简明微积分知识点（微积分笔记道法自然）
简明微积分知识点（微积分笔记道法自然）上面说了e这个数值2.718...，是怎么计算的。现在从使用这方面来看，哪些公式或者方程，或者讨论到哪些问题了，会接触到e。但首先我们可以知道，并要记住，e是计算出来的一个数，就像pi一样！从极限的概念看，是一个函数的极限值。这个推导过程强烈建议自己推导几遍。一来可以加深对e这个值（仅仅是数值，还不是物理意义）的由来，二来可以充分体会夹逼原理。夹逼原理在微积分里是一个非常常用的手段，本质思想是用一个简单的已知的东西，代替考察未知的复杂的东西。这个思想在一元函数微积分，多元函数微积分之后的众多定理都会使用到，还很好使！可以说，微积分里跟定量型定理沾边的证明过程，基本都用上了这个思想。这个思想还有一个名词，以直代曲，以好带坏，能延伸出非常多的奇技淫巧，甚至于说它还诞生了一个叫级数的概念，和一门叫信号与系统的学科，都不为过。这个极限是夹逼原理的第一次正式使用，熟练之！但很遗憾，这么看，e还是非常
道法自然！这个道，在微积分中就是微积之道，辩证之道。这个自然，就是本篇要讲的，自然数e。
本篇算是一元微积分的最后一篇，之后介绍多元微积分了。以我的经验，一元微积分中，最不能理解的就是自然数e。非常另类的一个数。这篇来探讨一下。希望看了这篇后，少则能对e有个全面的认识，多则能够结合之前微积分的各种定理公式，达到新的高度，在哲学层面理解一元函数微积分所揭示的宇宙真理。
0 引子我们先来看pi，圆周率。这个好理解，望文即可生义。圆周率——关于圆的周长的一个比例。那么e呢？自然数？一个很自然的数？还是大自然的一个数？看着就非常不自然。但它却是是一个来自于大自然的非常自然的数。
1 e的数值来源微积分书介绍e，有些会从银行存款开始，但归根结底，都会引向同一个极限，三大基本极限之一。书中也会给出计算过程。贴在下面供参考。
这个推导过程强烈建议自己推导几遍。一来可以加深对e这个值（仅仅是数值，还不是物理意义）的由来，二来可以充分体会夹逼原理。
夹逼原理在微积分里是一个非常常用的手段，本质思想是用一个简单的已知的东西，代替考察未知的复杂的东西。这个思想在一元函数微积分，多元函数微积分之后的众多定理都会使用到，还很好使！可以说，微积分里跟定量型定理沾边的证明过程，基本都用上了这个思想。这个思想还有一个名词，以直代曲，以好带坏，能延伸出非常多的奇技淫巧，甚至于说它还诞生了一个叫级数的概念，和一门叫信号与系统的学科，都不为过。这个极限是夹逼原理的第一次正式使用，熟练之！
但很遗憾，这么看，e还是非常的不自然！
但首先我们可以知道，并要记住，e是计算出来的一个数，就像pi一样！从极限的概念看，是一个函数的极限值。
2 e的方程来源上面说了e这个数值2.718...，是怎么计算的。现在从使用这方面来看，哪些公式或者方程，或者讨论到哪些问题了，会接触到e。
极限之后的章节，除了初等函数的导数公式表，没啥能和e正面接触的机会了。直到微分方程。一元函数的微分方程主要是一阶常系数线性微分方程。求解会有e的影子，这是第二次跟e正面接触。
先来说，整个微积分中，你跟e会有3次正面接触：
- 基本极限
- 微分方程
- 傅里叶级数（书中一般称作傅里叶积分）
关于微分方程的定义和求解过程，一阶和二阶的，书中有详细的求解步骤和物理意义。不再赘述，暂时没啥形而上的东西可讲。（看清了是暂时！）。最多就是关于二阶方程的解中的振荡发散、临界阻尼振荡等。对比着图形看解，就能知道其几何意义，非常直观。可以找一门专业课，我是由于自身专业关系，找了电路，RCL电路的解就是一个很典型的二阶方程的解，对比大阻尼小阻尼临界阻尼，甚至无阻尼，都可以有很好的物理意义。
先从一阶方程讲，
似乎看来，e的出现是一阶方程的解。只要一个物理量的变化，满足变化率和存量之间有这个关系，这个变量就会按照e指数规律运行。从纯数学角度好理解，只有e^x，导数是自己，积分也是自己，其他函数都没有这个特点。而然这个依然是形而下的，为什么一个物理量就一定要按照这样的dy/dx Py的形式？不这样不行吗？
再来看看二阶的
有没有发现，依然是e^x，只不过一阶中，x是实数，整个解是实指数函数。二阶中是x是复数，整个解是复指数。对应到阻尼振荡中，有临界阻尼，无阻尼等等。
通过复指数公式
我们可以看到，复指函数中，x=a ib，a对应着e^a，就是图形的包络，决定图形的最终趋势，是发散的a>0，还是收敛的a<0，还是不变的a=0。b对应着怎么走向趋势，e^ib=cos isin。简单一句话，就是振荡着过去的。看着下面两张图，细品一下，a和b的作用，趋势和振荡。
这样看来，微分方程的解，其实是一个e指函数，无非就是变量是实数还是复数。我们从方程的角度考察了e的来源，但还是不够深入，没有挖出后面那个大boss。
3 e的究极来源——宇宙的运动讨论e的究极来源，从微积分是看不出的，云深不知处，只缘身在此山中！我从信号与系统课程入手给你分析。
