垂线段最值模型图解（垂线段最短几何模型手册）

垂线段最值模型图解（垂线段最短几何模型手册）②定直线上的一个动点P①定直线外一个定点A直线L外一点A与直线上所有点相连得到的线段中，与L垂直的线段最短。简称垂线段最短。02 确定模型 根据以下特征来确定模型：

垂线段最短是最基础，但最常用的一个最值模型。许多复杂的最值模型最后会转化成垂线段最短，例如非常有名的"胡不归"模型。

文章来源公众号：初中数学题

※注意和将军饮马(两点间线段最短)的区别！

01 认识模型

直线L外一点A与直线上所有点相连得到的线段中，与L垂直的线段最短。简称垂线段最短。

02 确定模型

根据以下特征来确定模型：

①定直线外一个定点A

②定直线上的一个动点P

③求AP的最小值

03 模型原理

直线L外定点A，作AP垂直L。直线上点P外一点P′。

则有AP′>AP，可以根据下面方法证明

①垂线段公理：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短

②直角三角形AP′P中斜边大于直角边(或大角对大边)

04 结论

此模型的结论比较简单(垂线段最短)，一般考察时会加以变化。

我们可以根据动点，定点的位置，通过转化线段等方法，转成基本的形式。

05 抽图训练

下面举一些例子，大家练习一下如何转化成垂线段最短。

例1，已知在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，点P是AB上一动点(不与A、B重合)，过P作PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别是E、F，连结EF，D为EF的中点，则CD的最小值为( )。

分析：点C是定点，动点P在定线段AB上运动，所以CP最小值符合垂线段最短。

※由于EF位置在变化，所以点C与EF上的点D则不符合垂线段最短。

因为是∠C是直角，易知四边形PECF是矩形，所以CP=2CD，转化为求CP的最小值。

确认模型：定点C，AB上动点P，求CP最小值。

参照下图，CP的最小值是△ABC边AB上的高：3×4÷5=12/5，所以答案：6/5。

例2，线段AB的长为10，C为AB上的一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是( )。

方法一

分析：延长AD与BE交于点P，易知四边形PDCE是矩形，所以DE=PC，转化为求CP的最小值。

确认模型：定点P，AB上动点C，求PC最小值。

参照下图，等腰直角△PAB，易知PC的最小值是5。

方法二

分析：过D作DM垂直AB，过E作EN垂直AB，则DM平行EN，且MN=AB/2，所以DE与AB平行时最短，最小值是MN的长度。所以答案：5。

※从一条平行线上的任意一点，向另一条平行线作垂线，垂线段的长度叫平行线间的距离(本质还是垂线段最短)。平行线间的距离处处相等。

例3，如图，已知平行四边形OABC的顶点A、C分别在直线x＝1和x＝4上，O是坐标原点，则对角线OB长的最小值为( )。

分析：点O是定点，点B是动点，想求OB最小值需要先确定点B的轨迹。

由于四边形OABC是平行四边形，点O、A、B的横坐标都固定，易知点B的横坐标是5，即点B是直线x=5上的动点。

确认模型：定点O，直线x=5上动点B，求OB最小值。

所以最小值是5。

例4，如图，边长为6的等边三角形ABC，对称轴AD上有一动点E，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，则DF的最小值为( )。

分析：点D是定点，点F是动点，想求OF最小值需要先确定点F的轨迹。

为了快速确定轨迹，利用之前讲过的(瓜豆原理 | 几何模型手册)

如图，易知从动点F的运动轨迹与点E一样是直线CG，且∠CGD=60°。(可以找两个特殊点确定轨迹直线，例如点C，AD上的点G)

确认模型：定点D，直线CG上动点F，求DF最小值。

在直角三角形CDG中，CD=3，可以求得DG=√3，CG=2√3。所以DF的最小值就是CG上的高，所以答案是：3/2。

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