中考数学面积法解题（借用面积法破解中考难题）

中考数学面积法解题（借用面积法破解中考难题）例1.（南宁市中考题）正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图①所示，点G在线段DK上，已知正方形BEFG的边长为4，求△DEK的面积。面积法是中学数学中一种重要的证明方法.它在证明线段相等、角相等、不等关系、线段比例等方面都经常会用到。(3)等(同)底等(同)高的两个三角形面积相等;(4)等底(或等高)的两个三角形面积之比等于该底上的高(或对应底边)之比;(5)与平行四边形同底同高的三角形的面积是平行四边形面积的一半.

面积法是中学数学的一种重要方法 所谓面积法就是利用图形的面积关系 建立一个或几个关于图形面积的等式或不等式 然后通过推理、演算 以达到证题目的的一种方法.三角形面积是一个数量 通过三角形面积公式把面积、边、角之间关系互相沟通 以恰当的转换求解。

应用面积法解题简洁、明了 面积法是解几何题的常用方法.面积法的理论依据是面积公式 当问题涉及如下方面时 不妨用面积法尝试求解。

(1)两个全等形面积相等;

(2)一个图形的面积等于它的各部分面积之和;

(3)等(同)底等(同)高的两个三角形面积相等;

(4)等底(或等高)的两个三角形面积之比等于该底上的高(或对应底边)之比;

(5)与平行四边形同底同高的三角形的面积是平行四边形面积的一半.

面积法是中学数学中一种重要的证明方法.它在证明线段相等、角相等、不等关系、线段比例等方面都经常会用到。

例1.（南宁市中考题）正方形ABCD，正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图①所示，点G在线段DK上，已知正方形BEFG的边长为4，求△DEK的面积。

面积计算常用到以下知识方法：常见图形面积公式、割补、等积变形、面积比与线段比的转化等。平行线具有转移线段或角、等积变形等作用，在解决许多问题时具有不可替代的地位.等积变形，即运用平行线，把一个三角形变形成与它本身面积相等但形状不同的图形.

用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点被称为格点，以格点为顶点的多边形称为格点多边形。设格点多边形的面积为s，多边形各边上的格点个数为L，内部的格点个数为N，S可用N，L的式子表示（称为"皮克公式"）。

奥地利数学家皮克（1859-1943）于1899年发现了一个点阵中计算多边形面积的公式，也称皮克定理，是最重要的100个数学定理之一.

例2．如图，图中△ABC是格点三角形，其中S=2，N=0 L=6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是_____.经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S=aN bL c，其中a，b，c为常数，则当N=5，L=14时，S=________（用数值作答）.

解析：本例以阅读理解的方式，考查皮克公式的建立及应用，问题给出了S=aN bl c这一关系，关系中含有a，b，c三个待定系数，需三组S，N，L的值，但现成的值只有两组，需动手画一个"格点多边形".

例3.（"创新杯"邀请赛试题）直角三角形的两条直角边长分别为5和12，斜边长为13，P是三角形内或边界上的一点，点P到三边的距离分别为d1，d2，d3，求d1 d2 d3的最大值和最小值，并求当d1 d2 d3取最大值和最小值时，P点的位置.

解析：如图所示，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，BA=13，点P到BC，CA，AB的距离分别为d，d₂，d，连接PA，PB，PC，由三角形的面积公式知：

用面积法解题的基本步骤是：（1）用不同方法或从不同角度计算某一图形的面积，得到一个含边或含角的关系式；（2）化简这个面积关系式，直至得到求解或求证的结果.

有些几何问题，虽然题目中没有直接涉及面积，但由于面积关联着边、角两个重要元素，所以我们可从面积角度思考问题，这就是常说的面积法.

解决面积问题的基本思考方法如下：

（1）分割：把尚无面积计算公式的图形，分割为若干已知其面积计算公式的图形。

（2）分割后重新组合：它与（1）的区别在于，分割后所得的每个图形的面积不一定都还有面积公式，这时，需把分割成的某些图形拼接，成为有面积公式的新图形。

（3）增添辅助面积：拼接一些可计算其面积的辅助图形，使与原图形组成一个可计算其面积的大图形.把大图形的面积算出后，减去这些辅助图形的面积，即得欲求图形的面积。

（4）用不同方式表达同一图形的面积：在利用面积证明线段或角相等时，注意对同一图形的面积用不同方式进行表达，从而列出面积等式，进行变形，向欲证目标靠拢，是一种重要技巧。