即使到现在我还是觉得表现理论比拓朴有更多有趣的问题。我觉得拓朴作为一个工具是非常有用的。

王: 古典群有更有趣的东西。

L: 但我发现拓朴作为一个目标本身并不那么有趣。

V: 我忘了是谁说的数学就像花园在土地上施肥浇灌是很重要的。

L: Hironaka 说的。

V: 对但有些部分的数学是花朵所以或许群和表现是一些花朵。数学里有许许多多崭新的想法由你切身参与创造。我的印象是绝大多数的新观点是在你有待解的问题却无法用现有的数学解决时出现所以你就造了个新东西来解决一个旧问题。你是否曾发掘一些东西只因为它看起来会是很有意思的想法? 我总感觉Kac-Moody Lie代数像人为造出来的因为在Serre relations 写下来后我们或许会说:“嗯我们不需要它是有限维代数之类的所有的形式(formalism)还是做得出来。” 我的感觉是似乎没有多少理由要去做这个可以做得出来的数学。但你引入这个主题的新东西似乎总是为了来告诉你与旧问题有关的东西至少起初如此。

L: 其实我的印象是向来在我追寻某些目标的时候总是运气好机缘凑巧发生了些事情。举个例子某个时候我非常想了解如何分类古典群的表现与Deligne 合写论文后我就很想知道觉得这是真正重要的问题。尽管的情形已为人所知如何分类古典群的表现却仍全然未知。我并没有想出任何新方法我已经知道与Deligne 合写的论文中的方法。但后来我遇见Ree 和Chang 这两位韩国数学家你们知道这两个人吗?

V: Ree group 的Ree ?

L: 对还有另一个人是他的合作者。他们研究有限体(finite field) 上的特征标。我在温哥华碰到他们 Chang 告诉我他有个学生刚算出古典型的任意不等参数的Iwahori Hecke algebra (Iwahori Hecke algebra of classical type with arbitrary unequal parameters) 他有它们的构造和度数(degrees) 这小子实际上不再做数学了。这个消息来的正是时候于是我研究他的东西发现几乎就是我缺少的。像这样的事有好几次我只是碰巧得到正好缺少的东西它们刚好被送到我面前。

王: 但是如果那时没有那个方法你大概会硬着头皮自己解了。

L: 有可能。这些机缘接二连三而来在我了解这些古典群之后立刻发现某篇论文的抽印本里有人找到型Hecke algebra 的generic degree。

王: 对例外群感兴趣你可不是Atiyah 的好学生。

L: 我真正想做分类回到前面提到的generic degree 我从那里得到如何建构非阿贝尔傅立叶变换矩阵(non-abelian Fourier transform matrix)的一些想法因为上述论文里有的度数表可以看到它们头几项都有这样的系数 1/120 1/24 我从中看出一些模式(pattern)。不过这本抽印本来的时机正好。

王: 那些你都是自己动手算的对吗?

L: 不我没有做那些计算是别人算的。

程: 但我要说的是如果没有那些很有可能你会自己算是吗?

V: 嗯你有一些可以差遣的朋友。我的意思是最终你一定会需要所有Weyl 群表现的分支表你不必自己算可以麻烦他们算不过要为结果负责。

L: 对即使在那之前我第一次用电脑是计算fake degree 在这项研究中我做了古典群的fake degree 我想知道例外群的fake degree。为此我找了Warwick 的某个人告诉他计算规则他就帮我计算。那是我第一次用电脑。

王: 我想我知道他的名字 Beynon? 他不是数学家。

L: 不是他是计算机科学领域的。

王: 所以对于exceptional type 的计算有时没有电脑即便是你都觉得无望。

L: 对电脑带来很大的改变。大概在1960 年代大家认为古典群简单而例外群较难。因为电脑的关系我想现在反过来了。

V: 我想问一个看似截然不同但或许也不是那么不同的事。Joanne Jonsson 是MIT 数学系的行政人员。当然系上有很多人到各地开会他们常跟她聊起到过的地方她说她最喜欢听你跟她分享因为她说: “他看到每一样东西记得每一件事情。”你知道这件事吗? 我指的是显然你知道比起其他人你更能洞察某些数学的东西但你是否察觉到你对其他事物也是如此?

