老鼠钻洞游戏玩法（解题的黄金法则之老鼠打洞）
老鼠钻洞游戏玩法（解题的黄金法则之老鼠打洞）（2）问题拓展：如图3，△ABC中，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，AB＝2√2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连结EF，设⊙O半径为x，EF为y．如图2，点A（3，0）、B（0，﹣3√3），C为直线AB上一点，过A、O、C的⊙E的半径为2．求线段OC的长．方法二：作AB的弦心距OH，连接OB，∴∠BOH＝∠C，解Rt△OHB，∴HB＝50√2，∴AB＝100√2．感悟：圆内接三角形的一边和这边的对锐角、圆的半径（或直径）这三者关系，可构成直角三角形，从而把一边和这边的对锐角、半径建立一个关系式．（1）问题解决：受到（1）的启发，请你解下面命题：
小明和同桌小聪在课后做作业时，对课本中的一道作业题，进行了认真探索．
【作业题】如图1，一个半径为100m的圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，测得圆周角∠C＝45°，求桥AB的长．
小明和小聪经过交流，得到了如下的两种解决方法：
方法一：延长BO交⊙O与点E，连接AE，得Rt△ABE，∠E＝∠C，∴AB＝100√2；
方法二：作AB的弦心距OH，连接OB，∴∠BOH＝∠C，解Rt△OHB，∴HB＝50√2，∴AB＝100√2．
感悟：圆内接三角形的一边和这边的对锐角、圆的半径（或直径）这三者关系，可构成直角三角形，从而把一边和这边的对锐角、半径建立一个关系式．
（1）问题解决：受到（1）的启发，请你解下面命题：
如图2，点A（3，0）、B（0，﹣3√3），C为直线AB上一点，过A、O、C的⊙E的半径为2．求线段OC的长．
（2）问题拓展：如图3，△ABC中，∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，AB＝2√2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连结EF，设⊙O半径为x，EF为y．
①y关于x的函数关系式；②求线段EF长度的最小值．
【分析】（1）先根据锐角三角函数的定义求出∠OAB的度数，延长OE交⊙O于点F，连接CF，根据圆周角定理可得出∠F＝∠OAB＝60°，再由锐角三角函数的定义即可得出结论；
（2）①先根据三角形内角和定理得出∠BAC＝60°，延长EO交⊙O于点G，连接GF，根据锐角三角函数的定义即可得出结论；
②作AH⊥BC于点H，根据勾股定理求出AH的长，再根据AD＝EG＝2x得出x的取值范围，进而得出结论．
【解答】（1）∵tan∠OAB＝OB/OA=√3，∴∠OAB＝60°，
延长OE交⊙O于点F，连接CF，
∴∠F＝∠OAB＝60°，∴OC＝2√3；
（2）①∵∠ACB＝75°，∠ABC＝45°，∴∠BAC＝60°，
如图3，延长EO交⊙O于点G．连接GF，∴y＝√3x；
②如图3，作AH⊥BC于点H，
∵Rt△ABH中，∠ABC＝45°，AB＝2√2，∴AH＝2，
∵AD＝EG＝2x，∴2≤AD≤2√2，即1≤x≤√2，∴y的最小值为√3．
牛刀小试：1.已知⊙O的半径为5，△ABC是⊙O的内接三角形，AD是△ABC的高，且AC＝4．
（1）求sinB的值；
（2）若AB＝6，求AD的长．
【解答】（1）作直径AE，连结CE，如图，
∵AE为直径，∴∠ACE＝90°，
在Rt△ACE中，AE＝10，AC＝4，∴sinE＝AC/AE=4/10=2/5，
∵∠B＝∠E，∴sinB＝2/5；
（2）∵AD是△ABC的高，∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，∵sinB＝AD/AB，∴AD＝6×2/5＝12/5．
2.（2019•荆门中考题）已知锐角△ABC的外接圆圆心为O，半径为R．
（1）求证：AC/sinB＝2R；
（2）若△ABC中∠A＝45°，∠B＝60°，AC＝√3，求BC的长及sinC的值．
【解答】（1）如图1，连接AO并延长交⊙O于D，连接CD，
则∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，
∵sin∠ABC＝sin∠ADC＝AC/AD=AC/2R，
∴AC/sinB＝2R；
（2）∵AC/sinB＝2R，
同理可得：AC/sinB＝AB/sinC= BC/sinA ＝2R，
∴2R＝√3/sin60°＝2，∴BC＝2R•sinA＝2sin45°＝√2，
如图2，过C作CE⊥AB于E，
∴BE＝BC•cosB＝√2cos60°＝√2/2，AE＝AC•cos45°＝√6/2，
∴AB＝AE BE＝(√6 √2)/2，
∵AB＝2R•sinC，∴sinC＝AB/2=(√6 √2)/4.
