高中数学解三角形综合问题，数学培优4

高中数学解三角形综合问题，数学培优4∴∠DAE ∠ADB=∠ABE ∠ADB=90°∵∠BAC=90°，AE丄BD[解答]方法一证明：作AG平分∠BAC，交BD于点G

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掌握基本图形分析法是提高几何解题能力的一种基本方法，通过对几个典型基本几何图形的剖析，可以弄清图形中隐含的一些基本位置关系或数量关系.从而找到一些常见的处理几何问题的基本方法。

今天具体讲讲等腰直角三角形的特殊性，结合例题我们慢慢学。

培优题:如图，已知BD是等腰Rt△ABC腰上的中线，AE丄BD于点E，AE的延长线交BC于点F，连接DF，求证：∠ADB=∠CDF。

[解答]

方法一

证明：作AG平分∠BAC，交BD于点G

∵∠BAC=90°，AE丄BD

∴∠DAE ∠ADB=∠ABE ∠ADB=90°

∴∠ABG=∠CAF

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴AB=AC ∠C=∠BAG=45°，

在△BAG和△CAF中，

∠ABG=∠CAF，AB=AC，∠C=∠BAG=45°，

∴△BAG≌△CAF(ASA)

∴AG=CF，

在△AGD和△DFC中，

AG=FG，∠GAD=∠C，AD=CD

∴△AGD≌△DFC(SAS)，

∴∠ADB=∠CDF。

方法二

证明:作GC丄CA交AF的延长线于点G，

∵AE丄BD，

∴△ADE是直角三角形

∴∠DAE ∠ADE=∠AED=90°

∵△BAC是等腰直角三角形

∴∠BAC=90°，在△ABD中:

∠DBA ∠ADE=∠BAC=90°

∴∠CAG=∠ABD

∵在Rt△ABD和Rt△CAG中:

AB=AC，∠CAG=∠ABD，∠A=∠ACG，

∴Rt△ABD≌Rt△CAG(ASA)

∴AD=CG，∠ADB=∠CGA，

∵Rt△BAC是等腰直角三角形

∴∠ACB=45°.

∴∠FCG=ACB=1/2∠ACG=45°.

∵BD是Rt△ABC腰AC上的中线，

∴AD=DC，

∴CD=CG=AD，

在△CDF和△CFG中:

CD=CG、∠DCF=∠CFG、FC=CF，

∴△CDF≌△CFG(SAS)，

∴∠CDF=∠CGA，

∴∠ADB=∠CDF。

[题干分析]

已知条件告诉我们，Rt△ABC是等腰直角三角形，我们首先想到两底角都相等且互余为45°，既然要求∠ADB和∠CDF相等，只有找三角形全等才能解决问题。那么要想得到解答，肯定要作辅助线，来构造三角形全等。

方法一，作∠A的平分线，由∠BAC为直角，得到其它两锐角互余，又根据AE与BD垂直，得到三角形ADF为直角三角形，故两锐角也互余，根据同角的余角相等即可得证.方法二，作边AC上的垂线，利用等腰直角三角形的特殊性，构造三角形全等，达到解决问题的目的，中间的过程就不展开说了，大家看一下解题步骤就一目了然。[解题反思]

当我们向三角形的某边作高时；当遇到角平分线，我们的角的两边作垂线时；当我们作某点关于一条直线的对称点时，直角三角形随之产

生.直角三角形两锐角互余；直角三角形全等除了可以用SAS SSS ASA AAS判断之外，还可以用HL判断；等腰直角三角形除了具有等腰三

角形的性质外，还具有其他的性质，如等腰直角三角形的每个底角都相等，都为45°；等腰

直角三角形的有关问题可以从三方面着手：

⑴ 等边、等角的转换。

⑵ 进行轴对称变换.

⑶ 进行旋转变换.

今天的分享就到这里，欢迎大家在评论区留下您的思路，让我们共同讨论，也许您的方法是最棒的。喜欢文章记得分享哦！