求方程x-2+y+3等于1的整数解（已知xy满足方程x2-y）

求方程x-2+y+3等于1的整数解（已知xy满足方程x2-y）=2±√5。代数式=(x kx)/(x-kx)=(1 k)/(1-k)1-k^2=k，则：k^2 k-1=0 由求根根式得：k=(-1±√5)/2;

主要内容：

介绍通过正比例换元、中值换元、三角换元以及二次方程求根公式等方法，计算代数式(x y)/(x-y）在x^2-y^2=xy条件下具体值的步骤。

思路一：正比例替换

设y=kx 代入已知条件得：

x^2-(kx)^2=x*kx，

(1-k^2)x^2=kx^2，

1-k^2=k，则：

k^2 k-1=0 由求根根式得：

k=(-1±√5)/2;

代数式=(x kx)/(x-kx)=(1 k)/(1-k)

=2±√5。

思路二：二次方程求根公式法

x^2-y^2=xy

y^2 xy-x^2=0 将方程看成y的二次方程，

由求根公式得：

y=(-1±√5)x/2 代入代数式得：

代数式

=[x (-1±√5)x/2]/[x-(-1±√5)x/2]

=(1±√5)/(3∓√5)

=2±√5。

思路三：结论换元法

设(x y)/(x-y)=k 则：

y=(k-1)x/(k 1)，

又x^2-y^2=xy 将y代入已知条件得：

x^2-(k-1)^2*x^2/(k 1)^2=x*(k-1)x/(k 1)

(k 1)^2-(k-1)^2=(k^2-1)

k^2-4k-1=0

k=2±√5。

思路四：中值替换

设x y=2m x-y=2n 则x=m n y=m-n

(m n)^2-(m-n)^2=1*(m n)(m-n)

2mm 2mn=(m^2-n^2)

m^2-4mn-n^2=0 由二次方程求根公式得，

m=(2±√5)n。

则代数式=2m/2n

=m/n=(2±√5)。

思路五：三角换元法

设x=cost y=sint 则：

(cost)^2-(sint)^2=costsint

2cos2t=sin2t，即tan2t=2

由万能公式得：

tan2t=2tant/(1-tan^2t)=2 即：

(tant)^2 tant-1=0

tant=(1±√5)/2。

代数式

=(x y)/(x-y)

=(cost sint)/(cost-sint)

=(1 tant)/(1-tant)

=[1 (1±√5)/2]/[1-(1±√5)/2]

=(3±√5)/(1∓√5)

=2±√5。