L: 我很讶异!

V: 你提到在种种因缘巧合下有现成的结果正是你需要的。不过数学世界里现成的成果比比皆是要找到合适可用的却未必那么容易。

L: 其实我会开始对量子群感兴趣是因为Borel写了封信给我他说Michio Jimbo 有个工作我可能会感兴趣因为Jimbo 做了些看似Hecke algebra 的东西。他知道我对Hecke algebra 有兴趣他说实际上Hecke algebra 直接在Jimbo 的工作里出现。他点出这点于是我研究量子群并且开了门课。

程: 那是什么时候? 哪一年?

L: 1986。

王: 那篇论文在86 年发表。我想我们可能对你在量子群的工作比你早期在李型有限群的工作知道的多一些。即使我翻过你早期的书一两次还是不确定自己吸收了多少。

L: 但我觉得李型有限群某方面来说比量子群来的有趣因为不知道结果很神秘。

王: 没错李型有限群的这些问题已经有100 年那么老可说是一个古典的老问题。那么我们可以说引进几何方法是李型有限群的关键之一吗?

L: 确实没有几何的方法什么事也做不成。

V: 令人惊讶的是 Green 在1950 年代就完整列出不可约表现的表所以只要够努力似乎就能达成任何事。但也就是因为你和Deligne 引进的几何方法才让其中的一些结果更清楚让人更明白什么必须是对的而不仅仅是某些可怕计算的结果。

L: 喔 Green 所有的文章都很令人赞叹他是唯一精通模表现的人所以能够用Brauer 的方法。他是Hall的学生因此他知道关于Hall 多项式的种种他用这个来定义Green多项式。他了解所有这些东西在他之前 Steinberg 在做这方面的研究但只做到。

王: 我很确定对称多项式 Hall-Littlewood 还有如何让所有这些东西运作确实需要对它们有所专精。不过回到量子群从86 年到94 这好几年间你都很专注在量子群上它是你的主要工作。

L: 对几乎有10 年之久。我研究两个理论其实是两件事: 一个是在单位(元)根的量子群(quantum groups at a root of unity) 试图了解它们对模表现的助益；另一个是canonical basis。

程: 那时我们还是学生。

王: 对那时候我还不懂canonical basis 虽然我上你的课时有抄笔记。

L: 但现在你了解颇深。

王: 但只有到了现在我才真的需要它。过去5 到10 年我已经被学生训练得很好不知怎的我被迫遭到不同学生以不同目的再教育。

L: 其实Borel 是对的他可以看出了解Hecke algebra 对我有帮助我就能把某些东西搬到量子群一点也不错。

V: 你谈到和Atiyah 以及Deligne 一起工作他们可以说是你的老师也是合作者。你喜欢和学生一起工作吗? 我的意思是你有两个选择：你可以写一本优美的书寄给出版社；或者收一位学生这是非常不同的满足。你有过美好的经验吗?

L: 有我有一些非常好的经验。我有一些非常优秀的学生很开心能有这样的学生。其中一个是Spaltenstein 另一个是Xuhua He（注：何旭华）。我有好几个这样的学生但不是所有人都是如此其中一些真的很优秀。

V: 有没有学生真的改变了你做数学的方式改变了你做某些问题的思维?

L: 有我从Spaltenstein 身上学到很多比从其他学生那里学到的还多。他其实是我非常早期的学生大概是最早在英国的时候。

程: 他是第一个还是第二个学生?

L: 一开始我有三个学生他大概是一年后才来可能是第二个第一个是de Concini。

王: 从你的著作目录不难发现你绝大多数的论文都是单一作者。谈到这样的工作方式和合作者基本上是你自己的选择还是自然而然就是如此? 你有怎样的看法?

