王元 张寿武（数学的传承张寿武教授谈王元院士）
王元 张寿武（数学的传承张寿武教授谈王元院士）中图分类号N092关键词王元；数学教育；传承；重新组织数学；简化数学来源 |《自然科学史研究》第40卷第3期（2021年）387-402编者按:王元是我国著名数学家，中国科学院院士，曾与陈景润、潘承洞一起荣获国家自然科学一等奖。王元先生在数论、数论方法的应用等方面有突出的成就，也是中国数学事业的重要组织者之一。王元先生关心数学史研究并身体力行，所撰《华罗庚》是现代数学家传记的典范。王元先生于今年5月14日逝世，本刊特发表杨静、李文林、魏蕾等对王元先生的高足张寿武教授的访谈录，以示缅怀和纪念。摘 要美国普林斯顿大学张寿武教授在访谈中，回忆了在中国科学院数学研究所师从王元院士所受的终身教益；介绍了在王元院士感召下，倾力培养数学优秀人才过程中的经验和心得。张寿武教授用实际行动传承着王元院士等老一辈数学家的科学精神和数学事业。他成功开办了暑期学校，表达了对中国数学事业现状的观感；并提出要缩小与国外
作者 | 杨静（天津师范大学 数学科学学院，天津 300387）
李文林（中国科学院 数学与系统科学研究院，北京 100190）
魏蕾（中国科学院大学，北京 100049）
张寿武（普林斯顿大学 数学系，普林斯顿 NJ 08544-1000）
来源 |《自然科学史研究》第40卷第3期（2021年）387-402
编者按:王元是我国著名数学家，中国科学院院士，曾与陈景润、潘承洞一起荣获国家自然科学一等奖。王元先生在数论、数论方法的应用等方面有突出的成就，也是中国数学事业的重要组织者之一。王元先生关心数学史研究并身体力行，所撰《华罗庚》是现代数学家传记的典范。王元先生于今年5月14日逝世，本刊特发表杨静、李文林、魏蕾等对王元先生的高足张寿武教授的访谈录，以示缅怀和纪念。
摘 要美国普林斯顿大学张寿武教授在访谈中，回忆了在中国科学院数学研究所师从王元院士所受的终身教益；介绍了在王元院士感召下，倾力培养数学优秀人才过程中的经验和心得。张寿武教授用实际行动传承着王元院士等老一辈数学家的科学精神和数学事业。他成功开办了暑期学校，表达了对中国数学事业现状的观感；并提出要缩小与国外学术水平的差距，必须做中国人自己的数学、重新组织数学的学术观点。
关键词王元；数学教育；传承；重新组织数学；简化数学
中图分类号N092
文献标识码 A
文章编号1000-0224(2021)03-0387-16
张寿武，1962年生，安徽和县人，数学家。1983年在中山大学数学系毕业后，前往中国科学院数学研究所攻读硕士学位，师从王元(1930-2021)。1986年赴美国哥伦比亚大学继续深造，1991年获得博士学位。先后任教、任职于普林斯顿大学和普林斯顿高等研究院，1996年获得哥伦比亚大学终身教职，2011年至今在普林斯顿大学数学系任终身教授。
张寿武的主要研究领域包括数论与代数几何。1992年，他证明了世界性难题波戈莫洛夫猜想(Bogomolov conjecture)[1]。1997年，在世界上率先在全实域上推广了“格罗斯一乍基亚公式”(Gross-Zagier formula)，被称为“格罗斯-乍基亚-张公式”[3]，1998年应邀在德国柏林举行的第23届国际数学家大会上做45分钟报告。
张寿武曾获斯隆研究奖、晨兴数学金奖、古根海姆基金奖。当选为美国人文与科学院院士，美国数学学会会士，我国教育部第二批“长江学者奖励计划讲座教授”，曾担任中国“未来科学大奖”科学委员会委员。
