一个多项式的高次幂怎么计算（如何计算前n个整数的p次幂的和）

一个多项式的高次幂怎么计算（如何计算前n个整数的p次幂的和）跳过几个步骤（为了避免混乱），生成函数S(n t)变成如下复杂的表达式：式6左边减去1，两边同时除以x。要写出S(n t)的第二项必须引入前面提到的伯努利数。式5中函数 t/(eᵗ-1) 变成：将式2代入式3，得到二重和：其中k是一个整数。经过一些代数步骤，我们可以用以下两个函数的乘积来重新表示式4：现在，S(n t)的第一个因子可以用指数函数的泰勒展开式简单地写成幂级数：

瑞士的伯努利家族共有八位世界著名的数学家，雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）便是其中之一。1713年，雅各布·伯努利提出了前n个整数的p次幂之和的表达式。他的解是n的（p 1）次多项式，包含的系数就是现在著名的伯努利数（在数学和理论物理的许多领域中出现的分数序列）。

• 图1：著名的瑞士数学家雅各布·伯努利。

这个求和被称为冯哈伯公式（ Faulhaber’s formula），其结果被伯努利以“Summae Potestatum”的标题发表，它由下面的表达式给出：

• 式1：前n个正整数的p次幂的和，称为冯哈伯公式。

• 图2：德国数学家约翰冯哈伯（1580-1635）。冯哈伯是一个博学多才的人，他在几个城市的防御工事上工作过，为军队建造过水轮和几何仪器等。

如果m从0开始，到m= n-1结束，计算会变得更整洁。总和变成：

• 式2

现在考虑所谓的生成函数S(n t)，它是一个幂级数，以式1和式2中的和为系数：

• 式3：生成函数以式1和式2的和为系数。根据维基百科，生成函数“是一种将无穷数列编码为幂级数系数的方法”。

将式2代入式3，得到二重和：

• 式4

其中k是一个整数。经过一些代数步骤，我们可以用以下两个函数的乘积来重新表示式4：

• 式5：将式4改写为两个函数的乘积。

现在，S(n t)的第一个因子可以用指数函数的泰勒展开式简单地写成幂级数：

• 式6：指数函数的幂级数展开。

式6左边减去1，两边同时除以x。要写出S(n t)的第二项必须引入前面提到的伯努利数。式5中函数 t/(eᵗ-1) 变成：

• 式7：为了写出式5中S(n t)的第二个因子，我们引入了伯努利数。

跳过几个步骤（为了避免混乱），生成函数S(n t)变成如下复杂的表达式：

下一步是定义所谓的伯努利多项式：

• 式9：伯努利多项式的定义如下图3所示。

​下图显示了不同伯努利数值对应的几个伯努利多项式的例子。

• 图3：几个伯努利数的伯努利多项式。

将生成函数S(n t)的原始表达式与式8进行比较，利用伯努利多项式的定义，得到：

• 式10：我们要求的前n个整数的p次幂之和的最终表达式

注意，生成函数可以优雅地写成：

• 式1：用伯努利多项式和伯努利数表示的生成函数的最终表达式

在前一篇文章中伟大的数学家欧拉和他的奇妙发现——关于倒数级数的和，我推导了前5个伯努利数。它们是：

• 式12：前5个伯努利数。

• 图4：左边是日本数学家关孝一。右边是他的著作中的一页，其中他列出了二项式系数和伯努利数。

​利用式9，我们得到一些伯努利多项式：

• 第一个伯努利多项式。

现在我们有所有需要的工具了。下面是我们所寻找的和的两个简单例子，但其他所有情况都可以简单地得到：

• 式14：前n个整数的p次幂和的两个简单例子。

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