图形与几何的难题，图形与几何---平行

图形与几何的难题，图形与几何---平行①两条直线被第三条直线所截，判定这两条直线平行可用下列条件的任何一个：A．同位角相等；B．内（外）错角相等；c．同旁内（外）角互补。判定两直线是否平行有以下几个充分条件。(1)符号的产生大约公元50年，古希腊数学家海伦最早创用字母下画两横作为表示两条直线平行的记号。活跃在公元300-350年前后的古希腊数学家帕普斯，看到他的祖先海伦创用的平行线符号不很满意，于是把字母去掉，有时仿照平行线的样子用“=”表示，也有时用“OL”表示。但是平行线的符号没有得到大家的认可。1634年，法国数学家厄里岗在其著作中仍用“=”表示平行线。很可惜“=”捷足先登，早已作为欧洲数学王国的成员了。一符一意，否则会鱼目混珠，于是这种表示方法注定会“短命”。1657年，英国数学家奥特雷德在《三角形》一书中，将横着的“=”直立起来，即用“∥”作为表示平行线的记号。后来英国人卡斯书尔和琼斯在其著作中使用了该符号表示平行线

一．概念描述

现代数学：一般的定义是，在同一平面内不相交的两条直线称为平行线，或称两直线相互平行。平行用符号“∥”表示，直线AB和直线CD是平行线，记为AB∥CD(或CD∥AB)，读作AB平行于CD(CD平行于AB)。

小学数学：小学数学教材中一般说，在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线，也可以说这两条直线互相平行。

二．概念解读

(1)符号的产生

大约公元50年，古希腊数学家海伦最早创用字母下画两横作为表示两条直线平行的记号。活跃在公元300-350年前后的古希腊数学家帕普斯，看到他的祖先海伦创用的平行线符号不很满意，于是把字母去掉，有时仿照平行线的样子用“=”表示，也有时用“OL”表示。但是平行线的符号没有得到大家的认可。1634年，法国数学家厄里岗在其著作中仍用“=”表示平行线。很可惜“=”捷足先登，早已作为欧洲数学王国的成员了。一符一意，否则会鱼目混珠，于是这种表示方法注定会“短命”。1657年，英国数学家奥特雷德在《三角形》一书中，将横着的“=”直立起来，即用“∥”作为表示平行线的记号。后来英国人卡斯书尔和琼斯在其著作中使用了该符号表示平行线，并一直沿用至今。

(2)平行线的判定

判定两直线是否平行有以下几个充分条件。

①两条直线被第三条直线所截，判定这两条直线平行可用下列条件的任何一个：A．同位角相等；B．内（外）错角相等；c．同旁内（外）角互补。

②垂直于同一直线的两条直线平行。

③平行于同一直线的两条直线平行。

④三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；梯形的中位线平行于底边，且等于两底和的一半。

⑤如果一条直线截三角形两边，一边上所截得的两线段与另一边上所截得的对应线段成比例，则这条直线平行于第三边。

(3)平行线的性质

平行线主要有以下性质。

①两条直线被第三条直线所截，那么：A．同位角相等；B．内（外）错角相等；c．同旁内（外）角互补。

②如果某直线与两平行线之一相交，则与另一平行线也必相交；如果某直线垂直于平行线之一，则必垂直于另一条。

③平行线间距离处处相等，且平行线间的平行线段彼此相等。

④一组平行线截两直线所得对应线段成比例。

⑤如果两条平行线被一线束所截，那么两条平行线被线束分成比例线段。

⑥平行于三角形一边的直线，截其他两边所得线段对应成比例。

⑦过不在已知直线上的一点，可引一条且只可引一条直线与已知直线平行。

三．教学建议

2011版《课标》笫二学段耍求“结合实例了解线段、射线和直线”、“结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”。由于射线和直线涉及无限的概念，在现实中没有“直线”的实物原型，加之学生理解两条直线平行的位置关系时又是借助两条直线来定义的，比较难理解。教学中，教师可以利用两根铁轨作为实物原型来描述---两根铁轨不相交以及它们之间的距离处处相等的事实，都揭示了平行线的本质，但铁轨无法总是笔直的延伸，这就需要学生进行抽象与想象。

(1)将观察、操作、想象、推理、表达有机结合，经历对图形的认识抽象的过程

图形，是人类长期通过对客观物体的观察逐渐抽象出来的，抽象的核心是把物体的外部形象用线条描绘在二维平面上。如唐彩斌老师为了让学生探索两条直线的位置关系，在复习直线的概念后，提出：“现在增加一条直线，两条直线之间有几种不同的位置关系呢？”然后他出示小组合作学习要求，让学生先想想两条直线的样子是怎样的，再用小棒表示直线摆一摆，并把不同的情况画下来。在这个过程中，学生经历了充分的感知体验，积累了一定的活动经验，为分类做好铺垫。学生尝试分类，在讨论分类结果的过程中，重视让学生充分表达分类的标准是什么、结果是怎样的。当学生把有交叉点的分为一类、没有交叉点的分为一类时，唐老师继续引导学生反思、辨析，帮助学生弄清楚两条直线延长后就会相交在一起，引导学生经历了从关注表面到关注数学本质属性上去分类的过程。在分类的基础上，唐老师提出永不相交的两条直线互相平行，并借助课件在方格纸上动态演示两条直线的平行与相交，让学生进一步建立平行的表象。

再如，朱德江老师面对“平行线”这样比较抽象的、小学生不易理解的几何概念，根据学生已有的知识经验采取了从“平移”到“平行”的教学思路，以平行线的本质特征---“平行线间的距离处处相等”为教学主线，帮助学生初步体会平行线的意义，并让学生思考：“平移有什么要求？你刚才是怎么画的？”“如果老师移动成这样，你同意吗？”“如果把这两条线段看成直线，直线是无限延长的，它中间的间隔还是三格吗？”通过让学生观察两条直线的关系，再呈现几组直线，引导学生观察、思考每组中两条直线的关系特点，带领学生进行空间想象，逐步发现平行线的特征，初步感知平行线间的距离处处相等。

(2)在直观理解中自然感知所研究的线是在同一平面内的重要意义

学生对“平行”的认知是有一定的基础的，但是对抽象“平行”概念中“在同一平面内”是有一定难度的。许多老师借助长方体盒子进行教学---把长方体的12条棱都看成直线，让学生观察后指一指谁和谁互相平行。在学生正确指出后，教师拿起长方体，引导学生一起看不在同一平面内的两条直线，同时把两根小棍分别放在这两条棱上，然后问学生：“它们会相交吗？”这能够引发学生的思维冲突---“两条直线如果不相交就会平行吗？”，并让学生说理，进行比较辨析，帮助学生弄明白：两根小棍是在不同的平面内，既不会相交也不会平行，从而形成完整准确的、清晰的、深刻的概念。

四．推荐阅读

(1)《数学符号史》（徐品方、张红，科学出版社，2007）

该书第289页的《几何中象形符号》一文，详细介绍了平行符号的历史沿革。

(2)《小学数学研究》（张奠宙等，高等教育出版社，2009）

该书第137页的第五节《垂直与平行》，介绍了在小学阶段如何正确把握平行与垂直概念，以及各国教材是如何安排此内容的。