2019年9月2日，杨静、李文林、魏蕾等在中国科学院数学与系统科学研究院5南楼816室，采访了张寿武教授。杨静、魏蕾、赵晶对访谈稿进行了整理。本文中用“访”表示访谈人“张”表示受访人张寿武教授。
张寿武教授在访谈中，用了很多时间回忆导师王元院士对自己学术成长的影响，师恩重如山；在王元院士等老一辈数学家的影响下，张教授也身体力行地耕耘在数学天地。通过自己的求学经历，在数学研究、人才培养方面的体会，张教授对中国数学的发展，提出独到见解和宝贵建议。从中，笔者可以感受到一代学人强烈的社会责任感，对数学研究事业的挚爱，对培养数学人才的倾情投入。由此，我国的数学事业得以传承。王元院士已于2021年5月14日驾鹤西去，谨以此文缅怀、追思老数学家的高尚品格。
1、 与王元院士结缘
访：您从小的教育环境远谈不上优越，但却早早在数学方面崭露头角，在外人看来，求学之路格外顺畅，我们很想知道这个过程。
张：我是在农村长大的，种田、养鸭、捕鱼这些农活都干过，是地地道道的农村孩子。只是从小对数字有些敏感，算是略有天资。稍大一点，感觉数学最单纯，通过对错就能客观地分出高下，因此格外喜欢数学。
20世纪70年代，村里来了一些上山下乡的上海知青，很多人手中有一套《青年自学丛书》，内容比课本丰富，难度也稍微大些。我觉得有趣，便从知青手里借来读，通过这种方式，自学了高中数学。
由于自学知识体系结构完全是随机的，这样带来了两个好处。一个是很早我就意识到学习数学要建立在独立思考的基础上，另一个是学会了融会贯通。从此，我开始享受做数学题目的过程，经常坐在那里慢慢地思考、重新规划，把一个非常复杂的问题简化成一个个很小的问题，再逐一求证。
由于兴趣使然，从中学起，我几乎把所有的精力都放在数学学习上。到了高中阶段，我通过自学开始接触到数学分析、微积分、抽象代数等大学数学知识，数学方面的知识结构已经远超同侪了。
不成想考大学时，由于阴差阳错考试失误，1980年，我被录取到中山大学化学系。在化学系读了半个学期，我始终割舍不下对数学的挚爱，提出转学到数学系。这并不被所有人理解，当时国家经济开始腾飞，和国民经济联系紧密的应用学科更有前途，怎么会去追求枯燥、单调的数学？好在学校很开明，同意我转系。由此，我开始了数学专业的学习。
访：您曾经说过，从大学已经开始了对数论的研究，而这几乎是您学术研究的一条主线，是不是大学时代已经确立了今后的学术方向？
张：应该说大学时代，我对自己未来的学术方向还是相当模糊的。对数论产生浓厚兴趣，源于对求证哥德巴赫猜想的了解。转入数学系，随着学习和研究的深入，思路逐渐清晰，对数论的研究也更为痴迷，成为了我今后多年一个主要的研究内容。
陈景润6(1933—1996)先生完成哥德巴赫猜想“1 2”的详细证明之后，在国内媒体得到广泛宣传，深深地影响了我们这一代人。当时我还在上中学，便找来陈景润的《初等数论》7学习。这使我深受震动，发现数学上竟可以主动提出猜想、进而求证猜想，而不是仅仅被动、枯燥地完成书本题目的演算和解答，这帮助我完成了学习动机从被动解题到主动求证的转变，建立起自己的知识体系。
大学期间，我读了华罗庚8(1910-1985)的《数论导引》9和潘承洞10(1934—1997)、潘承彪11(1938一)合写的《哥德巴赫猜想》12，还曾受到美国伊利诺伊大学的一位数学教授的点拨，除了加深对数论的理解，经过深入思考，隐约感觉到解析数论已经很难对哥德巴赫猜想做进一步的推广。
