统计学必须掌握的知识（统计学常用知识梳理）

逗爷 2023-08-27 07:30:12 862

统计学必须掌握的知识（统计学常用知识梳理）则认为测量值与预测值互相矛盾.这很容易理解因为如果测量值都落在一定数值范围之外可以合理推论预测值是否正确.标准差可以当作不确定性的一种测量.在物理科学中做重复性测量时测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度.当要决定测量值是否符合预测值测量值的标准差占有决定性重要角色.如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较)例如：两组数的集合 {0 5 9 14} 和 {5 6 8 9} 其平均值都是7 但第二个集合具有较小的标准差.公式：

统计学必须掌握的知识（统计学常用知识梳理）(1)

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01 标准差(Standard deviation)

简单来说 标准差是一组数值自平均值分散程度的一种测量观念.一个较大的标准差代表大部分的数值和其平均值之间差异较大一个较小的标准差代表这些数值较接近平均值.

例如：

两组数的集合 {0 5 9 14} 和 {5 6 8 9} 其平均值都是7 但第二个集合具有较小的标准差.

公式：

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标准差可以当作不确定性的一种测量.在物理科学中做重复性测量时 测量数值集合的标准差代表这些测量的精确度.当要决定测量值是否符合预测值测量值的标准差占有决定性重要角色.如果测量平均值与预测值相差太远(同时与标准差数值做比较)

则认为测量值与预测值互相矛盾.这很容易理解因为如果测量值都落在一定数值范围之外可以合理推论预测值是否正确.

标准差应用于投资上可作为量度回报稳定性的指标.标准差数值越大代表回报远离过去平均数值回报较不稳定故风险越高.相反标准差数值越小代表回报较为稳定风险亦较小.

例如:

A B两组各有6位学生参加同一次语文测验 A组的分数为95 85 75 65 55 45

B组的分数为73 72 71 69 68 67.

这两组的平均数都是70 但A组的标准差为17.078分 B组的标准差为2.160分说明A组学生之间的差距要比B组学生之间的差距大得多.

方差

两人的5次测验成绩如下:

A:50 100 100 60 50 -->Average(A) = 72

B:73 70 75 72 70 -->Average(B) = 72

平均成绩相同但A不稳定对平均值偏大.

方差描述随机变量对于数学期望的偏离程度.

方差公式:

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可以看到方差是标准差的平方.

除了期望，方差(Variance)是另一个常见的分布描述量。如果说期望表示的是分布的中心位置，那么方差就是分布的离散程度。方差越大，说明随机变量取值越离散。

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比如射箭时，一个优秀的选手能保持自己的弓箭集中于目标点附近，而一个经验不足的选手，他弓箭的落点会更容易散落许多地方。

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上面的靶上有两套落点。尽管两套落点的平均中心位置都在原点 (即期望相同），但两套落点的离散程度明显有区别。蓝色的点离散程度更小。

数学上，我们用方差来代表一组数据或者某个概率分布的离散程度。可见，方差是独立于期望的另一个对分布的度量。两个分布，完全可能有相同的期望，而方差不同，正如我们上面的箭靶。

对于一个随机变量XX来说，它的方差为:

Var(X)=E[(X−μ)2]Var(X)=E[(X−μ)2]

其中，μμ表示XX的期望值，即μ=E(X)μ=E(X)。

我们可以代入期望的数学表达形式。

比如连续随机变量：

Var(X)=E[(X−μ)2]=∫ ∞−∞(x−μ)2f(x)dxVar(X)=E[(X−μ)2]=∫−∞ ∞(x−μ)2f(x)dx

方差概念背后的逻辑很简单。一个取值与期望值的“距离”用两者差的平方表示。该平方值表示取值与分布中心的偏差程度。平方的最小取值为0。当取值与期望值相同时，此时不离散，平方为0，即“距离”最小；当随机变量偏离期望值时，平方增大。由于取值是随机的，不同取值的概率不同，我们根据概率对该平方进行加权平均，也就获得整体的离散程度——方差。

方差的平方根称为标准差(standard deviation 简写std)。我们常用σσ表示标准差.

