数学园地全册：数学之旅数学梦

数学园地全册：数学之旅数学梦雅可比，19世纪德国数学家，被誉为数学史上与欧拉齐名的最勤奋、最多产、最伟大的数学家之一。雅可比与阿贝尔几乎同时各自独立发现了椭圆函数，是椭圆函数理论的奠基人，并且是将椭圆函数理论应用于数论研究的第一人。与泊松相似，数学中许多定理、公式、函数、方程、积分、曲线、矩阵、根式、行列式等等，以及许多数学符号都冠以雅可比的名字，可见雅可比的数学成就对后人影响之深。泊松，18与19跨世纪的伟大的法国数学家，他有句名言："人生只有两样美好的事情：发现数学和教数学。"很好概括了他一生，——既是天才的数学家，也是成功的数学教师，数学中以他命名的有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松求和法，……等等，足以说明他对数学的贡献。写作《数学之旅数学梦》的初衷，是"超级数学

看了《数学之旅数学梦》上篇，还有兴趣接着再看下篇吗？

我们可以厌恶数学，却时时刻刻也离不开数学；我们可以对数学敬而远之，却谁也抹不去数学家们走过的足迹。

——拂晓晨星

写作《数学之旅数学梦》的初衷，是"超级数学建模"出品了一副《数学之旅》扑克，把深刻影响人类历史进程的54位著名数学家的肖像、及其最重要的贡献绘制成了精美的扑克牌，浓缩了2600年数学史；我想通过个人独特的视角为54位数学家每人写一个小传，上篇只写了其中27位数学家，下篇将继续写完其余的27位数学家。

一副扑克牌，只能容下54位数学家，然而《数学之旅》的选取标准有些令人疑惑，比如五六十年代我国妇孺皆知的著名数学家华罗庚就未能入选，反而他的弟子陈景润入选了。华罗庚之所以家喻户晓，一是因为他是一个自学成才的典型；二是上个世纪六十年代末、七十年代初，华罗庚大力推广"优选法"，堪称中国一场史无前例的数学大普及！要论对中国数学的贡献，华罗庚绝对超过陈景润；要说中国数学家，我最崇拜的也是华罗庚。

另一个让我耿耿于怀、未能入选的是法国数学家帕斯卡。帕斯卡其实是大家熟悉的，高中数学有个二项式定理，其展开式系数表，我国叫"杨辉三角形"，西方叫"帕斯卡三角形"。帕斯卡还发明了世界上第一台机械计算机。我曾经梦寐以求把数学运算机械化，上世纪70年代初在农村中学教书时，我设计出了一种通过齿轮啮合与运转来进行计算的"机械计算机"，兴致冲冲寄到中国科学院请求审核，得到的答复是"早在1642年，法国数学家帕斯卡就发明了世界上第一台机械计算机，电子计算机时代即将来临，您的发明已经毫无意义！"

泊松，18与19跨世纪的伟大的法国数学家，他有句名言："人生只有两样美好的事情：发现数学和教数学。"很好概括了他一生，——既是天才的数学家，也是成功的数学教师，数学中以他命名的有：泊松定理、泊松公式、泊松方程、泊松分布、泊松过程、泊松积分、泊松级数、泊松变换、泊松代数、泊松比、泊松流、泊松核、泊松括号、泊松稳定性、泊松积分表示、泊松求和法，……等等，足以说明他对数学的贡献。

雅可比，19世纪德国数学家，被誉为数学史上与欧拉齐名的最勤奋、最多产、最伟大的数学家之一。雅可比与阿贝尔几乎同时各自独立发现了椭圆函数，是椭圆函数理论的奠基人，并且是将椭圆函数理论应用于数论研究的第一人。与泊松相似，数学中许多定理、公式、函数、方程、积分、曲线、矩阵、根式、行列式等等，以及许多数学符号都冠以雅可比的名字，可见雅可比的数学成就对后人影响之深。

