中学题已知三边求梯形面积：西游归来的数学052

小君 2023-01-24 16:50:38 566

中学题已知三边求梯形面积：西游归来的数学052八戒走进一看，王经理介绍的种苗是如图1的△ABC这一块，在它的三边外围分别是三个正方形ABDE、BCFG和ACHI。"猪先生，根据您所说的种植面积，所需种苗我算了一下大约需要1100平方米。"王经理指着不远处一块种苗说，"你看，那边那块三角形苗圃里的种苗长势不错，而且它的面积也恰好可满足你的需要。按照公司的定价每平方米种苗20元，1100平方米需要2万2千元，看在高主任老顾客的面子上，收您2万元整就好，您看怎么样？"茶叶种苗基地坐落在一个四面环山，云雾缭绕的山旮旯里。负责销售的王经理热情地接待了他们，并告诉八戒说基地的种苗是按面积销售的，买家看上那块苗圃里的苗，就按该块地的面积进行收费，然后由基地负责将种苗送到客户住地。喝完茶，听完王经理介绍后，八戒一行随王经理绕着基地走了一圈查看种苗长势情况。茶叶种苗的苗圃形态各异，它们大多是因地制宜，稍作整改而成形的，其中见得最多的是三角形，四边形形状

中学题已知三边求梯形面积：西游归来的数学052(1)

第51回

种苗基地，销售单价面积算

苗圃面积，多种算法各有理

话说八戒一行三人过了河，不会儿功夫就到了基地。

茶叶种苗基地坐落在一个四面环山，云雾缭绕的山旮旯里。负责销售的王经理热情地接待了他们，并告诉八戒说基地的种苗是按面积销售的，买家看上那块苗圃里的苗，就按该块地的面积进行收费，然后由基地负责将种苗送到客户住地。

喝完茶，听完王经理介绍后，八戒一行随王经理绕着基地走了一圈查看种苗长势情况。

茶叶种苗的苗圃形态各异，它们大多是因地制宜，稍作整改而成形的，其中见得最多的是三角形，四边形形状的。

"猪先生，根据您所说的种植面积，所需种苗我算了一下大约需要1100平方米。"王经理指着不远处一块种苗说，"你看，那边那块三角形苗圃里的种苗长势不错，而且它的面积也恰好可满足你的需要。按照公司的定价每平方米种苗20元，1100平方米需要2万2千元，看在高主任老顾客的面子上，收您2万元整就好，您看怎么样？"

八戒走进一看，王经理介绍的种苗是如图1的△ABC这一块，在它的三边外围分别是三个正方形ABDE、BCFG和ACHI。

"你们这块地的面积1100平方米是如何算出来的？"显然，八戒怀疑△ABC的面积是否有1100平方米？

"我们是根据它外围的三块正方形的面积算出来的。"王经理说，"正方形ABDE、BCFG和ACHI这三块田地的面积分别是3700平方米、1160平方米和740平方米，这是绝对标准的。"

"这三块正方形的面积我不怀疑它们的准确性，可是中间这块△ABC的面积真的是1100平方米吗？"

"太爷爷，我们算一下就知道是不是1100平方米了？"

"好，用你学过的知识帮我算一下。"八戒说，"这个问题转化为数学模型就是如下数学问题：

中学题已知三边求梯形面积：西游归来的数学052(2)

如图1，△ABC 中，四边形ABDE、BCFG、CAHI分别是面积为37000平方米、11600平方米、7400平方米的正方形，求△ABC的面积."

然后求这个三角形的面积呢？小猪马上想到了△ABC的三边是可求的，且AB=10√370，BC=10√116，CA=10√74。

中学题已知三边求梯形面积：西游归来的数学052(3)

已知三角的三边长求面积，这对小猪来说可谓是小菜一碟，他一下子就想到了作高CK（如图2），并设BK=x，则AK=10√370-x。在Rt△BCK和Rt△ACK中，由勾股定理，得：

BC2-BK2=CK2=AC2-AK2，

因为BC2=11600，AC2=7400，

所以11600-x2=7400-(10√370-x)2，

整理，得

11600-x2=7400-37000 20√370x-x2，

即20√370x =41200，

所以x=2060/√370，

所以CK=√(BC2-x2)

=√(11600-4243600/37)

=220/√370，

所以△ABC 的面积

=1/2·AB×CK=1/2×10√370×220/√370=1100（平方米）。

"太爷爷，王经理说的那块△ABC 的面积的确是1100平方米没有错。"

"你是怎么算出来的？给我看一下。"八戒看了小猪的解法后说，"已知三角形三边，求面积可用海伦——秦九韶公式……"

