高等代数最大公因式例题讲解（当多项式有最大公因式时的性质）

高等代数最大公因式例题讲解（当多项式有最大公因式时的性质）f(x)与g(x)是两个多项式，如果f(x)的次数小于g(x)的次数，则用辗转相除法求f(x)和g(x)的最大公因式的方法如图一所示我们也可以将这个方法用到求多项式的最大公因式上。108=72×1 3672=36×2所以，36就是108和180的最大公因数。

多项式公因式的性质

要想证明这个定理，就需要知道如何求出两个多项式的最大公因式。

求两个多项式的最大公因式我们一般使用辗转相除法，类似于求两个数的最大公因数。

例如求108与180的最大公因数，我们可以使用辗转相除法

180=108×1 72

108=72×1 36

72=36×2

所以，36就是108和180的最大公因数。

我们也可以将这个方法用到求多项式的最大公因式上。

f(x)与g(x)是两个多项式，如果f(x)的次数小于g(x)的次数，则用辗转相除法求f(x)和g(x)的最大公因式的方法如图一所示

图一

证明多项式公因式的性质

根据图一中的第k个式子，我们可以得到

rₖ(x)=rₖ₋₂(x)-rₖ₋₁(x)qₖ(x)

我们令u₁(x)=1，v₁(x)=-qₖ(x)

于是，rₖ(x)=rₖ₋₂(x)u₁(x) rₖ₋₁(x)v₁(x)

根据图一中的第k-1个式子，我们可以得到

rₖ₋₁(x)=rₖ₋₃(x)-rₖ₋₂(x)qₖ₋₁(x)

从而，rₖ(x)=rₖ₋₂(x)u₁(x) rₖ₋₁(x)v₁(x)

=rₖ₋₂(x)u₁(x) [rₖ₋₃(x)-rₖ₋₂(x)qₖ₋₁(x)]v₁(x)

=rₖ₋₃(x)v₁(x) [u₁(x)-qₖ₋₁(x)v₁(x)]rₖ₋₂(x)

我们令u₂(x)=v₁(x)，

v₂(x)=u₁(x)-qₖ₋₁(x)v₁(x)

于是，rₖ(x)=rₖ₋₃(x)u₂(x) rₖ₋₂(x)v₂(x)

我们可以根据图一中的式子，以此类推下去，最终可以得到

rₖ(x)=f(x)uₖ(x) g(x)vₖ(x)

在数域F中会存在一个不为零的数c，使得 crₖ(x)为最高次项系数是1的多项式

我们令d(x)=crₖ(x) u(x)=uₖ(x) v(x)=vₖ(x)

所以，d(x)=f(x)u(x) g(x)v(x)

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