几何证明的特点：证明的几何直观

几何证明的特点：证明的几何直观=(x-b0)2 (y-b0)2 2[(x-b0) (y-b0)](b0-b) 2(b0-b)2 (x-b)2 (y-b)2=(x-b0 b0-b)2 (y-b0 b0-b)2 (x-b0)2 (y-b0)2≤(x-b)2 (y-b)2 由表达式的联想，我们会想到把两个给定的数看做二维平面的点，用A(x y)表示，对于任意数b可以看作数对(b b) 用B(b b)表示，如下图：可以到达，点B(b b)是在通过第一象限和第三象限，与横坐标倾斜45度角的直线上，我们需要在这条直线上寻找一点，使得这一点到给定点A(x y)的距离最短。显然，这一点应当是点A(x y)到直线的垂足，设其为B’(b0 b0)。因为

利用直角坐标系，不仅能推导出几何图形的代数表达式，还能帮助我们利用几何直观来研究代数问题。

举例说明。考虑这样的问题：对于给定的两个数x和y，求使得

(x-b)² (y-b)²

达到最小的b。也就是说要找到一个数b₀≠0，使得对任意的b有

(x-b₀)² (y-b₀)²≤(x-b)² (y-b)²

由表达式的联想，我们会想到把两个给定的数看做二维平面的点，用A(x y)表示，对于任意数b可以看作数对(b b) 用B(b b)表示，如下图：

可以到达，点B(b b)是在通过第一象限和第三象限，与横坐标倾斜45度角的直线上，我们需要在这条直线上寻找一点，使得这一点到给定点A(x y)的距离最短。显然，这一点应当是点A(x y)到直线的垂足，设其为B’(b₀ b₀)。因为

(x-b)² (y-b)²=(x-b₀ b₀-b)² (y-b₀ b₀-b)²

=(x-b₀)² (y-b₀)² 2[(x-b₀) (y-b₀)](b₀-b) 2(b₀-b)²

由上图，可以把上式左边看作线段AB长的平方，上式右边的前两项看作线段AB’的长的平方，最后一项看作线段BB’的长的平方，因为B’是A到直线的垂足，由勾股定理，上式右边第三项应当为0，即(x-b₀) (y-b₀)=0，由此可以得到b₀=1/2(x y)。

推广到一般，很容易把上面的结果推广到n个数的情况：对于给定的n个数x₁ ... x_n，求使得

(x₁-b)² ... (x_n-b)²

达到最下的b。用点A(x₁ ... x_n)表示给定的n个数，点B(b ... b)是在n 维空间的一条直线上，类似n=2的情况。因为所求的点B’(b₀ ...b₀)应当是点A到这条直线垂足，可以得到一般形式：

∑(x_i-b)²=∑(x_i-b₀)² 2(b₀-b)(x_i-b₀) n(b₀-b)²

我们得到了一个有趣的事实，因为使用了一般的符号，对于n维空间得到了一个比2维空间更为清晰的表示式。与n=2的情况一样，上式左边是线段AB长的平方，右边的第一项是线段AB’的长的平方，第三项是线段BB’的长的平方，因为因为B’是A到直线的垂足，由勾股定理，右边第二项应当为0，因此，可以得到

b₀=(x₁ ... x_n)/n

可以看到，我们得到的b₀恰恰是n个数x₁ ... x_n的算术平均，这也说明了为什么在进行数据分析时常常会用到算术平均的理由。

通过上面的例子可以看到，借助直角坐标系有利于建立几何直观，这对于分析和解决代数问题是非常重要的。