L: 没错我通常独自研究有些例外但我想单独做研究对我是很自然的。

王: 即使是那些冗长的计算你也愿意自己来?

程: George 说过他喜欢计算。

V: 我不晓得是否和Deligne 合作宠坏了你和别人合作的胃口。

王: 可能很多人倾向有多位合作者而不是在漫长的学术生涯中独立研究?

V: 我问过在数学评论(Math Reviews) 工作的人他们可以轻易统计出共同作者的人数实际上是否有增加的趋势。我的印象是人数确实是增加的。

L: 甚至是四个人我发现有四位作者的论文也变得稀松平常至少我在这场会议中看到。

程: 对没错三或四人。很平常因为沟通变得容易。

王: 对也变得有效率。单一个人只有一种专业。我们学东西不够快即便我们知道该学什么。合作者往往令我赞叹他们带来许多不错、又有别于一般的方法我单打独斗可能要花更长、或是一辈子的时间来学。

V: 不过关于合作有各式各样的笑话我记得的可能不是很对。骆驼是集体炮制的马(A camel is a horse designed by a committee.) 合作总有一些问题。

L: 我从来没有待过四人团队三个人就是上限。

V: 有一次你告诉我你在Bucharest 念中学的时候

L: 不是中学在Bucharest 是念大学的时候。

V: 对你参加划船队。怎么样分配划船、念书和做数学的时间?

L: 在Bucharest 我划得不多。其实是高中最后两年我才划船与课业并不冲突。一周大概两次我体育很差因缘际会接触到划船。我忘了是怎样开始的但它改善了我的健康所以是很好的。

V: 但后来你没再继续了。

L: 后来念大学第一年仍持续不过不是很方便要走很远划了一年我不是很喜欢。在我们家乡有条河很方便我很喜欢。

V: 你找到其它活动了吗? 我的意思是为了做数学你是否觉得必须做点不同于数学的事?

L: 有举例来说像瑜珈。我想没有瑜珈我无法运作。

程: 做瑜珈时你是否会想到数学?

L: 不会。

程: 你是否可以轻易地让自己的脑袋关机? 譬如准备就寝时可以很快进入梦乡?

L: 我要睡觉时可以入睡问题在于我常在半夜醒来脑中总有些问题浮现让我往后两小时无法入眠。但就寝时没有问题因为很累。

V: 你说过你喜欢读Milnor 的书有没有什么非数学的书你觉得值得一读?

L: 有。

V: 《爱在瘟疫蔓延时》?

L: 那本很不错我很喜欢。你喜欢吗?

V: 嗯我记得大概二十年前你提过。

L: 对我提过。

V: 看吧你要很小心你说过的话我们全都会记下来。

L: 嗯这位作家我很喜欢我读了好几本他的书。

程: 《百年孤寂》( One Hundred Years of Solitude )?

L: 对。

王: 我想舜仁可能推荐过这些书给我。

程: 非常好的书马奎斯(Marquez)的书。

V: 你现在还会读非英文小说之类的书吗?

L: 会事实上我刚读了一些巴尔札克(Balzac)的法文小说有时我会读罗马尼亚文的书偶尔也读意大利文的但相对较少。意大利文的书过去倒是读了不少。

程: 你说过你只在意大利短期待过。

L: 一年。

V: 意大利文和罗马尼亚文相去不远?

L: 对但还是要学不是

V: 嗯我知道意大利文不是方言。

L: 但还是可以从一种语文过渡到另一种了解到某种程度。

V: 你以前的俄文数学书是不是跟着你一起带到美国来?这些书还在吗?

L: 不是我姊姊带过来的我姊姊后来才来她把书带来所以全部都在。但我无法读俄国文学作品我的程度不到那。其实有本我最近读的书觉得很不错、值得推荐是俄国人Vasily Grossman写的《生命与命运》( Life and Fate ) 主题是史达林格勒战役。这本书真的很不错跟《战争与和平》有些相似也谈到某些涉及俄国国家存亡的战役。

V: 那么音乐呢? 你有很多机会听音乐吗?

