求任意三角形外接圆的方法总结：解题策略三通过

求任意三角形外接圆的方法总结：解题策略三通过例2．在四边形ABCD中，AB平行CD，∠A=90°AB=2，BC=3 CD=1 E是AD中点.求证：CE⊥BE. 分析：此题因为有AB=AC=AD的条件，我们也可以通过构造圆来完成：即以A为圆心，AB长为半径做圆，∵AB=AC=AD，∴C、D两点在圆上，∵AB平行CD，∴BC=DM=√19，延长BA交圆与点M，则∠MDB=90°，∵AB=AC=AD=5，∴BD=9.∵∠CBD与∠CAD分别是弧CD所对的圆周角与圆心角.∴∠CBD=1/2∠CAD问题得证.变式训练：如图：在四边形ABCD中 AB=AC=AD=5 AB平行CD，BC=√19. 求：BD的长.

有不少试题，表面上看并不是考察圆的相关知识，仿佛与圆无任何的联系，但若变换一下思考问题的途径，从“圆的角度”加以分析，通过恰当的“构造圆”，就可以比较轻松地解决这类几何难题了。

例1．如图：在四边形ABCD中 AB=AC=AD，对角线AC、BD交于点M． 求证：∠CBD=1/2∠CAD

分析：此题若用常规的几何证法，难度较大，因为很难发现已知条件与要证的结论有明显的联系，给人无从下手的感觉.即使勉强证出来，难度也较大.在此就不予证明了.这时，若想到圆，通过构造圆.利用圆周角与同弧所对的圆心角的关系去解决问题．此题就变成了一道简单的基础题了.

方法如下：以A为圆心，AB长为半径做圆.∵AB=AC=AD. ∴C、D必在圆A上.

∵∠CBD与∠CAD分别是弧CD所对的圆周角与圆心角.∴∠CBD=1/2∠CAD问题得证.

变式训练：如图：在四边形ABCD中 AB=AC=AD=5 AB平行CD，BC=√19.

求：BD的长.

分析：此题因为有AB=AC=AD的条件，我们也可以通过构造圆来完成：即以A为圆心，AB长为半径做圆，∵AB=AC=AD，∴C、D两点在圆上，∵AB平行CD，∴BC=DM=√19，延长BA交圆与点M，则∠MDB=90°，∵AB=AC=AD=5，∴BD=9.

例2．在四边形ABCD中，AB平行CD，∠A=90°AB=2，BC=3 CD=1 E是AD中点.求证：CE⊥BE.

分析：要证CE⊥BE，联想到直径所对的圆周角是直角.所以构造以CB为直径的圆.取BC中点O，联接OE.易得OE是梯形的中位线.OE=1.5.

又因为BC=3 所以OE=OC=OB 所以点E在以CB为直径的圆上，所以CE⊥BE.

变式训练1：如图：矩形ABCG(AB<BC)与矩形CDEF全等，点B、C、D在同一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使∠APE为直角的点P的个数是____个？

分析：对于本题，不少学生因为找不到解题的突破点，感到束手无策，首先△APE为等腰直角三角形.∠APE=90°，确定P的个数，可以构造以AE为直径的圆，并判断线段BD与此圆的位置关系，从而确定圆与线段BD的交点的个数.∵OH<OC ∴圆与线段BD相交. ∴圆与线段BD有2个交点即：使∠APE为直角的点P的个数是2个.

变式训练2：在梯形ABCD中，AD平行BC，∠B=90°AB=12，BC=9 CD=13 点P是线段AB上一个动点.问：是否存在这样的点P使∠APE=90°？若存在，确定点P有几个？若不存在，请说明理由.

分析：判断是否存在这样的点P，使∠APE=90°，可以构造以DC为直径的圆，利用已知条件判断以DC为直径的圆与线段AB的位置关系.即比较圆的半径OP与O到线段的距离OH的大小.由已知易得:OH=1/2（AD BC）=1/2(4 9)=6.5 OP=1/2DC=6.5.

即OH=OP所以：以DC为直径的圆与线段AB相切.

即：存在这样的点P使∠APE=90°，且这样的点P只有一个.

说明：本题还可以变换已知条件中的数据，使圆与线段相交、相离.这样点P就变为2个，或没有了.这样又会变换出一系列新的题目.

变式训练3：在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4、0），点B的坐标为（4、10），点C在Y轴上 且三角形ABC是直角三角形，则满足条件的C点的坐标为_______.（方法同上：略）

综上：通过构造圆，不但可以非常简洁的解答一些难度较高的几何问题，还可以从题目出发，变换出许多新的题目。那么什么样的几何题可以通过构造圆去解决呢？一般如果题目中出现几条共端点的等线段问题；已知条件中出现直角（90°）问题；要求证的结论中出现直角（90°）问题等等......都可以通过构造圆，利用圆的相关知识去尝试解决。因此说，构造圆是解答初中部分几何难题的锐利武器 应引起我们每位老师的高度重视!