首先补习一下信号与系统。粗略的，别较真！信号就是自变量是时间的一元函数，如电流，电压等等。系统就是有一个输入，弄吧弄吧，产生一个输出的盒子。为了方便起见，我们只看离散系统，所谓离散，就是自变量那个时间t，不取连续值，取一份份的值n。
先来看一个最简单的系统：y[n]=x[n]。吃啥吐啥，没含量吧，直通型。复杂一点：y[n]=x[n-1] x[n]。系统的输出跟当刻的输入和前一刻的输入有关。
有没有跟后一刻的输入有关？qnmd！这不符合因果律了，系统能预知下一刻了
再复杂一点，系统的当刻输出，跟当刻输入，和所有之前的输入有关：
可以说，现实世界都是这样的系统，因为实际系统中，内部元件多少都会对输入有一种“惯性”或者说“迟滞”或者说“振荡”，信号不可能通常无比地到达输出口，能量会在系统内部产生回音。信号与系统课程中，这个称为有记忆系统，如LC电路，阻尼弹簧。
这就是离散系统的差分方程模型的由来！也就是说，能量在系统内部传输时的“惯性”，导致了描述系统的时域方程必然是差分形式的。同理，体会一下微分方程怎么来的！
顺着的路径：e从数值上讲是一个极限的值。这个极限有一个特点，就是导数和积分都是自己。所以微分方程的解必然是e的某种形式，这里就是e指函数。而微分方程是能量传输的惯性导致的必然结果。
逆着这条路，你就能体会e的究极来源，它实际上体现的是能量流淌的惯性！细品！
如果宇宙的能量有个惯性的度量，那么宇宙的能量是2.718...kg！
微分方程结合了微分和积分。其结果又是e的表现函数。宇宙中所有的变化，归根结底都是能量的流淌，能量2.718kg的表现。微分和积分这两条任督二脉在极限而走两道，在e处汇集，二脉已通。气自然运转，你此刻应该看到了这个宇宙不一样的景色。对自然数这个称谓应该有了不一样的体会，确实是“自然数”，没有比e更自然的了，pi都轮不上啊！
4 回味一下e再从一个实际系统体会一下e。举个例子，RLC电路。RLC电路，微积分中有，信号与系统有，电路原理也有，是一个非常经典的电路。RLC可以用微分方程描述。
通过上面的分析，你应该知道，没有第二个解了！只有微分方程描述
解的分析根据R的值，有不同的阻尼，但是最终还是以指数形式区域0，LC决定了振荡频率，R决定了阻尼大小。
如果R=0，无阻尼，只有振荡。物理上看，能量在电容电能和电感磁能之间来回变换。注意，只是能量的形式在变换，能量本身不变。别扯电磁辐射先！永远如此震荡下去。
如果L或C=0，无振荡，只有按指数区域0。物理上看，能量从电能变成热能消耗掉。因为整个电路中没有来回倒腾了，所以内部没有振荡。
总体上来讲，LC构成了系统内部的两个池子，能量在这系统内部来回流转，流转速度按三角函数来。如果加进了R，系统能量有了对外输出，按e指速度流出系统。
再总结一下，整个宇宙就是能量的流淌，任何形式的系统，对能量的流淌都会产生惯性，在时域用方程描述，就会是微分方程。其解必然是e指的某个形式。
这种惯性，从微观上来讲，可以用统计分析。将能量想象成微小粒子，符合热运动的统计学规律。这里不展开了，留着自己细品！
5 三角vs e指数这里还有一个小尾巴，凭什么能量在系统内部流转是三角振荡，对外流淌就是e指收敛？hoho，欧拉出来走两步看看，明白了吧。为啥？
三角函数就是指数函数，指数函数就是三角函数。形而下一点，为啥级数只有泰勒级数和傅里叶级数？因为初等函数是好函数，好函数就是幂函数和三角函数和指数函数三种。而三角函数和指数函数本质上就是一个函数！一个函数！一个函数！所以你翻遍微积分也找不出第三个级数展开（除了泰勒和傅里叶）。而且傅里叶级数里有e！通过此文的分析，你应该能体会到，如果没有e，那才怪了！对不对
信号与系统会花一整本书的时间来讨论这个e，傅里叶和欧拉，我上一篇就说了，他们是真理的领路人！你可以这么看，欧拉引出了e，傅里叶让你熟悉了e。
6 尾声一元函数微积分，从极限开始，到导数，到微分、积分，最后到微分方程，一路下来。我们从微和积的统一矛盾开始，辩证法开始，讨论微分和积分，到最后，发现了宇宙的惯性e。算是终点了。也就是说，一元函数微积分，通过e呈现了曲线（对应傅里叶级数的复数表示形式）这个中心矛盾点，通过微和积两个辩证角度考察了曲线。宇宙就是按照e的复指数函数运行的，宇宙能量的重量就是2.718...kg！
一元函数微积分，归结起来，就是上面一段话。要打通任督二脉还是得靠自己不断的推导定理，做题，看书，特别是与其他课程融会贯通。最终领悟真谛！当你回头看微积分里的罗尔定理，洛必达法则，牛顿莱布尼兹公式，都觉得自然无比，都是理所当然的时候，就是真正领悟微积分的时候了。
7 下期预告多元函数微积分，将揭示宇宙运行的另一个规律——守恒律！任你能量千变万化，千淌万流，都逃不出我掌心。
还记得那两个令我慎得慌的端点吗？嗯，会出现的，黑白无常啊。还会碰到更多，更有意思的东西，如实数算不算矢量，梯度散度旋度的物理意义，有没有超距作用，为啥矢量外积不满足交换律，为啥矢量有外积和内积，宇宙到底有边没边。hoho，相比之下，一元微积分是不是非常简单了？