泊松与雅可比两位数学家研究的数学太深，远离大众，至少在中国鲜为人知。而1978年春天，徐迟的一篇报告文学《哥德巴赫猜想》却让哥德巴赫与陈景润成了中国家喻户晓的人物，激发起无数中国人的科学梦。哥德巴赫是18世纪普鲁士数学家，曾写信给欧拉提出了这样的猜想"任一大于2的偶数都可写成两个素数之和"，就是著名的"哥德巴赫猜想"。哥德巴赫猜想看似简单，证明却着实不易，成为困扰数学界两百多年的著名难题。18、19世纪，世界上所有的数学家都对它束手无策，直到20世纪才开始有所突破。

19世纪的英国数学家德·摩根可谓现代IT行业的鼻祖，最重要的贡献是开创了"数理逻辑"，发展了一套逻辑推理符号，率先开始关系逻辑的研究，并用代数的方法研究逻辑演算，提出了著名的"德摩根定律"，这些都成为后来"布尔代数"的基础，当然也是电子计算机的基础，IT行业无人不知、无人不晓。德·摩根1835年出版的《代数学基础》一书，1859年由中国数学家李善兰和英国烈亚力译成中文，名为《棣么甘代数学》，成为中国历史上第一本代数学书籍。

欧拉与阿基米德、牛顿和高斯是数学史上公认的四位最伟大的数学家，阿基米德有"翘起地球"的豪言壮语、牛顿因为苹果闻名于世、高斯儿时就崭露惊人的计算天赋，欧拉则将"最多产的数学家"称号保持了两百年，甚至后半生失明的十七年中依然"高产"，解决了让牛顿都头痛的月离问题、以及很多复杂的数学和物理问题，今天几乎所有数学领域都可以看到欧拉的名字。1783年欧拉去世后，彼得堡科学院成立了专门机构整理他的著作，历经四十七年才完工。连伟大的数学家高斯也说："研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。"

伽罗瓦，绝对是历史上最伟大的数学天才，没有之一，年仅18岁便创立了数学史上革命性的理论——群论。能在这个年龄提出新学科分支，古今仅此一人。由于理念太过超前，直到32年后，群论才被承认。现代群论作为一种抽象数学工具，已经在计算机、拓扑学、分析学、物理学、量子学、化学等领域中得到了广泛应用。伽罗瓦也是个悲剧性人物，1832年20岁便因一场有预谋的"决斗"而丧生。决斗的前夜，伽罗瓦预料自己可能会死，通宵达旦奋笔疾书，争分夺秒，力图把他所有数学成果都记录下来，在草稿纸上写下了好几个 "我没有时间"、"我没有时间了"。 他在这一夜写下的东西，足足让一代代的数学家忙活了几百年。

理工科的大学生在学习微积分的基础理论"极限"时，一定都对极限的"ε-δ"定义印象深刻，而且不少人被"虐哭"过！这就是柯西在数学上的第一大贡献，柯西首次在微积分中引进了严格的极限概念，并以此为基础建立了逻辑清晰的分析体系。至今，几乎所有微积分教科书都还在沿用柯西等人最早提出的关于极限、连续、导数、收敛等概念的定义。我1964年刚进高二，因为要参加中学生数学竞赛"通讯赛"，第一次知道有个"柯西不等式"是数学竞赛的利器；现在的高中生要参加数学竞赛，恐怕也都得熟练掌握"柯西不等式"。

黎曼对数学影响最大的，是1859年提出的"黎曼猜想"——关于黎曼函数零点分布的一个猜想，1900年，希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中就包括"黎曼猜想"；克雷数学研究所悬赏的千禧年世界七大数学难题也包括"黎曼猜想"。"黎曼猜想"堪称数学史上最困难、最重要、也是最富于戏剧性的猜想，数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。2018年英国数学家阿蒂亚声称证明了黎曼猜想，中国数学家吴豪聪甚至宣称先于阿蒂亚于2013年就证明了黎曼猜想，二人却一直无法令数学界信服。

我是作为知青下放农村、自学华罗庚的《数论导引》时，知道了切比雪夫的"素数分布定理"；与此同时，另一本我当时正在偷偷阅读的英文版《数学简史》告诉我：切比雪夫是19世纪俄罗斯彼得堡数学学派的奠基人和领袖，在解析数论、概率论、函数逼近论、积分学等方面成就卓著。后来上了大学，才知道切比雪夫的最大贡献是概率论中的"大数定律"，——也就是那些"几乎一定要发生的事件"的规律。从切比雪夫开始，概率论真正成为比较完善的一门数学分支。

