利用矩阵的初等变换求矩阵的乘积：矩阵的乘积复合变换
利用矩阵的初等变换求矩阵的乘积：矩阵的乘积复合变换如果是 BA 两个矩阵相乘的运算 就相当于先旋转再拉伸 这样的复合变换运算顺序是从右往左进行 可以观察下面的动画: 上面都是进行一次变换的操作 如果想要再进行一次(甚至更多)变换 就要矩阵和矩阵相乘了. 譬如下面矩阵 A 相当于将空间旋转 矩阵 B 是横向拉伸.单位矩阵对空间什么都不改变 保持基向量不变 也被称为"恒等变换" 可以看下面对应的空间变化过程(尽管没有改变):除了对角元之外所有元素均为 0 的矩阵称之为对角矩阵. 对角矩阵表示的沿着坐标轴伸缩变换 其中对角元素就是各轴伸缩的倍率 并且下例矩阵 A 的对角元素中含有 2 个负数 可以看做经过了 2 次镜像翻转 x y 两个方向先是压缩 然后再被拉伸 面积扩大为原来的 6 倍 这样行列式的值为 6.
矩阵向量的乘积可以理解为将一个特定的线性变换作用在向量上 本次我们先看几个特殊的矩阵下的变换以及矩阵矩阵的乘积.
零矩阵即所有元素都是 0 的矩阵 记为 O . 可以用下标来表示矩阵的大小:
零矩阵表示的变换是将空间压缩到原点 可以观察在 2 阶零矩阵的作用下 空间被压缩到原点的变化过程 注意行列式的值最后为 0:
是对角元素为 1 其余都是 0 记为 I.
单位矩阵对空间什么都不改变 保持基向量不变 也被称为"恒等变换" 可以看下面对应的空间变化过程(尽管没有改变):
对角矩阵除了对角元之外所有元素均为 0 的矩阵称之为对角矩阵.
对角矩阵表示的沿着坐标轴伸缩变换 其中对角元素就是各轴伸缩的倍率 并且下例矩阵 A 的对角元素中含有 2 个负数 可以看做经过了 2 次镜像翻转 x y 两个方向先是压缩 然后再被拉伸 面积扩大为原来的 6 倍 这样行列式的值为 6.
上面都是进行一次变换的操作 如果想要再进行一次(甚至更多)变换 就要矩阵和矩阵相乘了. 譬如下面矩阵 A 相当于将空间旋转 矩阵 B 是横向拉伸.
如果是 BA 两个矩阵相乘的运算 就相当于先旋转再拉伸 这样的复合变换运算顺序是从右往左进行 可以观察下面的动画:
如果是 AB 两个矩阵相乘的运算 就相当于先拉伸后旋转 运算顺序是从右往左 可以观察下面的动画:
从上面两个变换动画 可以得出结论矩阵的乘积不满足交换律(可以想象满足结合律):
可以计算出 BA 和 AB 的值:
如何计算矩阵的乘积 除了课本上给出的方法 还可以按照列的线性表出来进行 以 BA 为例:
另外 如果两个矩阵都不是零矩阵 但是矩阵的乘积可能会是零矩阵 比如在下面两个矩阵:
空间中 A 做横向压缩 B 做垂直压缩 经过 A 然后 B 的变换后 也会映射到原点.
上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点. 好了 现在让我们在下一篇的中再见!
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