σ=Var(X)−−−−−−√σ=Var(X)

标准差也表示分布的离散程度。

01 正态分布的方差

根据上面的定义，可以算出正态分布:

E(X)=1σ2π−−√∫ ∞−∞xe−(x−μ)2/2σ2dxE(X)=1σ2π∫−∞ ∞xe−(x−μ)2/2σ2dx的方差为

Var(X)=σ2Var(X)=σ2

正态分布的标准差正等于正态分布中的参数σσ。这正是我们使用字母σσ来表示标准差的原因！

可以预期到，正态分布的σσ越大，分布离散越大，正如我们从下面的分布曲线中看到的:

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当方差小时，曲线下的面积更加集中于期望值0附近。当方差大时，随机变量更加离散。此时分布曲线的“尾部”很厚，即使在取值很偏离0时，比如x=4x=4时，依然有很大的概率可以取到。

代码如下:

# By Vamei

from scipy.stats import normimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt

# Note the difference in "scale" which is stdrv1 = norm(loc=0 scale = 1)rv2 = norm(loc=0 scale = 2)

x = np.linspace(-5 5 200)

plt.fill_between(x rv1.pdf(x) y2=0.0 color="coral")plt.fill_between(x rv2.pdf(x) y2=0.0 color="green" alpha = 0.5)

plt.plot(x rv1.pdf(x) color="red" label="N(0 1)")plt.plot(x rv2.pdf(x) color="blue" label="N(0 2)")

plt.legendplt.grid(True)

plt.xlim([-5 5])plt.ylim([-0.0 0.5])

plt.title("normal distribution")plt.xlabel("RV")plt.ylabel("f(x)")

plt.show

02 指数分布的方差

指数分布的表达式为:

f(x)={λe−λx0ififx≥0x<0f(x)={λe−λxifx≥00ifx<0

它的方差为:

Var(X)=1λ2Var(X)=1λ2

如下图所示:

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03 Chebyshev不等式

我们一直在强调，标准差(和方差)表示分布的离散程度。标准差越大，随机变量取值偏离平均值的可能性越大。如何定量的说明这一点呢？我们可以计算一个随机变量与期望偏离超过某个量的可能性。比如偏离超过2个标准差的可能性。即

P(|X−μ|>2σ)P(|X−μ|>2σ)

这个概率依赖于分布本身的类型。比如正态分布N(0 1)N(0 1)，这一概率即为x大于2，或者x小于-2的部分对应的曲线下面积：

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实际上，无论μμ和σσ如何取值，对于正态分布来说，偏离期望超过两个标准差的概率都相同，约等于0.0455 (可以根据正态分布的表达式计算)。随机变量的取值有约95.545%的可能性落在正负两个标准差的区间内，即从-2到2。如果我们放大区间，比如正负三个标准差，这一概率超过99%。我们可以相当有把握的说，随机变量会落正负三个标准差之内。上面的论述并不依赖于标准差的具体值。这里可以看到标准差所衡量的“离散”的真正含义：如果取相同概率的极端值区间，比如上面的0.0455，标准差越大，该极端值区间距离中心值越远。

然而，上面的计算和表述依赖于分布的类型（正态分布）。如何将相似的方差含义套用在其它随机变量身上呢？

Chebyshev不等式让我们摆脱了对分布类型的依赖。它的叙述如下：

对于任意随机变量X，如果它的期望为μμ，方差为σ2σ2，那么对于任意t>0t>0，

P(|X−μ|>t)≤σ2tP(|X−μ|>t)≤σ2t

无论X是什么分布，上述不等式成立。我们让t=2σt=2σ，那么

P(|X−μ|>2σ)≤0.25P(|X−μ|>2σ)≤0.25

也就是说，X的取值超过两个正负标准差的可能性最多为25%。换句话说，随机变量至少有75%的概率落在正负两个标准差的范围内。（显然这是最“坏”的情况下。正态分布显然不是”最坏“的）

绘图代码如下：

from scipy.stats import normimport numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt

# Note the difference in "scale" which is stdrv1 = norm(loc=0 scale = 1)

x1 = np.linspace(-5 -1 100)x2 = np.linspace(1 5 100)x = np.linspace(-5 5 200)plt.fill_between(x1 rv1.pdf(x1) y2=0.0 color="coral")plt.fill_between(x2 rv1.pdf(x2) y2=0.0 color="coral")plt.plot(x rv1.pdf(x) color="black" linewidth=2.0 label="N(0 1)")

plt.legendplt.grid(True)

plt.xlim([-5 5])plt.ylim([-0.0 0.5])

plt.title("normal distribution")plt.xlabel("RV")plt.ylabel("f(x)")

plt.show

03 MAD绝对中位值