摇5粒骰子的技巧（摇骰子的学问蒙特卡罗方法）

摇5粒骰子的技巧（摇骰子的学问蒙特卡罗方法）甲：“为啥啊，你喊四个肯定赢少输多啊！”乙：“你可真虎！”甲：“三个不知道”乙：“四个不知道”甲：“开，你喊四个我就开！”

术语是分割圈子的利器（阻碍交流的元凶）。——by狗尾草

一、记一场酒局

在讲蒙特卡洛方法之前，先给大家讲个真事。

几年前的某个夏夜，我和几个同事在撸着串，喝着啤酒，摇着骰子，当时的一段对话是这样的：

甲：“三个不知道”

乙：“四个不知道”

甲：“开，你喊四个我就开！”

乙：“你可真虎！”

甲：“为啥啊，你喊四个肯定赢少输多啊！”

乙：“那不一定，很多时候都是四个！”

甲：“一定啊，6个骰子出四个一样的几率很小啊！”

。。。。。。

然后，三个晕乎乎的渣博士坐在那里口算概率，算了接近一个小时，每个人算的结果都不一样，谁也不知道谁的是对的。

摇骰子的规则特别简单，三颗骰子，摇出来的1是万能的，可以当任何数字使用。

我本身数学是很差的，概率自从考完研之后就全丢掉了，第二天酒醒了之后，这个问题还让我“耿耿于怀”，然后我花了点时间写了个程序验证了一下这个问题的答案，先说答案，答案是如果乙喊4个不知道，甲就开，那么甲赢的可能在63%左右。

我用的方法就是蒙特卡洛方法。

二、蒙特卡罗方法

蒙特卡洛不是一个人，是一个地名Monte Carlo，位于摩纳哥，是一个世界著名的赌城（除了拉斯维加斯），现代计算机的先驱冯诺依曼命名了该方法，平白给这个方法增添了很多神秘的色彩（阅读障碍）。其实这个方法的思想特别朴素和容易理解，也早已经存在了。

注意，蒙特卡洛方法不叫蒙特卡洛算法，是因为它是没有明确的实施步骤的，它只是一种思想，它的思想特别朴素，借用我上面提到的例子：既然我算不出来概率，那么我就放弃计算，直接扔十万次骰子好了，统计一下赢的次数，根据朴素的概率论，只有样本量足够大，我一定会无限逼近于真实概率的。

事实上，历史上的确有人这么干过，例如为了验证抛硬币正反面的概率，据说下面这几个数学家就充满恒心毅力（丧心病狂）的抛过硬币：

德·摩根 抛了4092次，蒲丰 抛了4040次，费勒 抛了10000次，皮尔逊抛了 24000次，罗曼诺夫斯基 抛了80640次。（不知道有没有这个的吉尼斯世界纪录，可以尝试一下）

真的扔十万次骰子，是一个非常可怕的事，光想想就会疯，所以这个方法虽然很早就出现了，但是一直没有流行起来，直到——计算机的出现。用计算机扔骰子，这不是太简单了吗？几十秒就能扔完。

所以，计算机诞生之后，蒙特卡洛方法开始大放异彩，有很多难以用理论计算和推导的东西，没关系，我们用算力解决，因为最终要的也不是精确解，所以有一个近似解就行了。

所以蒙特卡洛方法的朴素思想一句话就可以总结：用（计算机模拟）实验方法求概率。

三、蒙特卡洛方法的应用

蒙特卡洛方法在非常多领域都很有用，而且在某些领域，它还几乎是唯一方法，但是别被我上面的例子和那句定义局限了，以为它就是求概率的，不是的，例如下面的例子。

1. 如果不知道π值，也不知道圆的计算公式，有一个圆，怎么求面积？

一个布满了随机点的圆

蒙特卡洛方法说：简单，先在圆的外面画一个外接正方形，然后生成十万个点随机撒在在这个正方形内部，然后数一数多少个点在圆内部（计算每个点到圆心的距离，如果距离小于半径则代表在圆内部），然后用这个数除10万，再乘正方形面积就好了。

2. 这里有一个诡异的函数，来求积分？

一个诡异的函数

蒙特卡洛方法说：简单，直接在这个区域内随机撒十万个点，数一数函数下方有多少个点（根据当前点的x值计算函数值y’和点的y值做对比，y<y’则代表在函数下方），然后用这个数除10万，在乘区域面积就好了。

3. 有一个机械产品是由10个零件堆起来的，要求整个厚度不超过30mm，但是每个零件厚度都有一定概率出现误差，超出最大范围，请问整个产品最终的合格率能到多少？

蒙特卡洛方法说：简单，随机模拟10万次装配，每次装配的时候按照概率随机给每个零件产生误差，然后统计最终的厚度，把不超过30mm的统计为合格品，求比例即可。

从上面几个例子，大家可以大概了解蒙特卡洛方法的思想了吧，去想想在自己的研究领域有没有应用价值和意义吧。

四、番外篇

自从那次酒局过后，我好像突然发现了选研究生的诀窍，最近几年，碰到来找我的研究生，如果我对他知识背景不是太拿的准，我就会给他抛出去两道编程题，让他用两天时间求解，其中一道就是这个扔骰子求概率的，其实如果C语言底子好，稍微有点思路，完全可以在十几分钟之内解决掉这个问题。遗憾的是，好几年了，也就碰到过一两个人能编程求解这个问题的。