图解蝴蝶定理（蝴蝶定理之四）
图解蝴蝶定理（蝴蝶定理之四）从而∠O'MC=∠O'BC=∠ADC故O' M B C共圆；证明1：过C作EF平行线交AB、AD于O'、F'，取CD中点M，则OM⊥CD 故O M B P共圆；则∠MBO=∠MPO=∠MCO'
前面三篇文章分别介绍了蝴蝶定理的证明、变式、推广，下面继续说蝴蝶定理，本文主要想说一种有趣的蝴蝶定理变形：
1、已知，如上图，AB是圆O的直径，P是过B点的切线上任意一点，过P作割线PCD，联结AC、AD，分别与直线PO交于E、F两点。
求证：OE＝OF。[1]
思路1：OE=OF很难描述，考虑过C作EF平行线将其平移下来，并作出CD中点，得到两组共圆即可。
证明1：过C作EF平行线交AB、AD于O'、F'，取CD中点M，
则OM⊥CD 故O M B P共圆；
则∠MBO=∠MPO=∠MCO'
故O' M B C共圆；
从而∠O'MC=∠O'BC=∠ADC
则AD//O'M
故O'C=O'F
则OE＝OF。
思路2：既然是蝴蝶定理变式，
类比其中证法2，作OM⊥CD，
则△DMB∼△AOE，故
∠EBA=∠DCB=∠DAB，从而AD//BE，得证。
证法2：作OM⊥CD，
则OMBP共圆，
故∠BMC=∠BOE
又∠BDM=∠OAE
从而△DMB∼△AOE。
又M、O为DC、AB中点，
由相似三角形对应角相等，得
∠EBA=∠DCB=∠DAB，
则AD//BE
又O为AB中点
故OE=OF。
思路3：发现DO、BE交点在圆O上，
用帕斯卡(pascl)定理证明即可.
证明3：设BE交圆O于L，DL交AB于O'，
对圆内接六边形ABBLDC，
AB交LD于O' BB交CD于P LB交AC于E
由pascal定理知O'EP共线，
从而O、O'重合。
故ADBL为矩形，
则AD//BE
故OE=OF。
思路4：熟悉调和相关性质的情况下，
作出切线PM，则DBCM为调和四边形
，又AM//PF，即得OE=OF。
证明4：设过P的圆O的另一条切线为PM，
则DBCM为调和四边形，
从而AD AC;AB AM为调和线束，
又显然EF⊥BM AM⊥BM
故AM//EF
则OE=OF。
思路5：联想到蝴蝶定理的推广，《蝴蝶定理之三》的2注4），作出过A切线，则本题变为其退化形式。
证明5：设过A的圆的切线交PE于Q，
由对称性得OP=OQ
根据《蝴蝶定理之三》的2注4）的退化情形即得OE=OF。
注：
1） 本题历史悠久，是出版于1958年的书1上面的例题，证明1即出自于此书。证明1作平行线为神来之笔，通过作垂直，由两次共圆得到结果，令人击节赞叹，所以证明1是本题最常见的解法。本题结论优美，解法神奇，人见人爱，本人在初中学习竞赛时，在很多竞赛书中都见到了本题，解法也都是用的证明1。
2） 证法1美则美矣，而未尽善，特别是平行线，很难独立想到。解法2是本人“强行”类比蝴蝶定理的证法2得到的，读者很容易看到他们异曲同工。感觉解法2比解法1更自然，更好理解。
3） 证法3慧心独具，巧妙使用帕斯卡定理，几乎秒杀本题。体现了大定理的惊人威力。值得品味。
4） 证法4巧妙利用调和四边形和调和线束的性质，对于相关性质熟悉的读者对此方法应该不陌生。对此有兴趣的读者也可以参考《蝴蝶定理之三》等文章。
5） 证法5揭示了本题的本质——蝴蝶定理推广的特例，对此有兴趣的读者可以参考[2]。
6） 显然由上述证明得到AFBE为平行四边形。当然本题的证明还有不少，例如解析法等，有兴趣的读者可以自行探讨。
本题经典漂亮，很多人对她都深有研究，也得到了不少有趣的变式和新的巧妙的证明。第一个相关的问题，是其逆命题也为真，即：
2、平行四边形AFBE中，BD⊥AF于D，BC⊥AE于C，DC交EF于P，
求证：PB⊥AB
思路分析证明：如下图，显然BE⊥BQ
由射影定理得BC^2= CE*CQ，则
PB⊥AB<=>BC^2= CT*CA
<=>CT*CA=CE*CQ
<=>CT/CE=CQ/CA
<=>BR/RF=BR/RF
显然成立
注：本题为上题的逆命题，上题中的5种证明应该都是可行的，这里不再赘述。上述采用了一个新的精妙的证明，通过简单的比例证明，另辟蹊径，曲径通幽，妙笔生花。此证明出自田廷彦 [3]。
本题及其逆命题美不胜收，令人流连忘返，很多人都对其有深入研究，并得到一些推广结果。下面看一个最近的一种推广：
3、已知：AD是圆O的直径，P是过D点的切线上任意一点，过P作割线PCB，过P的两条直线分别交AB AD AC于E M F和G N H，且OM=ON。
求证：ME*HN＝MF*NG。(公众号“我们爱几何”新题快递20181103，作者：万喜人)
思路分析：估计要用1中的结论，由1知SO=OT
则MSNT为平行四边形，
从而可以将圆和PBC PD消去，得到以下命题：
已知:如图，MSNT为平行四边形
求证：ME*HN＝MF*NG
基本思路就是做平行线，倒比例即可。
证明：作MX//NY//AG 则MXNY为平行四边形，
故OX=OY XS=YT OM/MA=OX/XS=OY/YT
故MY//NX//AH
则ME/MF=ME:MP/(MF:MP)=SX:XP/(YT:YP)=YP/XP
同理HN/GN=HN:NP/(GN:NP)=TX:XP/(YS:YP) =YP/XP
从而ME*HN＝MF*NG。
注：本题相当于是上述两个结论的结合，合理嫁接的结果令老树开新花，让人赏心悦目、耳目一新。万老师提供的证明与上述证法基本一致。当然本图中还隐藏着不少值得研究和挖掘的东西。感兴趣的读者可以自行探讨。