我认为在数学领域，如果说微积分是19世纪一个重要的革命，李群和代数拓扑应该是20世纪的重要突破。而用代数几何方法研究数论，更具宽度，与其他数学领域联系更多，也更接近于中心数学。这也是我喜欢研究代数的原因。
大学三年级，我完成本科阶段学习，准备报考研究生。对于专业方向的选择很纠结，去北京大学跟马希文13(1939—2000)教授学计算机，或者到复旦大学跟许永华教授读代数，都曾是我的考虑。最后，出于对国家最高科研机构的向往，对一众老数学家卓越成就的景仰，还是报考了中科院数学所。1983年，我进入中科院数学所读研究生，这时导师和专业方向都还没有确定。
访：中科院数学所是您在国内求学的最后一站，您怎么评价在这里的学习？张：中科院数学所的教学理念和模式，在当时非常先进、科学，我侥幸受到国内最好的数学教育。
研究生第一年不分专业方向，所有学生统一安排在玉泉路学习基础课。中科院数学所组织了很强的教学师资力量承担教学任务，特别是在代数和数论方向，由刘木兰14教授K理论，冯绪宁15教授交换代数，胥鸣伟16教授代数几何，于坤瑞17教授代数。即使在今天，一般的大学也很难开出这样的课程。
研究生院和数学所的学术活动很丰富，我印象最深刻的有3次报告，对我一生的学术研究都有影响。刚入学，研究生院就请来北京大学的丁石孙18(1927—2019)教授做椭圆曲线的报告。然后是我在数学所内参加的两次报告。
一次是由陈景润先生主持，吴文俊19(1919-2017)先生报告中国的数学史与机器证明。之前在大学里基本上都是从课本上学知识，现在能与大数学家直接谋面，我自是非常兴奋。听吴先生娓娓道来自己的研究成果，把枯燥、繁复的理论讲活了，远不像书上只有对错之分的简单刻板，让我感触非常深。可见，同样的数学理论，理解深度不同，会得出完全不同的解读。就像一曲音乐，由造诣不同的音乐家奏出，听众的感受是不一样的。我得出结论，今后学习数学，一定要求教高人，而不能仅跟课本学。
另一次是王元院士介绍哥德巴赫猜想。在报告中，元老介绍了德国青年数学家法尔廷斯(Gerd Faltings，1954一)20对莫德尔猜想(Mordell conjecture)的证明，他评价定理证明得非常漂亮，同时谦逊地谈到：除了前言，其他部分自己都看不懂。这是我第一次听到法尔廷斯的名字，激起了我无限的兴趣，也坚定了自己用代数方法研究数论的决心。[4]随后，我找到元老说：“我要跟您学数论，就读这篇文章21，如果3年之内看懂这篇文章，就给我一个学位。”元老同意：“只要读懂这篇文章，就给你一个硕士学位。”这是我师从元老的开始。
3年之后，尽管我学成哈特肖恩(Robin Hartshorne)22所著代数几何的标准教材Alge-braic geometry，但还是无法读懂法尔廷斯的论文，毕业时只能硬着头皮拼凑了一篇论文。答辩完后，元老的结论很有趣“你讲的东西我们一个字也听不懂，但考虑到你每天8点之前就到办公室，很用功，这个硕士学位就送给你了，以后要靠真才实学才行。”
元老对自己学生的了解，开放开明的治学态度，处处体现出长者的关爱。访：读研究生的时候，除了埋头苦读，还有没有其他有趣的事情发生？
张：在数学所读书的时候，我们这些年轻学生充满激情，有很强烈的责任感。既然承认中国数学在国际上处于很落后的位置，我们便立志要做出一番事业，在自己的手中把中国数学提升到20世纪领先水平。
因为羡慕布尔巴基(Bourbaki)23对当代数学和法国数学事业做出的贡献，我们希望成为中国的布尔巴基。几位同学，包括现在清华经管学院的院长白重恩，一起商量好，去圆明园举行一个仪式，买了一瓶二锅头和一只烧鸡，郑重宣誓，要构造新的中国数学。