"海伦——秦九韶公式是个什么样的公式？"

"就是S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]这个公式，其中a、b、c是三角形三边的长，p是三角形的半周长，即p=1/2·（a b c）."八戒说，"只需要将三角形的三边直接代入计算就可求得三角形的面积了。"

"可是太爷爷，在这一题中，a=√1160，b=√740，c=10√37，如果把a、b、c直接代入公式计算十分繁杂啊！"

"是啊，如果三角形三边长的数字不简单，直接代入计算很不划算。"八戒说，"在这种情况下我们可以先把公式变形为如下形式：

S=√[1/16·(a b c)(b c-a)(c a-b)(a b-c)]

=1/4·√[4b2c2-(b2 c2-a2)2].

由已知，a2 =11600，b2=7400，c2=37000，代入公式，得

S=1/4·√[4b2c2-(b2 c2-a2)2]

=1/4·√[4×7400×3700-(7400 3700-11600)2]

=1/4·√19360000=1100（平方米）."

"虽然比直接代入计算简单些，但还是有点麻烦的。"小猪问，"还能有更简便的解法吗？"

"……这个我也不知道。我还是先把2万元钱转给王经理后再说吧。"

八戒拿出手机似有所思，突然想起对小猪说："你用微信请教一下你大太爷吧，看他是否在线？请教一下有没有更简单的办法？"

小猪给孙悟空发了条微信，并把图1拍照连同题目发给悟空。

悟空那边立马发回信息说：这个△ABC三边真是太巧了，给这个问题的解决提供了一个绝妙的方法：

中学题已知三边求梯形面积：西游归来的数学052(4)

如图3，构造Rt△MNR，MN为斜边，直角边RM=90，RN=170，P、Q分别在RM、RN上，RP=40，RQ=70，分别过点P、Q作RM、RN的垂线相交于点O.

"我知道你大太爷解法思路了。"八戒看完悟空发来的信息后对小猪说，"你现在把△OMN的面积求出来。"

小猪说："△OMN的面积S

=Rt△RMN的面积-Rt△OPM的面积-Rt△OQN的面积-长方形OPRQ的面积

=1/2·RM·RN-1/2·OP·PM-1/2·OQ·QN-RP·RQ

而RM=90，RN=170，OP=RQ=70，

PM=RM-RP=90-40=50，OQ=RP=40，

QN=RN-RQ=170-70=100，RP=40，RQ=70，

所以，S=1/2×90×170-1/2×70×50-1/2×40×100-40×70

=1100（平方米）.

奇怪，△OMN的面积怎么与图1的△ABC的面积刚好相等呢？"

"这没什么奇怪，"八戒说，"因为△OMN与△ABC全等。"

"为什么全等呢？"小猪觉得奇怪.

"你看."八戒说，"在图1的△ABC与图3的△MNO中，

因为MN=√(RM2 RN2)

=√[(90)2 (170)2] =10√370=AB，

MO=√(PM2 PO2)

=√[(50)2 (70)2] =10√74=AC，

NO=√(OQ2 QN2)

=√[(40)2 (100)2] =10√116=BC，

所以△ABC≌△MNO，

所以，△ABC的面积与△MNO的面积相等就不足为奇了."

"大太爷他怎么就能想到构造直角三角形这种方法呢？"

"你大太爷是谁啊，他能想到这种解法是因为他积淀了大量的数学知识和具有灵活多变的超常思维能力，这可是一般人难于想象得到的。"八戒说，"事实上构造直角三角形可以解决许多带根号的问题。比如解方程：√(x2 1) √(x2-24x 160) =13。如果采用两边平方去根号，那解法将相当的繁杂，而构造直角三角形求解则十分简便。"

"如何构造呢？"

"首先把√(x2-24x 160)化为√[(12-x)2 16]，则原方程为

√(x2 1) √[(12-x)2 16] =13，

从√(x2 1)联想到直角三角形的两直角边x和1；从√[(12-x)2 16]联想到直角边为12-x和4的直角三角形；从1 4=5及12、13联想到勾股数5，12，13。"八戒说，"因此，构造直角△ABC（如图4），使∠C=90°，BC=5，AC=12，则AB=13。在CB上截取CD=1，过点D作DP∥AB交AC于点P，过点P作PE∥BC交AB于点E。则四边形BDPE是平行四边形，所以PE=BD=5-1=4，DP=BE，∠APE=90°。设CP=x，则AP=12-x.由勾股定理，得DP=√(x2 1)，AE=√[(12-x)2 16]。

中学题已知三边求梯形面积：西游归来的数学052(5)