L: 我太太功勤(Gongqing) 每天都会弹钢琴练琴。

程: 在家就有现场演奏可听真好！你睡前看书吗?是否让你感到放松?

L: 不会睡前不会。

王: 你本身写过好几本书是否享受写书的经验?

L: 那些不是真的书第一本写的是的离散级数表现原先没有设定是一本书而是论文。我投稿Ann.~Math. 他们提议出书而不是当作论文发表所以我就照做。

V: 《约化群在有限体的特征标》( The Characters of Reductive Groups over Finite Fields )?

L: 我也把它看作是论文而不是一本书书的话应该要让它更容易读但我没有这么做。我是用尽可能快速完成的方式来写所以我写下所有东西不很在意读者。

V: 我本来要问你写过几本书但我想那很容易计算你写的文章长度是常态分布任何一篇超过200页的论文都是书。

王: 但是" Introduction to Quantum Groups Progr.in Math.110 Birkhauser Boston 1993 341p. (Reprinted 1994 2010.) " 肯定是一本书。

L: 是某种但

程: 是介绍(introduction)。

V: 如果是论文标题里就不该有“介绍”。

王: 但是这本你从开始就想把它写成一本书。

L: 对。

V: 那么Hecke Algebras with Unequal Parameters呢?

L: 那是被要求的我在Montreal 给的系列演讲他们要我写成书。那些内容我在MIT 讲过已经有一些笔记只需要加以扩充。所以实际上" Introduction to Quantum Groups " 大概是唯一原本就预定不是论文的书。

V: 真有趣。

王: 对 " Introduction to Quantum Groups "要花许多功夫才能融会贯通我的意思是需要另外的介绍才能进入这本介绍。

程: 我一直在想它的标题 ~ 我的意思是 ~ 你是刻意将书名取作" Introduction~ to~ Quantum Groups " 的吗?

L: 你觉得有误导之嫌?

V: 这个书名遵循André Weil基础数论的传统我假定你相信这类好书很重要能让下一代数学家深入这些问题。你说过有限Chevalley 群的特征标是最令人兴奋或极为令人兴奋的工作 Roger Carter曾在文章中阐述这些我想很多人都受益良多。你想过这些吗? 会不会觉得写这样的书不是你的工作? 我的意思是量子群那本书有点像是那样。

L: 我知道但是有限群的表现理论可能我觉得自己了解的还不够深。所以有些仍待研究的东西我会把它放在心里有成果时写些文章好好阐述但我自认还没有准备好。我认为理论仍不完备我也不觉得自己擅长写这类文章。

V: 你只是必须学LaTeX。

王: 我想George 在用TeX 对吧?

V: AMS TeX 对。

L: 举个例子我很不擅长校对曾经出错。

V: 在我们刚刚提到的这4 本书中有7 个错

王: 我认为你的方程式是可靠的不仅是印象而已其中不同的东西我都以很具体的方式用过。

V: 大约在1980 年的时候你让我影印几页你算的幂零元素(nilpotent element)等等还有例外群。有这些计算非常好它们很完美。糟糕的是你用浅蓝墨水书写复印效果很差难以阅读但这些计算很可靠。

王: 现在你大部分的工作仍用手写还是你打字很快手写笔记打完就丢?

L: 不我打字确实不会整篇文章都用手写也许只会动手做一些计算累积够多之后就把它们打出来。

王: 学LaTeX 时相对于AMS TeX 自动处理编号这项优点说服我们让我们都选择用LaTeX。但看起来你似乎从不为交叉参考(cross reference) 烦恼? 因为我们有时需要大幅更动排序方程式的编号当然就乱了 LaTeX 自动就会照顾到这点。AMS TeX 对你来说好用吗?