东西吃完了，回来马上找来大量布尔巴基的论著开始研读。我们中间多数人是学分析的，便从分析开始入手。结果讨论了一星期之后，发现完全进行不下去。
中国数学的基础过于薄弱，长期以来只能跟在别人后面，做些无关紧要的非主流工作，光靠年轻人的热情，不可能做出实质性的推动。我从那时就常常在思考，什么时候能做中国人自己的数学？
访：研究生毕业，您就负笈海外求学了。
张：这要感谢国家扩大国际学术交流的基本国策。
1985年，哥德费尔德(Dorian Morris Goldfeld，1947一)24来数学所访问，元老安排我全程陪同，由此结缘。研究生毕业以后，在元老和哥德费尔德的鼎力支持下，1986年9月，我来到美国哥伦比亚大学攻读博士学位，成为哥德费尔德的学生。期间机缘巧合，又分别受教于施皮罗(Lucien Szpiro，1941—2020)25与法尔廷斯，获益匪浅。1991年拿到博士学位以后，留在美国执教至今。
2、 师恩重如山
访：您曾经说过，在中科院数学所受到最好的教育，其中元老起了很重要的作用，是您开启学术之路的第一位导师。
张：我认为元老是国内集大成的数学家，把数学的最精华的部分发挥到了极致，在数论、分析和统计方面都做出了突出的贡献。元老做学问非常大气、开明，胸襟豁达、毫无门户之见。同时，元老又很注重细节，他说完成一个成果的时候，一定已经写出完整的推理过程。这是值得我学习的地方。
元老在学术上对我影响很大，指导我的过程中，更多的是“授人以渔”，既有思路的点拨，也会有研究方法的建议。他并没有因为研究方向的不同，强迫我延续他自己造诣精深的老路，乐于看到我用另一种工具闯出数论研究新的天地。
元老曾经说过，研究解析数论至少要“面壁”五年，一般要“面壁”十年，也就是说要读大量的书，有多年的基础理论准备。我想，自己不是一个坐得住的人，面壁十分钟已经很难受了，所以做不了解析数论。
师从元老的时候，我已经下决心学习数论，但是不想在解析数论方向发展。我有个优点，能够在不同的学科，比如分析、代数、几何之间融会贯通，这是我喜欢代数数论的一个原因。最初我有些纠结，甚至考虑是不是到外地跟随代数数论的专家学习。为此，我征求元老意见，元老却说，要对自己有信心，既然选定方向，只要努力就会有收获；换了环境并不一定是好事，数学所会给你足够的空间。我按照元老的“旨意”，留在数学所学习，终有所成。
研究生二年级的时候，我从玉泉路回到数学所数论组，在办公室用的是陈景润的桌子，此时陈景润已经住院。元老正任数学所所长，事务冗繁，但每天大概下午四、五点钟的时候，会到我办公室谈上1-2个小时。
元老是解析数论的高手，对数学的理解很深刻，但我们的谈话很少涉及真正的数学核心学术问题。每天的话题都不一样，他会聊对数学家的看法，怎么才能成为有创造性的数学家，比如他特别崇拜施密特(W.M. Schmidt，1964-)26和赫克(E. Hecke 1887—1947)27。他会聊数学应该怎么做，探讨科学的研究方法。
元老一聊起数学，眼睛会发光，一展数学生动的一面，让你不由自主地喜欢上数学。尽管我们的话题海阔天空，他的教诲也貌似琐碎、唠叨，但无时不体现出一个长者对青年学生费尽心力的提携。我经常听得入迷，恍惚间，仿佛觉得像是一对父子在闲叙家常。
