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任意三棱锥内切球求法(从三角形内切圆到棱锥内切球)

任意三棱锥内切球求法(从三角形内切圆到棱锥内切球)=½|AB|·|OD| ½|BC|·|OE| ½|CA|·|OF|S(△ABC)=S(△OAB) S(△OBC) S(△OCA)经过切点的半径垂直于切线,所以OD、OE、OF分别垂直于AB、BC、CA。再把OA、OB、OC分别连起来,△ABC被分割成了3个三角形△OAB、△OBC、△OCA。OD、OE、OF分别是△OAB、△OBC、△OCA的高。于是得出:

任意三棱锥内切球求法(从三角形内切圆到棱锥内切球)(1)

上图是一个求四棱锥内切球半径的问题。

球是曲面,曲面比平面看起来更复杂,所以有些同学看到立体几何里出现球就害怕,看到内切球就更害怕了。其实恐惧来自未知,掌握方法就不怕了。看完下面的方法,你会觉得这种题超简单!

求三角形内切圆半径

问题与问题之间不是孤立的,各种题型和解法之间相互联系。在讲怎么求棱锥内切球半径之前,我们先来求三角形内切圆半径

任意三棱锥内切球求法(从三角形内切圆到棱锥内切球)(2)

在△ABC中,作一个内切圆⊙O。三角形的内切圆是怎么定义的?是和三角形各边都相切的圆。相切就有切点,分别设为D、E、F。把圆心O和三个切点连起来,观察一下。

经过切点的半径垂直于切线,所以OD、OE、OF分别垂直于AB、BC、CA。

任意三棱锥内切球求法(从三角形内切圆到棱锥内切球)(3)

再把OA、OB、OC分别连起来,△ABC被分割成了3个三角形△OAB、△OBC、△OCA。

OD、OE、OF分别是△OAB、△OBC、△OCA的高。于是得出:

S(△ABC)=S(△OAB) S(△OBC) S(△OCA)

=½|AB|·|OD| ½|BC|·|OE| ½|CA|·|OF|

|OD|=|OE|=|OF|=r,r为内切圆⊙O的半径

S(△ABC)=½(|AB| |BC| |CA|)·r

上式中的|AB| |BC| |CA|,其实就是△ABC的周长。假如三角形周长用C表示,面积用S表示,公式就变得非常简洁:

S=½C·r

可以叙述为,三角形面积等于周长和内切圆半径乘积的一半

注意,这里建立了三角形面积、周长、内切圆半径3个量之间的关系,已知其中任意两个就可以求出第三个。而且内切圆圆心在哪、切点在哪,都跟这个公式无关,也即不用作出内切圆就能直接运用这个公式。在解析几何题里如果看到内切圆,一定要想到这个公式!

如果把内切圆半径写在式子左边,公式就是:r=2S/C


求棱锥内切球半径

有了上面的铺垫,再来看棱锥的内切球就简单了。

其实不用作出内切球就能运用最后的方法,但为了推导我们还是作出图来。图中内切球和各个面相切的切点在哪?不重要,在你的想象中看到就行了。

任意三棱锥内切球求法(从三角形内切圆到棱锥内切球)(4)

与三角形内切圆问题类似,我们把内切球球心O和四棱锥的5个顶点分别相连。于是四棱锥P-ABCD被分割成了5个棱锥O-PAB、O-PBC、O-PCD、O-PDA、O-ABCD。

将内切球球心O与四棱锥P-ABCD各个面上的切点分别相连,就是这5个棱锥的高(相应以四棱锥P-ABCD的各个面为底),长度均为r。

V(四棱锥P-ABCD)=V(三棱锥O-PAB) V(三棱锥O-PBC) V(三棱锥O-PCD) V(三棱锥O-PDA) V(四棱锥O-ABCD)

=⅓S(△PAB)·r ⅓S(△PBC)·r ⅓S(△PCD)·r ⅓S(△PDA)·r ⅓S(□ABCD)·r

=⅓[S(△PAB) S(△PBC) S(△PCD) S(△PDA) S(□ABCD)]·r

S(△PAB) S(△PBC) S(△PCD) S(△PDA) S(四边形ABCD)就是四棱锥P-ABCD的表面积,假如该表面积用S表示,四棱锥P-ABCD的体积用V表示,上式就变为:

V=⅓S·r

于是建立了棱锥体积、表面积、内切球半径3个量之间的关系。

如果把内切球半径写在式子左边,公式就是:r=3V/S

这个公式不需要特别去背,掌握上面推导的原理自然就写出来了。


从三角形内切圆到棱锥的内切球,从二维到三维,从S=½C·r到V=⅓S·r,其实公式形式一致,就是各个量对应作了升维。数学之美,是不是妙不可言?

最后留一道习题,来做一下,看看方法会用了吗?

任意三棱锥内切球求法(从三角形内切圆到棱锥内切球)(5)

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