全等三角形角平分线的性质定理，运用角平分线性质构造三角形全等

全等三角形角平分线的性质定理，运用角平分线性质构造三角形全等注意到△BDF与△CDE中，BD=CD，DF=DE，所以∠DAB=∠DBC，所以弧BD=弧CD，因此，连接DC，可得BD=DC．首先注意到D是角平分线上的点，DF⊥AB，联想到定理：角平分线上的点到这个角两边距离相等．为了利用这个定理，作DE⊥直线CA，交CA延长线于点E，则DE=DF(如图2)．再考虑到点A、B、C、D四点都在圆上，所以连接BD，可得圆内接四边形ACBD，从而可利用"圆内接四边形外角等于它的内对角"，得∠DAE=∠DBC．因为∠DAE=∠DAB，

"角平分线上的点到这个角两边距离相等"是角平分线一个简单而又重要的性质定理．运用用个性质定理可以解决许多具有一定难度的几何题．

例 如图1，已知△ABC中，AB>AC，∠BAC的外角平分线交外接圆于点D，过点D作DF⊥AB于F．

求证：AB-AC=2AF．

分析：此题曾经是全国初中数学联赛试题，初看似有一定的难度，但如果善于联想，问题解决并不难．

首先注意到D是角平分线上的点，DF⊥AB，联想到定理：角平分线上的点到这个角两边距离相等．为了利用这个定理，作DE⊥直线CA，交CA延长线于点E，则DE=DF(如图2)．

再考虑到点A、B、C、D四点都在圆上，所以连接BD，可得圆内接四边形ACBD，从而可利用"圆内接四边形外角等于它的内对角"，得∠DAE=∠DBC．

因为∠DAE=∠DAB，

所以∠DAB=∠DBC，所以弧BD=弧CD，因此，连接DC，可得BD=DC．

注意到△BDF与△CDE中，BD=CD，DF=DE，

根据"斜边直角边"定理，得△BDF≌△CDE，

所以BF=CE，

而BF=AB-AF，CE=AC AE，

所以AB-AF=AC AE，

所以AB-AC=AF AE．

显然，AE=AF，

所以AB-AC=2AF．

证明：连接DB、DC，作DE⊥直线CA，垂足为E．

因为∠DAE=∠DAF，DF⊥AB，

所以DE=DF，

因为AD=AD，

所以△ADE≌△ADF，

所以AE=AF．

因为四边形ACBD内接于圆，

所以∠DAE=∠DBC，

因为∠DAE=∠DAB，

所以∠DAB=∠DBC，

所以弧BD=弧CD，

所以BD=DC．

在Rt△BDF与Rt△CDE中，

BD=CD，DF=DE，

所以△BDF≌△CDE，

所以BF=CE，

因为BF=AB-AF，CE=AC AE，

所以AB-AF=AC AE，

所以AB-AC=AF AE=AF AF=2AF，

所以AB-AC=2AF．

从证明过程可以发现，本题获得解决的关键在于为了利用角平分线性质定理作出的辅助性DE，从而构造了全等三角形．这种思路方法在其他相关问题中都值得进行尝试．

练习：

1.如图3，△ABC中，AB>AC，∠ABC的外角平分线交外接圆于点D，DE⊥BC，交CB延长线于点E．BE=1，求AB-BC．

（提示：过点D作DF⊥AB于F）

2.如图4，圆内接△ABC中，AB=AC，D是弧BC上一点，DC>DB，AE⊥DC于E．

求证：DC-DB=2CE．

（提示：过点A作AF⊥BD交BD延长线于F）

3. 如图5，△ABC中，∠BAC＝60°，∠B、∠C的平分线BD、CE相交于点I，求证：ID＝IE．

（提示：连接IA，过点I分别作IP⊥AC于P，IQ⊥AB于Q）