傅里叶级数变换公式（理解傅里叶级数）
傅里叶级数变换公式（理解傅里叶级数）来一起先看三个不同的周期信号（为了方便理解，这三个信号中包含的最高频率都不超过20倍基波频率）。 而这一篇中的综合公式是讲如何用傅里叶分析得到的系数来叠加还原波形。那么问题来了，周期信号和频谱是否建立了唯一的对应关系呢？^_^ 这一篇咱们换个新鲜的角度，从唯一性的讨论开始吧。(1) 傅里叶级数是唯一的吗？ 咱们已经看到了任何一个周期信号都能够使用上一篇中讲到的分析公式来提取各个频率的信息，从而生成一个叫做频谱的东西。
又见面了~~^_^
一起先来回顾一下：
上一篇中咱们介绍了傅里叶级数的分析公式，这一篇中，咱们将继续探讨傅里叶级数中另一个公式——综合公式。
如果没有看过之前的文章，建议可以读一下前三篇的内容（《别样的最美公式》和《关于圆周运动的一点讨论》以及《理解傅里叶级数——分析公式》），将对理解本篇有很大的帮助。
这一篇咱们换个新鲜的角度，从唯一性的讨论开始吧。
(1) 傅里叶级数是唯一的吗？
咱们已经看到了任何一个周期信号都能够使用上一篇中讲到的分析公式来提取各个频率的信息，从而生成一个叫做频谱的东西。
而这一篇中的综合公式是讲如何用傅里叶分析得到的系数来叠加还原波形。那么问题来了，周期信号和频谱是否建立了唯一的对应关系呢？^_^
来一起先看三个不同的周期信号（为了方便理解，这三个信号中包含的最高频率都不超过20倍基波频率）。
▲示例信号1（三个周期）
▲ 示例信号2（三个周期）
▲ 示例信号3（三个周期）
那……这三个信号有什么共同点吗？……
反正我是没看出来。=。=
下面让我们把三个信号分别取出一个周期展开到频域看一下（这里考虑动画的分辨率，只做到10次谐波，后面10阶类同，各位发挥一下想象^_^）。
▲ 示例信号1谐波分解转到换到 频域
▲ 示例信号2谐波分解转到换到 频域
▲ 示例信号3谐波分解转到换到 频域
有没有发现一个难以相信的事实，这三个信号的所有谐波分量的频谱幅度是完全相同的！！竟然都是下面这个样子…
▲ 示例信号的各阶频谱幅度
这…………肯定是哪里不对吧？…………-_-"
那到底哪里不对了呢？
咱们把每一阶谐波的波形都搞出来比比看？
▲ 示例信号1的各阶谐波波形
▲ 示例信号2的各阶谐波波形
▲ 示例信号3的各阶谐波波形
不比不知道，比完才发现，原来完全相同的频谱幅值，就因为各阶谐波的起始位置不同，就造成了波形巨大的变化。
这个起始位置就是咱们在还原信号中的一个关键，也就是我们下面要介绍的相位了。:)
(2) 什么是相位
咱们肯定接触过相位，比如都知道余弦信号和正弦信号的相位差是90度。
相位的定义各位可以自行百科，不过我觉得官方定义比较晦涩……。
那如果这里一定要给个相位的定义，我想，相位应该就是某刻时刻的信号在一个周期中所处的位置。
先来一起看下面这个动画，对照着动画中间的暂停位置，咱们应该能够就对相位有个直观的理解了。
▲如何理解 相位
不出意外的话，咱们应该能够从上面图中的二维运动中很明显的看出相位角度的物理含义。
需要提醒的是，如果咱们在不同的维度投影，获得的波形将完全不同，就好像咱们最早说到圆周运动，在实轴和虚轴上投影分别是余弦和正弦函数。^_^
不过，由于咱们所关注的主要是实信号，所以上面仅给出了实轴上的投影波形作为参考，也就是说，对于实信号而言，在波峰位置相位就是0点，波谷时的相位就是180度。
咱们知道了相位的对应位置，那么对于一个波形，初始相位又是什么呢？
咱们来举个很简单的例子——正弦信号。