我快毕业的时候，准备去美国继续深造，意外的把申请资料全部搞丢了。当时元老正在美国访问，住在哥德费尔德家里。得知此事，两位数学家亲自把我的申请资料重新整理一遍，哥德费尔德负责打印，元老写推荐信。在推荐信中，元老称我是他最好的学生。我一直以为，元老对我不甚了解，因为除了聊天，他很少过问我的研究内容和进展，怎么就成了最好的学生？我后来问起这事，元老决然回答，我觉得最好就是最好了。一现大师的气势。
后来，我同时被哥伦比亚大学和布兰迪斯大学录取。布兰迪斯大学录取我的人是艾森伯得(David Eisenbud)，他现在是加州大学伯克利分校MSRI28的负责人，一位代数几何学家。学习法尔廷斯文章受到的挫折，让我先接受了布兰迪斯，想跟艾森伯得学习代数几何，然后再自学数论。元老知道以后大发雷霆，让我不要轻言放弃。这是我第一次见到元老发火，吓了一跳，赶紧把布兰迪斯退了，然后接受哥伦比亚。现在我发现他的意见完全正确，数论毕竟是我的兴趣所在，代数几何只是我研究数论的工具。
研究生毕业时，元老来给我们这届学生训话。他提醒我们，第一点，你们到国外要好好读书，学成之后可以回来，国家需要你们；学业不成功就不要回来，国外生活条件毕竟好一些。第二点，在国外不要把时间浪费在做助教赚钱上，一定要好好做学问。元老的看法那么前瞻，把人性理解得如此深刻，在我所见到的数学家中是独一无二的。
我想，作为一位纯粹的数学家、一位育人的导师，元老大概是做到了极致。访：您曾经说过数学分很多种，什么样的人做什么样的数学。比如您曾经评价过法尔廷斯是力量型的，说他做数学碰到一座山，不会抄近路走，而是用推土机或者是炸药把它炸掉，这个评价我们觉得很有意思。想问问您，您觉得元老属于哪一种类型的数学家？
张：按说我没有资格去评价元老的学术贡献，既然谈到这里，我就事论事谈下我的看法。
应该说元老天资异禀，而且很幸运地受到当时国内最好的数学教育。在浙江大学读书的时候，恰逢陈建功29(1893—1971)、苏步青30(1902—2008)在浙大教书。来到初创的中科院数学所，又成为华罗庚的学生。良好的教育背景，加上本人的勤奋，使元老很快掌握了华老的数学精髓，用最精巧的方式，立竿见影去解决问题。最终，元老成为华老数学思想和数学工作最重要的继承人，成为中国数学界不可替代的人物。
元老思维敏捷，特别善于捕捉别人不以为意的机会。20世纪50年代，通过一次与来华访问的波兰数学家交流31，他感觉到“筛法”可能成为证明哥德巴赫猜想的有效途径。经过一番废寝忘食的攻关，二十几岁就完成了从证明“3 4”到证明“2 3”的突破，铸就了一代解析数论大师的地位。
元老没有裹足于解析数论一个领域，把自己的精力全部投于斯，他善于学习，善于接受新知识，加上理论功底深厚，又在不同方向上做出创新。元老曾经说过，如果不去关注、学习前沿的新东西，那名气再大也一钱不值。当他觉得自己在数论方向再难有突破时，又转攻数值分析，和华老合作的“华-王方法”是数值积分方面的重要成果。元老对数论工具的运用非常到位，后来他发现可以用数论去做统计，便在这方面做出很好的成果。我隐约知道他用数论方法解决近似分析，已经应用到华尔街一些金融分析模型上。
法尔廷斯跟中国的数学家很不一样。他中学时候就被发现是个神童，后来受过正规的代数几何，就是交换代数的训练，掌握到最先进的研究工具。在把莫德尔猜想作为主攻方向后，国外良好的学术环境和学术资源给他提供了足够的弹药，使他完成这一数论领域惊人的成果。元老研究广度远超法尔廷斯，法尔廷斯的深度超过元老。
