常用逆傅里叶变换公式（简单分析最美的数学公式之傅里叶变换）
常用逆傅里叶变换公式（简单分析最美的数学公式之傅里叶变换）等式的左边是不是我们要求的结果，是与频率相关的东西；等式右边是一个积分公式，对f(t)e^-iωt的一个积分。也可以这么理解，对f(t)在e^-iωt上投影的积分，积分时间是-∞——﹢∞，也就是对f(t)在e^-iωt上投影的叠加，实质就是频率信号无穷时间在ω分量上的叠加。傅里叶变换公式三、波形在时域和频域的转化关系。也就是说，正弦波在时域上表示是一个个接连不断的波形，看到你头昏。没办法，时间不流动，时域上的波形当然也连绵不断了，但是在频域上就是一个直线，垂直于频率轴的直线，是不是很简单，原来世界本质真的那么简单。我们再看一下傅里叶变换的公式：
好吧，我们接下来继续上次傅里叶变换未说完部分。
上次好像说到波形从时域到频域的分解，最后得出了一幅带频域、时域，并且包括频率、振幅及相位的图片。对吧，这样我们已经知道了：
一、一个正弦波可以组合成任何波形；
二、每个波形都可以分解成正弦波；
三、波形在时域和频域的转化关系。
也就是说，正弦波在时域上表示是一个个接连不断的波形，看到你头昏。没办法，时间不流动，时域上的波形当然也连绵不断了，但是在频域上就是一个直线，垂直于频率轴的直线，是不是很简单，原来世界本质真的那么简单。
我们再看一下傅里叶变换的公式：
傅里叶变换公式
等式的左边是不是我们要求的结果，是与频率相关的东西；等式右边是一个积分公式，对f(t)e^-iωt的一个积分。也可以这么理解，对f(t)在e^-iωt上投影的积分，积分时间是-∞——﹢∞，也就是对f(t)在e^-iωt上投影的叠加，实质就是频率信号无穷时间在ω分量上的叠加。
其实这个图片和内容没有什么关系
信号都可以是正弦波叠加而出，而正弦波转化为频域就是一根直线，非常简单明了，傅里叶变换好像说完了，又好像没有说完。是的，真的还没有讲完，上面明明说的就是三角函数的问题，怎么最后变成e^-iωt是个什么东西了？所以，把这个看起来不好搞的东西搞清楚（e^-iωt），就基本差不多了。
首先我们还要了解一个更加美丽的公式：欧拉公式e^ix=cosx isinx，还有一个欧拉恒等式e^ix 1=0。当然，在这里我们既不探讨欧拉公式的美丽之处，也不分析他的推理过程，我们只是利用它。
是不是，数学真的是很严谨，通过欧拉公式，三角函数就和e^-iωt对应起来了，当然结果就是e^iwt=coswt isinwt。那么，欧拉公式描绘的是一个什么东西呢？上面图已经给你画出来了，就是一个做圆周运动的圆。如果你牛，你可以自己画一下欧拉公式随时间运动的图，不愿意画，只好借一下别人的图了，如下所示。
如上图所示，欧拉公式所表示的，其实是一个不断在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。上图中左边，是欧拉公式的实部，右边的图片是它的投影，就是一个最基础的余弦函数，而右侧的投影则是一个正弦函数。所以，结论来了，螺旋线的叠加在实数空间的投影，可以理解为就是正弦波的叠加。
要说明一下的是，复平面是一个实轴（水平方向）和虚轴（垂直方向）构建的复数的几何坐标平面，不懂的自行去学习一下。
复平面表示
既然欧拉公式把这事情搞完了，我们也就说完了，最后我们总结一下：无论多复杂的波形，它都是可以分解为很多个正弦波来表示，并且如果把波形在时域上的表示方式转化为频域上的表示，那么它真的就很简单了。最后我们再借用一下别人的图，看看到底能把多复杂的转化为多简单的！
傅里叶转化结果
是不是被吓了一跳，没想到吧，其实我也没有想到，竟然能简单到这个程度。上面海螺图上的每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。当然，上图只是给出了正频率部分，负频率部分并没有画出，这也不能怪我，我借来的图就是这样子的。
好吧，傅里叶把这一切都给我们搞好了，我们只需要套公式就行了。说了这么多，不知道有没有把傅里叶转化说清楚，如果还没清楚，也不怪大家，都怪我太笨。但是，只要把傅里叶变换公式的美丽展现出来，也算是不白费
最后，再次谢谢知乎的Heinrich的文章，特别是他的图，谢谢！
