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高中数学解三角形综合问题,数学培优4

高中数学解三角形综合问题,数学培优4∴∠DAE ∠ADB=∠ABE ∠ADB=90°∵∠BAC=90°,AE丄BD[解答]方法一证明:作AG平分∠BAC,交BD于点G

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掌握基本图形分析法是提高几何解题能力的一种基本方法,通过对几个典型基本几何图形的剖析,可以弄清图形中隐含的一些基本位置关系或数量关系.从而找到一些常见的处理几何问题的基本方法。

高中数学解三角形综合问题,数学培优4(1)

今天具体讲讲等腰直角三角形的特殊性,结合例题我们慢慢学。

培优题:如图,已知BD是等腰Rt△ABC腰上的中线,AE丄BD于点E,AE的延长线交BC于点F,连接DF,求证:∠ADB=∠CDF。

高中数学解三角形综合问题,数学培优4(2)

[解答]

方法一

证明:作AG平分∠BAC,交BD于点G

高中数学解三角形综合问题,数学培优4(3)

∵∠BAC=90°,AE丄BD

∴∠DAE ∠ADB=∠ABE ∠ADB=90°

∴∠ABG=∠CAF

∵△ABC是等腰直角三角形,

∴AB=AC ∠C=∠BAG=45°,

在△BAG和△CAF中,

∠ABG=∠CAF,AB=AC,∠C=∠BAG=45°,

∴△BAG≌△CAF(ASA)

∴AG=CF,

在△AGD和△DFC中,

AG=FG,∠GAD=∠C,AD=CD

∴△AGD≌△DFC(SAS),

∴∠ADB=∠CDF。

高中数学解三角形综合问题,数学培优4(4)

方法二

证明:作GC丄CA交AF的延长线于点G,

高中数学解三角形综合问题,数学培优4(5)

∵AE丄BD,

∴△ADE是直角三角形

∴∠DAE ∠ADE=∠AED=90°

∵△BAC是等腰直角三角形

∴∠BAC=90°,在△ABD中:

∠DBA ∠ADE=∠BAC=90°

∴∠CAG=∠ABD

∵在Rt△ABD和Rt△CAG中:

AB=AC,∠CAG=∠ABD,∠A=∠ACG,

∴Rt△ABD≌Rt△CAG(ASA)

∴AD=CG,∠ADB=∠CGA,

∵Rt△BAC是等腰直角三角形

∴∠ACB=45°.

∴∠FCG=ACB=1/2∠ACG=45°.

∵BD是Rt△ABC腰AC上的中线,

∴AD=DC,

∴CD=CG=AD,

在△CDF和△CFG中:

CD=CG、∠DCF=∠CFG、FC=CF,

∴△CDF≌△CFG(SAS),

∴∠CDF=∠CGA,

∴∠ADB=∠CDF。

高中数学解三角形综合问题,数学培优4(6)

[题干分析]

已知条件告诉我们,Rt△ABC是等腰直角三角形,我们首先想到两底角都相等且互余为45°,既然要求∠ADB和∠CDF相等,只有找三角形全等才能解决问题。那么要想得到解答,肯定要作辅助线,来构造三角形全等。

方法一,作∠A的平分线,由∠BAC为直角,得到其它两锐角互余,又根据AE与BD垂直,得到三角形ADF为直角三角形,故两锐角也互余,根据同角的余角相等即可得证.方法二,作边AC上的垂线,利用等腰直角三角形的特殊性,构造三角形全等,达到解决问题的目的,中间的过程就不展开说了,大家看一下解题步骤就一目了然。[解题反思]

当我们向三角形的某边作高时;当遇到角平分线,我们的角的两边作垂线时;当我们作某点关于一条直线的对称点时,直角三角形随之产

生.直角三角形两锐角互余;直角三角形全等除了可以用SAS SSS ASA AAS判断之外,还可以用HL判断;等腰直角三角形除了具有等腰三

角形的性质外,还具有其他的性质,如等腰直角三角形的每个底角都相等,都为45°;等腰

直角三角形的有关问题可以从三方面着手:

⑴ 等边、等角的转换。

⑵ 进行轴对称变换.

⑶ 进行旋转变换.

今天的分享就到这里,欢迎大家在评论区留下您的思路,让我们共同讨论,也许您的方法是最棒的。喜欢文章记得分享哦!

高中数学解三角形综合问题,数学培优4(7)

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