倒是比较元老和陈景润、张益唐32(1955一)的学术经历，是件很有趣的事情。我认为，从研究广度来看，元老胜于陈景润，陈景润胜于张益唐。从研究深度的角度，张益唐比陈景润深，陈景润的工作也要比元老的工作深刻。从取得成果的年龄来看，元老青年成名，陈景润是中年成名，张益唐是老年成名。三个人很有比对性。
陈景润把“筛法”用到极致，不眠不休，达到最接近证明哥德巴赫猜想的高度。张益唐花30年时间，把孪生素数从60级推演到2级，这有点等机会的感觉。这种事放在元老身上绝对不可想象，善于主动寻找机会，适时调整研究方向是元老的学术风格。
元老最大的特点是能够审时度势，抓住重点，在适当的时间选择正确的研究方向，这既出于对自己的正确估计，也出于对科学形势的准确判断。他的工作更多是奠基性的，目的是为后人探路。因此，很难界定元老是技巧型的还是力量型的数学家，或者是两者兼有。
访：陈景润先生证明哥德巴赫猜想的成果，是中国人引以为傲的数学成就。您很早就发现解析数论的方法很难对哥德巴赫猜想做进一步的推广，能不能跟我们谈一下您对哥德巴赫猜想的看法？
张：哥德巴赫猜想，可以用公式表达为P Q=2N，这是一个方程和两个变量。陈景润把公式改进为P Q1·Q2=2N，成为一个方程和三个变量。陈景润的方法，在当时几位数论大家，包括邦别里(Enrico Bombieri 1940一)33、塞尔伯格(Atle Selberg 1917—2007)34和元老都没看出来。他凭借对“筛法”的优化，经过几十年如一日的演算，独自完成了“1 2”的证明。
从概率的角度来看，求解两个变量相比求解三个变量，本质完全不同，难度级别的变化很难用数字表达。尽管陈景润的工作把哥德巴赫猜想的证明向前推进一大步，更加接近证明，但毕竟还未完全求证。而且，陈景润已经把解析数论的方法用到极致，这里不排除有一些运气的成分，如果再沿着这条路走下去，我觉得很难再有突破。
在对哥德巴赫猜想的研究过程中，元老是不可或缺的人物。正是他引入“筛法”，获得最初的突破，才有后来陈景润、潘承洞的成果。陈景润完成论文之后，由元老负责审稿，第一个做出了证明正确的结论。随后，又帮助陈景润改进证明，得到国际上的承认。没有元老的工作，很难想象中国在哥德巴赫猜想研究上取得的成就。
陈景润先生是一位很了不起的数学家，但是带学生并不是他擅长的项目。元老则更为全面，在他的带动下，我们这些学习数论的学生才能做到了薪火相传。
访：在您的谈话中，充满了对元老的敬意。在您们的交往中，除了学术研究，还有什么故事可以分享？
张：不是特别多。
元老为人非常真诚、真实，也非常有趣，一点大数学家的架子都没有。遇事通常直抒胸臆，很少掩饰自己的好恶。
刚跟元老读书的时候曾经有一个小误会。我有个师兄叫董平平，出身军人家庭，每天都穿着旧军装去办公室。而我家里很穷，从广州过来念书，只带了一件花格子衬衫。晚上睡觉前就把它洗了，第二天干了接着穿。
元老看见我每天穿着花格子衬衫出入，感觉很别扭。他直接问我，你怎么老穿花衬衫？花里胡哨的；你看人家董平平多好，每天穿军装多朴实。我只能向元老解释，您不了解情况，我只有这一件花衬衫，没得换；董平平家里有的是军装，我哪能比？元老这才恍然，也就释然了。
毕业以后，每次我回国的时候，都会拜会元老。元老便招待我吃饭，要么川菜、要么俄餐，清华南门外有家川菜馆子味道很好，可惜名字我忘掉了。元老对美食有他的爱好，喜欢吃肉，尤其喜欢吃肥肉，这点我们有共同语言。他为人简单，席间多是聊以前的往事。我有时会提些尖锐的问题，他总是会尽量解答。
