离散数学怎么证明欧拉公式？如何快速得到非常精确的连续自然数的倒数之和

离散数学怎么证明欧拉公式？如何快速得到非常精确的连续自然数的倒数之和欧拉发现两者的误差小于1，为什么呢我们对这个结论感到怀疑，它的误差到底有多大呢，欧拉对此进行了分析我们结合最简单的微积分知识，可以快速得出自然数倒数之和前4项的结果它就约等于IN(5)，我们由此得出这个无穷级数就约等于IN(N 1)

连续自然数倒数之和是无穷级数的一类，也是一个非常有趣的级数，柯西，欧拉，伯努利都是处理无穷级数的高手，所以无穷级数的许多重要发现都与它们有关，对于自然数的倒数之和问题欧拉对此进行了研究，并得出了重要的欧拉常数γ，

我们都知道连续自然数的倒数之和是一个无穷发散的级数，前面的文章已经给出了详细的证明，对这样的一个级数问题，我们可以联想到反比例函数1/X，如下图所示

我们由此可以画出连续自然数倒数之和的图形，如下图1/1

1 1/2 1/3 ... 1/N的图形就是如下阴影部分

我们结合最简单的微积分知识，可以快速得出自然数倒数之和前4项的结果

它就约等于IN(5)，

我们由此得出这个无穷级数就约等于IN(N 1)

我们对这个结论感到怀疑，它的误差到底有多大呢，欧拉对此进行了分析

欧拉发现两者的误差小于1，为什么呢

两者的误差就等于下图蓝色区域，这正好是1/X曲线上方的阴影部分

欧拉发现蓝色阴影部分的面积居然等于一个常数γ，这是一个非常了不起的发现

所以连续自然数的倒数之和就等于IN(N 1) γ

你会发现随着n的增大，连续自然数倒数之和的值就越精确，如下N=5时得到

n=500000时，就得到非常精确的结果