因为二维的圆周运动很容易看出相位，所以咱们换个角度来想：在实轴上投影生成一个正弦运动的时候，对应的圆周运动是什么样的呢？
一起来看一下：
▲正弦信号的 相位
现在能回答正弦信号的初始相位是多少了吗？很明显对吧，是-90度。^_^
换言之，正弦信号波形的一个周期就是从-90度相位开始的。
所以现在来考虑更一般的情况，思考一下什么是一个波形的初始相位？下面先通过两个简单的例子来建立直观的感觉，分别给出了初始相位45度和210度的波形。:)
▲45度初 相位的波形
▲210度初 相位的波形
好了，咱们现在理解了相位会影响波形的相互叠加结果，也理解了什么是初始相位，所以下面咱们来一起看一下初始相位的数学表达。
(3) 相位的表达与综合公式
现在回过头思考一下初始相位的意义，其实咱们从上面几个例子的区别中也形象的看到了，波形的初始相位实际相当于在二维圆周运动中预置了起始点的位置。
那对于圆周运动，如何实现预置一定角度呢？
在《别样最美公式》中，已经讲过欧拉公式的内涵，这里咱们摘一点回顾下。
现在再回头看看，是不是突然觉得综合公式好像没那么复杂了？^_^
(4) 相反频率圆周运动的奇妙组合
在理解了上面综合公式中的后半部分后，现在还剩一个小问题没有解决，就是为什么前半部分的谐波次数k的累加是从负无穷到正无穷。
其实咱们通过前两篇已经理解了一个信号转换成傅里叶级数需要无穷多次谐波的叠加，因而现在只需要理解k值的正负项之间有什么相辅相成的关系就好了。:)
这一节稍微偏数学一点……不想深入的话看看动画就行了哈……=。=
所以这里，我想分两种情况给出两个直观的例子来帮助咱们理解。
情况1：实信号
这种情况的第一个例子是一个频率等于基波频率的相位为0的实余弦信号。
一起看一下k=1项（蓝色箭头的圆周运动）、k=-1项（绿色箭头的圆周运动）与两项合成的波形（红色箭头的纯实部运动）。
▲0度初 相位的实余弦基波信号由来
看出什么没？再一起来看一下相位为45度的另一个实余弦信号的相同例子。
▲45度初 相位的实余弦基波信号由来
这就和上面咱们从傅里叶级数还原动画中得到的结论完全一致了~^_^
情况2：虚信号
这种情况实际用得非常少，但是这种情况的理解对理解复信号的傅里叶分析是非常有好处的。
第一个例子同样是一个频率等于基波频率的相位为0的虚正弦信号。
一起看一下k=1项（蓝色箭头的圆周运动）、k=-1项（绿色箭头的圆周运动）与两项合成的波形（红色箭头的纯虚部运动），请把手机横过来看哈……。
▲0度初 相位的虚正弦基波信号由来
再一起来看一下相位为30度的一个虚正弦信号的相同例子。
▲30度初 相位的虚正弦基波信号由来
同样与傅里叶级数展开 还原动画中得到的结论是一致的有没有？^_^
如果理解了上面 实信号和虚信号两种情况 下综合公式中系数的关系，那么…… 任何的复信号都能表示成实信号和虚信号的线性叠加 ……于是咱们就成功实现了“ 两极生万物 ”^_^
所以小结一下，对照综合公式来表述就是如下两点：
1.利用绝对值相同符号相反的两个k，就能够表示任意二维空间的k次谐波频率的运动关系。
2.利用无穷多次 二维谐波频率运动的叠加，就能够表示任意二维空间的运动关系。
好了，这一篇就讲到这里吧~^_^
希望看到这里，各位已经能够全面的理解复平面中傅里叶级数的内涵。当然，针对实信号，傅里叶级数还会有很多变化，这一篇还是没有全部讲完……下一篇中，将重点针对实信号，来聊聊不采用欧拉公式的傅里叶级数的另一个形式。（来源作者： Engineer朱）
