数字后面接复数，图解不可能的数字
数字后面接复数，图解不可能的数字现在来看直角坐标平面是二维的 需要两个数(x y)来描述任意一点的位置 但现在用一个复数就够了 可以用实数组(a b)代表这个复数 并且可以在复平面上绘制出来. 不过请记住这里应该将每个这样的点看做一个复数 而不是一对实数. 这个没在实数轴上奇怪的点实际上落在复数平面(complex plane 或称为阿尔冈平面)上了 所有在复平面上的数都满足 z=a b i 这样的结构 称之为复数. 其中a 称为实部(real part) b 为虚部(imaginary part). 如下图 1 2i 复数 1 和 2 是实数 i 是虚数单位 这样的复平面几何表示如下图所示:数学家进一步思考 既然乘以 -1 是转动 180° 那么只转动了 90° (比如整数 1 )落在哪里? 有什么意义呢? 这是19世纪数学史上非常重要的一步 现在不在是在一维的实数轴上 而是进入了二维的
复数(Complex)作为实数的拓展历史悠久 一度曾被叫做子虚乌有的数(imaginary) 直到十八世纪初经过棣莫弗及欧拉大力推动 才被数学家们渐渐接受.
确实理解复数确实需要一点时间 不过它并不复杂 而且利用它还能画出非常美丽的变换和分形图形 这次让我们用图形可视化的方式来拥抱这个概念.
复数 作为实数理论的延伸先来看看在实数轴上两个数的加减乘除这 4 种运算. 观察到红蓝两个点(数) 在不同的计算下 其结果(绿点)的变化 不管数怎样变化 都总还落在数轴上(除法分母为 0 时候 当然没有意义).
再来看下图中 任何实数乘以 -1 的结果都会落在关于原点对称相应的位置上. 所以乘以 -1 的计算可以理解为该点(数)绕着原点旋转了半圈.
数学家进一步思考 既然乘以 -1 是转动 180° 那么只转动了 90° (比如整数 1 )落在哪里? 有什么意义呢?
进入新的二维复数平面这是19世纪数学史上非常重要的一步 现在不在是在一维的实数轴上 而是进入了二维的复平面.
考虑到转动两个 90° 会刚好到 -1. 所以认为 -1 的平方根是相应于 1 的一个 90度的旋转(也就是 1*i*i=-1) 这样在平面上与实数轴垂直的单位线段 称为是 1 个虚数单位 i . 于是有着性质:
这个没在实数轴上奇怪的点实际上落在复数平面(complex plane 或称为阿尔冈平面)上了 所有在复平面上的数都满足 z=a b i 这样的结构 称之为复数. 其中a 称为实部(real part) b 为虚部(imaginary part). 如下图 1 2i 复数 1 和 2 是实数 i 是虚数单位 这样的复平面几何表示如下图所示:
现在来看直角坐标平面是二维的 需要两个数(x y)来描述任意一点的位置 但现在用一个复数就够了 可以用实数组(a b)代表这个复数 并且可以在复平面上绘制出来. 不过请记住这里应该将每个这样的点看做一个复数 而不是一对实数.
还有三个新概念需要知晓:
- 复数的模(modulus 通常写为 |z|)
- 辐角(argument 通常写为 arg(z))
- 复数的共轭(conjugate 通常写为 ¯z)
复数的模就是它长度 r: 从原点到 z 点之间的距离. 辐角 φ 就是与实轴的夹角 共轭就是 a-b i 的形式. 观察下图可以更好理解:
复数有如何运算 比如可以两两相加 也就是两个复数实部和虚部分别对应相加 可以看成是平移的操作.
复数也可以有数乘运算 就是对模的放大或缩小了:
复数的乘法 就如上面所述 数乘以 i 相当于这个转动 90°:
z1*z2 两个复数相乘其实就是旋转 伸缩两种变换 也就是两个复数的模相乘(伸缩大小) 辐角相加(旋转量).
如果对图片中的每一点做复数运算的变换 可以得到各种有趣的平面变换图像. 这里为了纪念欧拉大神 就以他老人家头像为例 比如做乘以 2 i 的函数变换 - 旋转 90° 同时放大了2 倍的变换; 另一个变换函数为三次方 你也可以思考为什么会变成这个形状呢? :-)
复平面内的点可以转成极坐标(不清楚可查看这里)的形式 (r θ) 那么该点所表示的复数是什么呢？可用 x = r cos(θ) 和 y = r sin(θ) 来转化到笛卡尔坐标. 所以极坐标 (r θ) 表示复数
z = x iy = r cos(θ) i r sin(θ).
特别的 如果 r = 1 则 z = cos(θ) i sin(θ).
形如 r e^(i θ) 的复数为极坐标形式 并且与之相对的 x iy 为笛卡尔形式. 1743 年 瑞士数学家欧拉给出了著名的欧拉公式 对所有实数 θ 都成立:
特别当 θ=π 时，欧拉公式的特殊形式更是被评为数学上最美的公式:
这个简洁公式包括了 5 个数学上最重要的常数: 0 1(自然数的基本单位) e(描述变化率的自然指数) π 以及 i(虚数的基本单位).
我们可以很快用几何的方法来证明该等式 观察下图不同的 θ 值对应的极坐标 e^θ 请留意动画停顿之处(特别是在复平面旋转角度为 180° 点落到等于 -1 的时刻) 相信就会理解上面的欧拉等式:
关于复数 还可以进一步查看这里《文化脉络中的数学》- 【从复数开始的科技文明】部分 相信会有更多的收获.
原作者：遇见数学
编辑：天津新东方大学考试-王老师
审核：sorin
