决策理论学派的理论要点（基于后悔理论的多属性决策方法）
决策理论学派的理论要点（基于后悔理论的多属性决策方法）该实验的结果是：Bell(1982)针对Allais(1953)的“博弈方案选择”实验得出的人们对不同方案的选择结果，通过运用后悔理论的感知效用进行解释。后悔理论是1982年由Bell Loomes和Sugden分别提出的一种行为决策理论。该理论认为，人们往往不仅关心自己可以得到的，而且会将要选择方案的结果与其他备选方案可获得的结果相比较。如果发现选择其他方案可以获得更好的结果，那么其心理会感到后悔，反之，则会感到欣喜。根据后悔理论，决策者的感知效用函数由两部分组成，即关于当前结果的效用函数和后悔-欣喜函数。令x和y分别表示选择方案A与B所能获得的结果，那么决策者对方案A的感知效用为：其中，v(x)和v(y)分别表示决策者能从方案A和方案B的结果中获得的效用，R(v(x)-v(y))表示后悔-欣喜值，当R(v(x)-v(y))>0时，表示决策者对选择方案A而放弃方案B感到欣喜；反之，
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还在饱受选择困难症的折磨吗？还在为不知如何科学有效地处理模糊化形式的信息而犯愁吗？今天小编为大家带来“基于后悔理论的多属性决策方法”，一起来看看吧！
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一、后悔理论
- （1）两个方案的感知效用
后悔理论是1982年由Bell Loomes和Sugden分别提出的一种行为决策理论。该理论认为，人们往往不仅关心自己可以得到的，而且会将要选择方案的结果与其他备选方案可获得的结果相比较。如果发现选择其他方案可以获得更好的结果，那么其心理会感到后悔，反之，则会感到欣喜。
根据后悔理论，决策者的感知效用函数由两部分组成，即关于当前结果的效用函数和后悔-欣喜函数。令x和y分别表示选择方案A与B所能获得的结果，那么决策者对方案A的感知效用为：
其中，v(x)和v(y)分别表示决策者能从方案A和方案B的结果中获得的效用，R(v(x)-v(y))表示后悔-欣喜值，当R(v(x)-v(y))>0时，表示决策者对选择方案A而放弃方案B感到欣喜；反之，若当R(v(x)-v(y))<0时，表示决策者对选择方案A而放弃方案B感到后悔。
Bell(1982)针对Allais(1953)的“博弈方案选择”实验得出的人们对不同方案的选择结果，通过运用后悔理论的感知效用进行解释。
该实验的结果是：
（1）几乎所有人会选择【100%几率得到100万美元】，而不是【10%几率得到500万美元、89%几率得到100万美元、1%几率什么也没有】。
（2）大多数人会选择【10%几率得到500万美元、90%几率什么也没有】，而不是【11%几率得到100万美元，89%几率什么也没有】。
基于后悔理论，Bell用以下公式表示上述两种博弈：
Bell认为，这种行为可以用后悔决策来解释。在该项“赌博”中，选择“必定获得100万美元”的参与者可能会对“1%的几率什么也没得到”的结果感到非常绝望。在经济条件合理的情况下，一个决策者因为他的愚蠢和贪婪错过100万美元而感到生气或沮丧是十分正常的现象。在第二项“赌博”中，不存在平等的结局。如果被选中的抽奖没有回报，那么决策者也许会认为另一个抽奖也可能是同样的结果——什么也没有。因此，后悔这个因素对Allais的第二项博弈测试中几乎没有产生任何影响，但在第一项博弈中较大程度地影响了参与者的选择。
- （2）多个方案的感知效用
后悔理论最初用于两个方案的选择问题，但在不断的改进中，Quiggin(1994)将其扩展至多个方案的选择问题。
设：
那么决策者对方案Ai的感知效用为：
其中，x*=max{xi|i=1 2 ... m}。此处的R(v(xi)-v(x*))<0，表示后悔值。由于在生活中决策问题一般为多方案的选择，所以上式更常被使用。
二、决策矩阵
- （1）问题描述
对于风险型多属性决策问题，本文选取三角模糊数作为研究的属性值，利用VIKOR决策方法获得决策的妥协最优解。
本文研究并解决的问题是：在考虑决策者后悔规避心理行为的情境下，依据风险决策矩阵D和属性权重向量W，如何通过一个有效的决策分析方法得到所有方案的排序结果。
