角谷猜想的科学实例（角谷猜想及其推广）

角谷猜想的科学实例（角谷猜想及其推广）施行T1或T2运算的次数叫“路径长度”．路径长度并不因数字的大小变长或变短．我们再取一个较大的数n=65536，则你看，经过16个“回合”，就得到“1”．让我们随便取一个数试试：取n=7，则7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，

文/大罕

有些数学问题，人人听得懂，个个都能试，但证明它却以很难很难．这样的问题，会吸引一大批爱动脑筋的人，领略到数学的无穷的乐趣．角谷猜想就是一例．

角谷猜想也称为库拉兹问题．在1928－1933年期间，德国汉堡大学教授库拉兹就最先提出并考虑过一个问题，1952年逐渐传播出去而风靡全球．一位名叫角谷的日本数学家把它带到了亚洲，所以人们将错就错地称之为角谷猜想．

什么是角谷猜想呢？任意给定一个自然数n，当它是偶数时就除以2(记为T1)，当它是奇数时就乘以3再加1(记为T2)，如此演算下去，最后必然得到1.

让我们随便取一个数试试：

取n=7，则

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，

你看，经过16个“回合”，就得到“1”．

施行T1或T2运算的次数叫“路径长度”．路径长度并不因数字的大小变长或变短．我们再取一个较大的数n=65536，则

65536→32768→16384→8192→4096→2048→1024→512→256→128→64→

32→16→8→4→2→1，

它的路径长度很短，只有16．

为什么一个大的数字会很快“跌落”到1？关于观察的读者会发现：n=65536＝2^16，所以施行16次T1运算就跌落成1．

数字再大一些会怎么样呢？日本有一位学者米田信夫对7000亿以内的数进行验算，结果无一例外回归到1．

奇特的规律，其奥秘何在？为揭开这个谜底，有人对角谷猜想给出了形象的几何模型，试图从图的角度对这个问题加以探索．

我们把猜想中的自然数称为库拉兹数，把所有的库拉兹数的因果关系用箭头连续起来，就构成了一个硕大无比的树，树根就是数1，而4→2→1就是树的主干．这棵树的局部图示，如图1：

这是一棵枝叶繁茂的参天大树．如果能证明这棵树覆盖一切自然数，或者证明这棵树是“向根”树（不会有圈或指向无穷的分支），那么就实质上证明了角谷猜想．然而，证明这些又谈何容易！

1990年，我国安徽的一位数学教师张承宇对“角谷猜想”作了一个大胆的推广．他猜想：任意给定一个自然数n，设p1=2，p2=3，…，ps为连续的s个素数，按如下规则对n进行运算：

①若p1=2，p2=3，…，ps中至少有一个能整除n，则用它去除n（这一运算记为T1）；

②若p1=2，p2=3，…，ps中全都不能整除n，则用第s 1个素数ps 1乘以n再加1（这一运算记为T2），

那么，反复对n及其结果施行上述T1、T2运算，最后必然得到1.

举例说明如下：

任给一个自然数11，设p1=2，p2=3，p3=5是3个连续的自然数，第4个素数是p4=57，

显然，p1=2，p2=3，p3=5全都不能整除11，所以对11施行T2运算：

11×7 1=78；

p1=2能整除78，所以对78施行T1运算：

78÷2=39；

p2=3能整除39，所以对39施行T1运算：

39÷3=13；

p1=2，p2=3，p3=5全都不能整除13，所以对13施行T2运算：

13×7 1=92；

…，这样下去，一併写下如下形式：

11→78→39→13→92→46→23→162→81→27→9→3→1，

张承宇题为“角谷猜想的推广”的文章刊载于我国权威刊物《自然杂志》1990年第5期上．杂志还特别发表了“编者按”如下：

“《角谷猜想》虽出自于一位业余数学爱好者之手，但猜想有据，推断有理，显示出一定的数学功底．本刊予以刊载．若有朝一日谁能沿着该文的思路一举解决了角谷猜想，千万不要忘记了这位在艰苦条件勤奋自学的业余爱好者啊！”

“自然杂志”编者的拳拳之心，跃然纸上．

一个尚未解决的数学问题或猜想，再“推广”有意义吗？岂不是“雪上加霜”，把问题搞得难上加难吗？不，有时恰恰相反．让我们援引法国著名数学家希尔伯特（Hilbert，1862-1943）一段十分深刻的论述吧：

“在解决一个问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的问题不过是一连串有关问题中的一个环节．采取这样的观点，不仅我们所研究的问题会容易得到解决，同时还会获得一种能用于相关问题的普遍方法．”

张承宇对角谷猜想的推广，正是给出了希尔伯特所说的一连串问题，而角谷猜想只是其中的一个特例（设p1=2，s=1）．按照这一推广，这类问题不仅与两个素数2和3有关，而是同整个素数数列{2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 …}有关，从而更深刻地揭示了这类问题的规律性．

角谷猜想的问世，是对数学家的一大挑战．尽管要解决它似乎还遥遥无期．但是我们深信，这个难题就像历史上的一些著名难题一样，总有一天，我们会赢得胜利．