复数的立方差公式证明：复数域上的立方和与立方差公式

复数的立方差公式证明：复数域上的立方和与立方差公式初看此式（见原书第231页），让人有点摸不着头脑。实际上，这是两数的立方和在复数域上的因式分解，即：提示的式子（绿色卡片的背面）假设三次方程 的解为 ，而且 与 的定义如下。请用 和 表示 。背面还写了一个提示的式子，如下。

作者 | 子曰

在《数学女孩5：伽罗瓦理论》第7章中，村木老师给了泰朵拉红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫的七张卡片，依次解开这7张卡片上的问题或算式，就可以导出三次方程的求根公式。

其中绿色卡片上的问题是：3次方的和，即

问题7-4(3次方的和)

假设三次方程 的解为 ，而且 与 的定义如下。

请用 和 表示 。

背面还写了一个提示的式子，如下。

提示的式子（绿色卡片的背面）

初看此式（见原书第231页），让人有点摸不着头脑。实际上，这是两数的立方和在复数域上的因式分解，即：

或称其为复数域上的立方和公式。它是怎么得到的呢？下面就来给大家讲解一下，顺带把立方差公式也一起讲一下。

实数域上的立方和与立方差公式一般指：

在复数范围内，右边的二次三项式还可以继续分解。

令 ，把它看成关于 的二次方程，由于判别式小于0，它在实数范围内无解，但在复数范围内可解得两根为：

所以

在复数域上，1的三次方根有三个：，其中 .

所以

所以，复数域上的立方差公式可以写成：

对于 ，令 ，同理在复数范围内可解得：

所以

由于

所以

以上，因为 是1的三次方根，所以 ，所以 .

所以

所以，复数域上的立方和公式可以写成：

至此，我们解开了“3次方的和”的秘密。