埃尔米特是个奇特的"数学考不好"的十九世纪法国数学家：大学入学考试重考了五次，每次重考的原因都是数学不及格；大学几乎毕不了业，每次考不好也都是因为数学一科；大学毕业后考不上研究院，考不好的科目还是数学！数学是他一生的至爱，然而数学考试却是他一生的恶梦。不过，"数学考不好"并不影响他的伟大：向量数学中"共轭矩阵"是他首创；人类一千多年解不出"五次方程式通解"，也是他最先解出；自然对数底e的"超越性"，还是他第一个证明。他的传奇表明"一个不会考试的人，仍然能有出彩的人生！"

对于"无穷"的探索与研究，从古希腊时代起就一直是数学最神秘、最富吸引力、也是最困难的领域，而19世纪的德国数学家康托尔就被誉为"无穷的统帅"！康托尔早期的兴趣是数论，后来转而研究三角级数，由此导致19世纪末20世纪初最伟大的数学成就——集合论与超穷数理论的创立。当时很多人、包括一些知名数学权威都不理解集合论与超穷数理论，对康托尔进行了不公正的学术打压，导致康托尔精神分裂、健康恶化，最终在精神病院去世。我大学学习"集合论"才知道康托尔，立刻被"超穷数理论"所吸引，并对伽莫夫的经典名著《从一到无穷大》爱不释手。

庞加莱是十九世纪末、二十世纪初的法国著名数学家，被认为是对数学及其应用领域具有全面知识的最后一位数学家，他的一些研究成果至今意义深远。庞加莱最著名的研究有三项：一是"三体问题"，首次提出了混沌理论；二是"庞加莱回归"，又称庞加莱重现定理，断言任何粒子经过漫长时间之后必然回到（或无限接近）其初始位置，尽管时间长度可能远远超乎想象，但"轮回"必然实现；三是"庞加莱猜想"：一个封闭三维空间，若每条封闭曲线都能收缩成一点，该空间一定是三维圆球；"庞加莱猜想"促使拓扑学诞生并发展，也是克雷数学研究所悬赏的数学七大千禧年难题之一，目前已彻底解决。

我学高中物理的电磁学时，知道了大名鼎鼎的英国物理学家麦克斯韦，他将电磁场用简洁、对称、完美的数学形式表示出来，建立了"麦克斯韦方程组"，并据此预言了电磁波的存在，同时得出光是电磁波的一种形式的结论，揭示了光与电磁现象之间的联系。之后，德国物理学家赫兹用实验验证了电磁波的存在。麦克斯韦创立的电磁学理论，将电学、磁学、光学统一成了电磁学，堪称集19世纪物理学之大成的辉煌成果。我从麦克斯韦身上，看到了数学方法的威力。

不知道是不是由于男女思维方式的不同，导致了数学界几乎男子一统天下，女数学家凤毛麟角！我知道的历史上有名的女数学家仅三位：东罗马时代末期的女数学家希帕提娅、19世纪俄罗斯女数学家索菲娅、20世纪的德国女数学家诺特。诺特25岁就成为世界上屈指可数的女数学博士，在微分不等式、环和理想子群等研究方面皆有杰出贡献；然而，居然连讲师都评不上，在大数学家希尔伯特强烈呼吁下，才由希尔伯特的"私人讲师"成为哥廷根大学历史上首位女讲师；不久，由于成果显著，又在希尔伯特的推荐下，才取得"编外副教授"资格。之后，因为犹太血统被德国法西斯政权驱逐出境，逝于美国。

希尔伯特是19世纪下半叶与20世纪上半叶世界领军式的最伟大数学家，哥廷根数学学派的核心人物、并使哥廷根成为世界数学的中心。他的足迹遍及现代数学所有前沿，思想深深影响进了整个现代数学。别的不说，仅仅"希尔伯特23个问题"就足以让他名垂青史：1900年，他在巴黎国际数学家大会上提出了23个他认为最重要的问题，供二十世纪的数学家们研究，就是著名的"希尔伯特23个问题"。当今世界，几乎没有哪位数学家的工作不是以某种途径源于希尔伯特。我崇拜希尔伯特，还因为他也是历史上最成功的数学教育家之一，他的教学原则"从最简单的例子开始"，后来也成为我的教学座右铭。