《说唐》中有这样一个故事：唐太宗征北，困在木阳城，绝粮。军师献计，沿着鼠洞挖去，可能找到粮食.结果，真的在地下深处发现了粮仓。太宗嘉奖耗子的牙啃立功，并题诗曰：鼠郎个小本能高，日夜磨牙得宝刀，唯恐孤王难遇见，宫门凿出九条槽。抓住事件蛛丝马迹，按图索骥，穷追不舍，我们一定找到破解问题的关键。要知道庞大的数学宝库也是众多的"数学耗子"啃穿的。你可知道，前1万个质数就是这些耗子们一个个啃出来的，七位数字对数表也是这样啃出来的。
实施这一原则第一步当然是读题，读题的目的是弄清题意。中科大单墫教授在《解题研究》中对此有过精准的论述："已知是什么？需要我们做什么？这一点是极简单明白的事情。但如果提问几位正在做题的、中等偏下的学生，往往能发现他们并不一定清楚问题的条件，而且也不太清楚自己在做什么。""'一目十行，过目不忘'，前四个字可以解释为能够很快地理解题意，抓住最主要的东西；后四个字表示一种短暂的记忆力，即在一段时间内记住条件和结论。这种功夫需要多练（多读书）。"
弄清楚除了已知和未知，还要迅速地从记忆的"存储库"中提取出相关的解题模型和解题经验，进行有效的组合。解题经验是"死的知识"，用起来才是"活的知识"，积累经验的目的就是为了解决问题时候能够很好地激活它。因为比解答更重要的是解法，即如何从已知走向了未知，而将题目中的信息与记忆中的信息进行有效组合，适当整理，正是走向未知的第一步，因此，题目应当认真读、仔细读，真正弄清楚，谋定而后动。
如果用一句话概括解题的指导原则，那就是"条件用足，模型完备，问题必解。"题中每个条件都要充分发挥其作用，通过构造完备的模型就能把条件与问题进行充分联结。解题就是过河，条件是此岸，问题是彼岸，模型是连接此岸与彼岸的桥梁，而造桥的材料是在此岸寻找，桥的造法也要依据彼岸的特征。可别小瞧了这个原则，有时做题往往想得太久想得太远，或受思维定势的影响，以致于偏离了方向，忘记了该从哪里出发，向哪里前进。这一原则的核心就是：找准关键条件，紧抓所求问题，构造模型以使其建立联系。
数学解题，当你无计可施，或者一口难吞时，那就决定"啃"吧。本题从已知条件出发，进行分析转化，不难得到一点感悟，圆内接三角形的一边和这边的对锐角、圆的半径（或直径）这三者关系，可构成直角三角形，从而把一边和这边的对锐角、半径建立一个圆周角定理应用的直角三角形模型的关系式．
这个题目也给我们一个启示，解题教学要舍得花时间进行策略方法的感悟、总结以及系统化，如此才能真正促进解题能力的提升，赢得最终的胜利。就如你花时间学开汽车，开始阶段还不如骑自行车快，但是熟练之后就可以上高速公路，这时与骑自行车就不是一个层级上的较量了。我们从策略层面思考问题可以居高临下事半功倍，做到闻一知十一通百通，这才是真正的数学，真正的学习。