- （2）相关概念
【1】三角模糊数
在理解模糊数之前需要理解模糊集。模糊集的定义是：设X是给定的一个论域，则X上的一个模糊子集A为：
其中，μ(x):X→[0 1]，代表了A的隶属度函数，如果两个模糊子集A和B相等，记作A=B，当且仅当他们具有相同的隶属度函数，即：
模糊数是定义在实数集R上的凸模糊集，若对于某一模糊数r^~，其隶属度函数满足如下：
则称
为三角模糊数，其隶属度函数为F(x):R→[0 1]，其中，x∈R，R为实数域。
对于三角模糊数的运算，假设
为任意两个三角模糊数，其基本运算法则如下：
【2】VIKOR决策方法
VIKOR方法是Opricovic(1998)提出的一种折衷排序方法，它通过最大化群效用和最小化个体遗憾对有限决策方案进行折衷排序，其决策原理如下：
v表示决策机制系数，如果v>0.5，则表示根据最大化群体效应决策机制决策，如果v<0.5，则表示根据最小化个体遗憾值的决策机制决策，如果v=0.5，则表示根据协商达成最大群体效应和最小遗憾值同等重要的决策机制进行决策。最终，可以得到个方案的评价指标，而评价指标越小越好，最终将其排序得到个方案的排序结果。
VIKOR是多准则决策的有效工具，在解决数据间不可公度性、获得妥协最优解方面具有较大优势，常用于以下情形：
（1）决策者不能或不知道如何准确表达其偏好；
（2）评价准则间存在冲突和不可公度（测度单位不同）；
（3）处理冲突问题的决策者能够接受妥协解方案。
- （3）决策步骤
【1】属性值取点
确定各备选方案对于不同自然状态下各属性的属性值的正理想点，定义各属性最满意的属性值为正理想点，记作并表示如下：
【2】矩阵规范化/标准化
为了方便将各属性值进行比较，利用下述公式可以对决策矩阵D进行规范化处理，消除不同物理量纲对决策结果的影响，从而得到规范化决策矩阵B，其规范化公式表示如下：
（注：^表示最小化算子，通俗讲就是可取的最大值。）
【3】后悔感知计算
基于后悔理论，依据Loomes G Sugden R(1982)对后悔理论下不确定型理性选择的研究，在构造后悔-欣喜函数R(△v)时，由于决策者对于后悔和信息都是风险规避的，因此函数R(△v)是单调递增的凹函数，满足R'(△v)>0且R''(△v)<0。另外，当△v=0时，R(0)=0，表示对于两个结果没有差异的方案，决策者既不感到后悔也不感到欣喜。方案中各属性的后悔欣喜函数可表示为：
关于不同δ取值的后悔-信息函数R(△v)的图像如下图所示：
其中，△v表示关于两个方案结果效用值之差的变量，R(△v)表示后悔-欣喜值。函数值大于0时表示欣喜，函数值小于0时代表后悔。随着δ的增大，有|R(-△v0)|>R(△v0)成立，表示决策者对-△v0的心理感知比对△v0的心理感知更加敏感，即决策者是后悔规避的。并且δ越大，后悔值的绝对值比当前δ取值的欣喜值越大，因此在计算过程中，欣喜值可以不用考虑。从而得到方案中各属性的感知属性值为：
根据上式再次将规范化后的矩阵转化为后悔感知决策矩阵，新矩阵记为：
【4】求解群体效用值与个体遗憾值
求解之前，先要计算出三角模糊数之间的距离：
则群体效用值与个体遗憾值可通过以下公式求解：
其中：
【5】计算决策指标
决策指标计算公式如下：
【6】求最优方案
决策指标的值越小越好，但每个自然状态下发生的概率不同，且为区间数，无法直接得到决策指标值。因此需要将区间概率转化为点概率以此建立优化模型求解点概率向量：
该模型表示求解最小化Q值，用lingo11求解此模型可以得到最优点概率向量。将得到的值代入决策指标公式：
得到最终的个方案Q值，最后将其排序可得最优方案。
三、案例分析
- （1）参数设置
某公司打算开发一个新产品投入市场。
① 现有3个备选项目(A1 A2 A3)，分别代表手机、平板电脑、笔记本电脑。
② 考虑的评价属性有(C1 C2 C3)，分别代表市场占有率（正向指标）、收益率（正向指标）、预算成本（负向指标），且属性值为三角模糊数。
③ 存在3种市场环境(W1 W2 W3)，分别代表环境较好、环境一般、环境较差。
④ 各种市场环境发生的概率分别为
p1=[0.25 0.45]
p2=[0.35 0.55]
p3=[0.15 0.25].