L: 因为我有不同的编号方式某些节是用A B C D 为方程式编号改变章节编号没有关系方程式的编号不需更动所以章节的号码不包含在方程式的编号里只是一个字母例如1t 节方程式A 之类的。

王: Quantum Group这本书写的真好我对这个主题了解得越深就越发欣赏。除此之外我几乎没发现错误是近十年来我最为熟知的一本书。

程: 我想我们两个都各有两本。

程、王:一本在家一本在办公室。

L: 但我认为量子群相对简单有限群的表现理论更让人兴奋更有趣。

王: 这就是为什么我还可以懂一点量子群。

程: 你提到Atiyah 和Deligne 有没有其他你景仰的数学家? 除了上述两位还有其他人吗?

L: Gauss 举例来说。

程: 喔的确! 我们都很景仰他。有Lie theory 的人吗?

V: 你读过Lie 或Élie Cartan 的论文吗?

L: Lie 的确实没有但我读过一些Élie Cartan 的论文。

V: Hermann Weyl呢?

L: 我有他古典群的书我读了绝大部分。

V: 谈到数学的风格我不确定是不是Roger Howe说的 Weyl 这本书中有价值千万的数学全都是一分一分的零钱(It has a million dollars' worth of mathematics all in pennies.)。

L: 或许我应该提Chevalley 。事实上我在Warwick 大学时图书馆有Chevalley 研讨会的文献这些很难取得不知为何没有正式发表。

V: 嗯很多这类法国研讨会的文献可以在学校图书馆和一些地方取得。

L: 所以我就研究这些。

王: 是研讨会的讲义?

L: 不不是讲义是Chevalley 的剖析文章(exposés) 有些是Borel 的也有些是其他人的。但研讨会由Chevalley主持关于约化群的分类。

王: 你有计划再写本书吗?

L: 没有但如果我了解李型有限群表现的话就会。

程: 会有个介绍。

V: 你知道Macdonald 的论文吗? 他以Weil 群表现重写Green 在上的工作。

L: 不知道。

V: 他证明的表现一一对应于一个-adic Weil 群的维表现等价类(equivalence classes)。-adic体应该有剩余体(residue field) 你只需让Weil 群表现在wild inertia 是平凡的(trivial) 而他定义在这些表现上的等价关系就是限制在惯性子群(inertia sub-group)的等价。所以基本上撇开必须存在一个Weil 群的延拓它不过是惯性子群的表现modulo wild inertia。他也证明这些与表现一一对应。无论如何我问这个是因为一两周前我才知道这篇1980 年左右发表的文章它的表述方式(formulation) 对任何有限Chevalley 群完全可行。

L: 不它还是需要special classes 所以这样不会得出正确的

V: 看吧显然这是Bill Casselman 常说的这不可能是对的但我还没被说服。我的意思是有一些-packet 的东西必须要或许要描述-packet 很困难或者根本是不可能但依我看来那些想法能提供一个方式来解释你过去的一些工作。

L: 我不这么认为我想你还是得说出"special representation" 这个词否则不能指望做分类。

V: 我不这么想我们可以再谈。做数学最让你开心的是什么?思考往后五年的规划或许你会期待有非常杰出的学生教一门精彩绝伦的课解决一些严谨的问题或写出好的论文等等。怀有愿景是很正常的这些都是你曾经做过的事那么你的目标是什么?

L: 教学嗯但我从写论文中得到的乐趣最多。我不认为我会解决什么重要的问题我只是做一些比较小的事情从中得到乐趣。

王: 不过大体看来你本身比较是解题者还是理论家? 当然归类很难但某些人仍倾向解问题解著名的问题他们会设定一些目标。

L: 不其实我喜欢寻找猜想找出猜想的模式(pattern) 可能比解问题更来得有趣。

王: 特别是解你自己的猜想?

V: 我想是Gelfand 说的做精准的猜想不只更有趣也更重要。任何人都可以写些证明但前提是猜想要准确无误而且有趣。

L: 那就是我喜欢猜想的原因。

王: 或许它们不该那么容易证明。

V: 嗯有时猜想经过适当的陈述证明“的确”很简单。最好的一种猜想或许就是用一种前人没有用过的方式来说某个东西就可以