冯·诺依曼，美籍匈牙利数学家、计算机科学家、物理学家，被誉为现代电子计算机之父、博弈论之父。冯·诺伊曼曾参与世界上第一台电子计算机ENIAC的设计提出过建议，他所提出的"二进制编码与程序内存"思想，对计算机的设计起了决定性的关键作用，至今仍为所有电子计算机设计者所遵循。上个世纪70年代中期，我国刚刚从国外引进电子计算机与电子计算机技术，我的五弟有幸成为最早一批掌握电子计算机技术的人，由于这个关系，我也成为了我们那一代"知青"中极少数最早掌握电子计算机技术的人，从那时起，我就知道了冯·诺依曼以及他的"二进制编码与程序内存"思想。

对普通大众，英国数学家图灵以成功破译二战中德军密码而广为人知，其实图灵最重要的贡献是"图灵机"，——一种理论上的"自动计算机"，也可以说是电子计算机的"前身"。图灵虽然没有参加电子计算机的实际设计，但他全面分析了人的计算过程，把计算分解为最简单、最基本的确定动作，使任何机械的计算程序都可以归结为这些动作，从而给"可计算性"下了严格的数学定义，并第一次把计算和自动机联系起来，提出了著名的"图灵机"的设想。"图灵机"与"冯·诺伊曼机"齐名，对后世产生了巨大的影响，被永远载入计算机的发展史册。我对图灵最感兴趣的是"图灵测试"，——如何判断计算机是否具有人工智能，图灵给出了一个超前的、可行的判别法。

在读英国数学家哈代的传记时知道了印度天才数学家拉马努金，哈代甚至说他对数学的最大贡献就是发现了拉马努金。最近看了一本《知无涯者：拉马努金传》，评价"马努金是印度过去一千年中所诞生的超级伟大数学家。他的直觉跳跃一直令数学家们迷惑，在他死后70多年，他论文中埋藏的秘密依然在不断地被挖掘出来。他发现的定理被应用到他活着的时候很难想象到的领域。"拉马努金没受过正规高等数学教育，沉迷数论，尤爱牵涉π、质数等数学常数的求和公式、以及整数分拆，习惯用直觉（或者跳跃）导出公式，不喜欢证明（事后又往往被他人证明是对的）。他留下的那些没有证明的公式，引发了后世数学家的大量研究。

辛钦，前苏联数学家与数学教育家，现代概率论的奠基人之一，莫斯科概率学派的开创者。虽然他的主要贡献在概率论领域，但我了解他却是从一本他所写的《数学分析简明教程》开始的，也是引导我自学微积分入门的一本书，这本书思路清晰、引人入胜、重点突出，非常适合自学。上个世纪七十年代初，我作为知青被下放在一个偏僻的半山区，除了"红宝书"等马列著作，随身就只带了辛钦的《数学分析简明教程》与华罗庚的《数论导引》，这也是"文-化-专-制"年代我所能找到的为数极少、弥足珍贵、可公开阅读的"专业书籍"。

陈省身，中国人引以为自豪的美籍华裔数学大师、20世纪最伟大的几何学家之一，曾长期任教美国加州大学、芝加哥大学，并在伯克利建立了美国国家数学科学研究所。为了纪念陈省身的卓越贡献，国际数学联盟特别设立了"陈省身奖"作为国际数学界最高级别的终身成就奖。陈省身晚年致力于中国数学的发展，在母校天津南开大学创立了陈省身数学研究所，并于2002年促成了四年一度的国际数学家大会（ICM）在中国北京召开（系首次在发展中国家召开）。

虽然手机是我们这个时代每个人的"标配"，但却很少有人知道手机离不开美国数学家香农的两大贡献：一是"信息论"，另一是"通讯的数学原理"。我一直关注学术界关于东西方语言文字孰优孰劣的争论，香农信息论中的"信息熵"可以给这一争论提供一个另辟蹊径的思路：信息处理时，比较两种文字的"静态平均信息熵"，中文是9.65比特，英文是4.03比特；信息熵大，意味着不确定性也大，这表明中文复杂程度、所包含的信息量远高于英文，反映了中文词义丰富、行文简练，同时处理难度也大。我们应该沿着这一思路深入研究，以寻求中文信息处理的深层次的最佳突破。盲目认为汉字是世界上最优美的文字、从而汉字就最容易处理，会将孰优孰劣的争论引向歧途。