⑤ 各评价属性的权重向量ω=(0.3 0.3 0.4)^T。
问：该公司选择开发哪种产品最好？
- （2）决策步骤
【1】属性值取点
建立风险型多属性决策矩阵表，并标出各评价属性正理想点。（见表1）
表1 风险型多属性决策矩阵
【2】矩阵规范化/标准化
对决策矩阵D进行规范化处理，消除不同物理量纲对决策结果的影响。由于最小化算子为1，因此标准化结果超过1的一律按1处理。（见表2）
表2 规范化决策矩阵
【3】后悔感知计算
根据“后悔-欣喜函数”，参数δ取0.3。
标出规范化矩阵的正理想点。（见表3）
代入公式将规范化矩阵B转化为后悔感知决策矩阵H。（见表4）
表4 后悔感知决策矩阵
【4】求解群体效用值与个体遗憾值
根据步骤【4】的公式，可得出以下结果：
表5 决策指标矩阵
【5】计算决策指标
取v=0.5，按决策指标计算公式可解得：
表6 决策指标矩阵
【6】求最优方案
略。最终方案排序结果为：
因此，公司选择开发手机较好。
英文翻译
Regret theory is a behavioral decision theory proposed by Bell Loomes and Sugden in 1982. Compare. If you find that you can get better results by choosing other options you will feel regret otherwise you will feel happy.
According to regret theory the perceived utility function of the decision maker consists of two parts namely the utility function about the current result and the regret-joy function.
Bell (1982) aimed at Allais (1953)'s "game program selection" experiment and explained the results of people's choice of different programs by using the perceived utility of regret theory.
The results of this experiment are:
(1) Almost everyone will choose [100% chance to get $1 million] instead of [10% chance to get $5 million 89% chance to get $1 million 1% chance to get nothing].
(2) Most people will choose [10% chance of getting 5 million dollars 90% chance of getting nothing] instead of [11% chance of getting 1 million dollars 89% chance of getting nothing].
Bell believes that this behavior can be explained by regretting the decision. In this "gambling" participants who choose "must get $1 million" may feel very desperate for the "1% chance of getting nothing". Under reasonable economic conditions it is quite normal for a decision maker to feel angry or frustrated because of his stupidity and greed missing $1 million. In the second "gambling" there is no equal ending. If the selected lottery is not rewarded then the decision-maker may think that another lottery may be the same result-nothing. Therefore the factor of regret has almost no effect on Allais' second game test but in the first game it greatly affected the participants' choices.
For risk-based multi-attribute decision-making problems this paper selects triangular fuzzy numbers as the attribute value of the study and uses the VIKOR decision-making method to obtain the optimal solution of the compromise.
The problem studied and solved in this paper is: in the context of considering the decision-maker’s regret and avoidance psychological behavior how to obtain the ranking results of all the options through an effective decision analysis method based on the risk decision matrix D and the attribute weight vector W.
The VIKOR method is a compromise ranking method proposed by Opricovic (1998). It compromises and ranks limited decision-making schemes by maximizing group utility and minimizing individual regrets. v represents the coefficient of decision-making mechanism. If v>0.5 it represents Group effect decision-making mechanism decision. If v<0.5 it means that the decision is made according to the decision-making mechanism that minimizes the individual regret value. If v=0.5 it means that the decision is made based on the decision-making mechanism that negotiates to reach the maximum group effect and the minimum regret value. In the end the evaluation index of each program can be obtained and the smaller the evaluation index the better and finally sort them to get the ranking result of each program.
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内容参考来源：
[1] 谭春桥 张晓丹. 基于后悔理论的不确定风险型多属性决策VIKOR方法[J].统计与决策 2019(1):47-51.
[2] 张晓 樊治平 陈发动. 基于后悔理论的风险型多属性决策方法[J].系统工程理论与实践 2013(9):2313-2320.
[3] 袁宇 关涛 闫相斌 李一军. 基于混合VIKOR方法的供应商选择决策模型 [J].控制与决策 2014(3):551-560.
[4] Bell D E. Regret in Decision Making under Uncertainty[J]. Operayions Research 1982 30(5)
[5] Loomes G Sugden R. Regret Theory: An Alternative Theory of Rational Choice Under Uncertainty[J]. The Economic Journal 1982 92(368)
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