为什么理解透高数定义这么难（高数概念有多难理解）

为什么理解透高数定义这么难（高数概念有多难理解）很明显的，因为S中存在不属于任何开区间的点。比如，左边的三个开区间中，右边两个开区间各有一个端点重合，因为都是开区间，所以这个端点不含有任何点，即S在这个地方的点，并不属于于任一开区间，所以它不是一个开覆盖。右边的图例，注意S的右端点，它并不属于于任意开区间，即两个开区间构成的开区间集H，无法完全覆盖住S，所以它也不是一个开覆盖。其实它们都不是有限开覆盖，你知道为什么吗？下面举几个例子，以图像结合分析的方式，会更加直观易懂。比如下面这两个点集，统一命名为S。左边的S被一个开区间覆盖，即H只有一个元素，但这个元素就已经实现对S的全覆盖了。S的任何一个点都在这个开区间上，这也是允许的。右边的S被两个开区间覆盖，这两个开区间就构成了开区间集合H。它们都是典型的有限开覆盖。再增加几个开区间，不论它们是否含有S的点，都不会改变有限开覆盖的实质。再看下面这两个图例，你觉得它们是开覆盖吗？

#我在头条搞创作第二期#

与实数完备性相关的一些数学概念是高等数学中最抽象，最难理解的内容之一。比如无限开覆盖和有限开覆盖的定义，就曾经让老黄“丈二和尚摸不着脑袋”。经过潜心思考理解之后，终于懂得了一点皮毛，就迫不及待地想和大家分享一下。

无限(有限)开覆盖的定义是这样的：设S为数轴上的点集，H为开区间的集合（即H的每一个元素都是形如(α β)的开区间）.若S中任何一点都含在H中至少一个开区间内，则称H为S的一个开覆盖，或称H覆盖S；若H中含有S的点的开区间的个数是无限(有限)的，则称H为S的一个无限开覆盖(有限开覆盖).

绝大多数教材都没有强调，必须是含有S的点的开区间的个数有无限个。只是说开区间有无限个而已。但老黄觉得，H中还有可能存在无限多不含S的点的开区间，那就造成误会了。 所以老黄特别补充了“含有S的点的开区间”这个条件。当然，不增加这个条件，其实还有另一种理解。关键看你怎么理解啦。

下面举几个例子，以图像结合分析的方式，会更加直观易懂。比如下面这两个点集，统一命名为S。

左边的S被一个开区间覆盖，即H只有一个元素，但这个元素就已经实现对S的全覆盖了。S的任何一个点都在这个开区间上，这也是允许的。右边的S被两个开区间覆盖，这两个开区间就构成了开区间集合H。它们都是典型的有限开覆盖。再增加几个开区间，不论它们是否含有S的点，都不会改变有限开覆盖的实质。

再看下面这两个图例，你觉得它们是开覆盖吗？

其实它们都不是有限开覆盖，你知道为什么吗？

很明显的，因为S中存在不属于任何开区间的点。比如，左边的三个开区间中，右边两个开区间各有一个端点重合，因为都是开区间，所以这个端点不含有任何点，即S在这个地方的点，并不属于于任一开区间，所以它不是一个开覆盖。右边的图例，注意S的右端点，它并不属于于任意开区间，即两个开区间构成的开区间集H，无法完全覆盖住S，所以它也不是一个开覆盖。

下面来强化一下对有限开覆盖的定义的理解。请判断下列哪些图形表示S的开覆盖，哪些不表示S的开覆盖。

先看图形A，这里有两个疑点，一是S的右端点的情况，和上一个图例有点像，又不完全一样。因为这里的S右端点是开区间的，所以并不存在右端点不属于任何一个开区间的情况。另外，最右边还有一个开区间，和S没有交集，不包含S的任意点。这一点并不影响这个开区间集是S的开覆盖的实质，所以A是S的开覆盖。

再看B图，也有两个疑点。一是有两个开区间的端点重合，但这个点属于第三个开区间，所以并没有产生影响。另外，有一个开区间的端点是实心的，它是一个半开闭区间。这也并不会影响到开覆盖的定义，不取这个端点就是了嘛。在这个图中，甚至可以不要这个半开闭区间，把它开除了也是可以的。所以B也是S的开覆盖。

再看图C，它就明显不是S的开覆盖了，因为S左端有一个子区间上的任意点都不属于任一开区间。

图D只有一个疑点，就是最右边的区间不完整，不知道它是一个什么样的区间，但这也没有关系，只要S上的任意点都在某个(或某些)开区间上就可以了。就算那个不完整的区间右端是闭的，我们不取端点就是了。所以它也是S的一个开覆盖。

这四个图，可以说已经涵盖了开覆盖的所有特殊情况。至于无限开覆盖，无法用图形表示出来，只能利用想象力来帮助理解。你可以在这些有限开覆盖的基础上，再随意增加无限多个开区间就可以形成无限开覆盖。或者通过增加开区间，把图C补充成一开覆盖，也是可以的。

不过我们平时在运用开覆盖相关的定义和定理时，都不会这样作出图像，基本上全都是依赖于想象力的。老黄作出这些图像，只是为了帮助理解而已。

最后再看一道例题，看看开覆盖的定义是怎么运用的。

例2：说明开区间集Sn={(1/(n 1) 1)}(n=1 2 …)构成了开区间(0 1)的一个开覆盖.

注意：这个开区间集是一个开区间列，但并不是一个开区间套。可以运用反证法来证明。

证：设存在x0∈(0 1) 且x0∉(1/(n 1) 1) n=1 2 …【点集中有一点x0，不属于开区间集中的任何一个开区间】

则0<x0≤min{1/(n 1)} n=1 2 …又lim( n→∞) 1/(n 1)=0且{1/(n 1)}递减 【那么x0肯定大于0，又不大于数列{1/(n 1)}的最小值，而数列{1/(n 1)}递减且以0为极限】

取ε0=x0，存在N0>0，使得当n>N0时，就有【由极限的定义反证，取ε0=x0，存在N0>0，使N0后面的所有项】

|1/(n 1)|=1/(n 1)<ε0=x0，从而min{1/(n 1)}<x0，矛盾！【都在U(0 ε0)内，从而{1/(n 1)}的最小值一定也比x0小，从而造成矛盾】

∴Sn开覆盖开区间(0 1).

最后一个问题，你觉得这是一个有限开覆盖，还是一个无限开覆盖？

因为开区间集中有无限多个开区间含有点集中的点，所以它是一个无限开覆盖。

怎么样？看完之后，你迷糊了吗？