人们普遍认为纳什是经济学家，因为他曾于1994年荣获诺贝尔经济学奖，其实纳什是数学家，1958年就被美国媒体评为新一代天才数学家中最杰出的人物，主要研究博弈论、微分几何学和偏微分方程，在非合作博弈的均衡分析理论方面做出了开创性的贡献，对博弈论和经济学产生了重大影响。纳什在普通大众中的知名度远比其他数学家们要高，是因为电影《美丽心灵》。正当事业如日中天时，纳什不幸患上了精神分裂症，以致后半生不得不与精神分裂症顽强抗争，《美丽心灵》聚焦纳什一生在博弈论上取得的突破性成就及其与精神分裂症抗争的感人事迹，获第74届奥斯卡最佳影片和最佳导演奖。

第一次听说哥德尔，是读大数学家希尔伯特传记。希尔伯特一生致力数学大厦基础的构建，目标是将整个数学体系严格公理化，然后用"元数学"证明整个数学体系坚实而完善。1930年他退休时，自认为即将看到"胜利的曙光"，所以满怀信心宣告："我们必须知道，我们必将知道。"然而不到一年，哥德尔就发表了"哥德尔不完备定理"，让希尔伯特美梦破灭，哥德尔证明了：初等数论形式化之后，这个形式化系统中总可以找出一个命题，在该系统中既无法证明它为真，也无法证明它为假；换句话说，数学系统永远不可能"完备"！

19世纪末20世纪初荷兰物理学家洛伦兹是电子论的创立者，学高中物理时就知道他的电子论把经典物理学推上了最高峰。通过用数学方法描述和研究电磁场，洛伦兹提出了"洛伦兹变换"，这是洛伦兹一生最重要的贡献。爱因斯坦在洛伦兹变换的基础上，创立了狭义相对论。洛伦兹变换是狭义相对论最基本的关系式，狭义相对论的运动学结论和时空性质，如同时性的相对性、长度收缩、时间延缓、速度变换公式、多普勒效应等等都可以从洛伦兹变换中直接得出。

前面谈到18世纪普鲁士数学家哥德巴赫时，曾经提到过中国数学家陈景润。陈景润1966年发表的《表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和》（简称"1 2"），成为哥德巴赫猜想研究上的里程碑。1973年他在《中国科学》发表了"1 2"的详细证明并改进了1966年宣布的数值结果，立即在国际数学界引起了轰动，被公认为是对哥德巴赫猜想研究的重大贡献、筛法理论的光辉顶点，成果被国际数学界誉为"陈氏定理"。徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》，让陈景润成为我以初生牛犊不怕虎的精神钻研"费马大定理（猜想）"的榜样，虽然最终并未成功，但总算真正步入了数学的殿堂。

丘成桐是第一位获得菲尔兹奖、第二位获得沃尔夫数学奖的华人数学家，还曾获得过克拉福德奖，是公认的当代最具影响力的数学家之一，也是本文所有数学家中唯一健在的数学家。他的工作深刻变革并极大扩展了偏微分方程在微分几何中的作用，影响遍及拓扑学、代数几何、表示理论、广义相对论等众多数学和物理领域。丘成桐证明了卡拉比猜想，以他的名字命名的卡拉比-丘流形，是物理学中弦理论的基本概念。

柯尔莫哥洛夫，20世纪前苏联最杰出的数学家，也是20世纪世界上为数极少的最有影响的数学家之一。他的研究几乎遍及数学所有领域，做出过许多开创性的贡献。1934年出版《概率论基本概念》一书，首次以测度论和积分论为基础建立了概率论公理，是一部具有划时代意义的巨著，在科学史上写下前苏联数学最光辉的一页。大学时学概率论，听老师提起过柯尔莫哥洛夫及其对概率论的贡献；后来，看了他的传记，更感动于他的人品，——淡泊名利、把奖金捐给学校图书馆、拒绝领取高达10万美元的沃尔夫奖，不愧是位具有无私奉献精神的科学巨人。