受哥哥的影响，我从小喜欢书法。小时候，哥哥是村里唯一的高中生，字又写得好，每年春节，村里百十户人家都会到我家讨对联。人太多，写不过来，哥哥就让我帮忙。大门对联由他写，剩下屋里、香炉上的帖子，都是我来写，大家也分辨不出差别。从那时起，我对书法就格外有兴趣。
元老的文采很好，我反复读过他写的《华罗庚》。晚年，元老开始迷恋书法，曾向欧阳中石求教，临摹名家书法很有心得。因为爱好相同，每次见面，都会看元老写字，共同切磋一番。
3、 桃李不言，下自成蹊
访：丘成桐35(1949-)先生曾经说过：“带学生，张寿武是欧美数学家中出类拔萃的”。[6]您指导过的学生，像田野36、张伟37、刘一峰38、袁新意39等多人已经成长为知名学者，很想听听您在培养学生方面的经验和体会。
张：指导学生方面我深受元老的影响。首先，只有培养出优秀的学生，才能真正实现数学事业的传承。另外，要秉持开明、大气的格局，为他们找到正确的方向，而不必一定走导师的老路。
从小学到中学，甚至到大学本科的基础教育阶段，数学学习通常给人留下一个印象，衡量学习效果的标准是能否做对题目，数学貌似一门判定对错的学问。一旦选择从事数学学术研究，其实对、错并没那么重要，而更为重要的是选择好的研究方向，这将决定今后工作的高度和成果的大小。
我指导学生的时候，不是考虑学生自身学术能力能完成什么样的课题，而是鼓励他们思考和讨论，帮助他们找到自己喜欢的方向、做更有价值的工作。为了做到这点，尽管对自己曾经的辉煌还算满意，我还是时刻关注、搜集数学领域的最新进展，尤其是在不熟悉的方向，在课题选择上备足功课。
我会定期组织学生讨论，在黑板上列出课题option1(选项一)、option 2(选项二)，介绍每个选项的风险和回报；应该做什么样的数学；哪些课题可能做得出来；哪些课题可能做不出来，而如果做出来，就可以成名成家。总之，我会毫无保留地展示我的观点。有意思的是，优秀的学生都选择最有风险的题目，而且不考虑回报。
然后，我要花很多时间和学生泡在一起，实实在在地盯着他们，了解、关注他们的进展。大部分课题不是我熟悉的领域，甚至是我道听途说来的题目，当学生独立完成之后，而我完全搞不懂，由学生把他的工作讲给我听，这对我促进非常大，也是我喜见的效果。学生到我办公室讨论问题，发生争论，最后发现学生是对的、我是错的，甚至学生由此怀疑老师的水平，这是我最高兴的时候，也是我最欣赏的学生，说明学生成长了。反之，如果学生做不出题目过来求教，对我的解答不知所以然，只是一味唯唯诺诺，我肯定要打差评。
我这种培养方式看上去风险很大，事实上大部分学生都很成功。这点我自己也感同身受，年轻时候，感觉到自己在解析数论方向不会有更大进展，便冒险选择费马大定理作为研究方向。结果我也没有求证出来，1994年是由怀尔斯(Andrew Wiles，1953-)40完成证明。虽然没能成功，但这次冒险还是有意义的，费马大定理的涉及面更宽，跟数学的其他方向联系更多，使我在代数数论方面的工作收益良多。所以，鼓励学生敢于冒险，是取得重要成果的前提。元老曾经说过，放手让学生自己去讨论，让学生去冒险，不用太担心学生的前途。我觉得如果他连冒险都不敢，跑来学数学有什么意思？
中国学生的做题能力，对书本知识的掌握程度，远远超过欧美学生。但中国学生最缺乏的是对数学的思考和判断力，这方面他们没有经验，国内老师很少提供讨论的机会。国内老师培养学生的时候，受体制的影响，更看重回报，所以经常选择风险较低的题目，尽量少犯错误。他们认为，理想情况下，待到学生学成的时候，自然会选择风险比较高的题目。其实截然相反，学生成熟的时候，惯性使然，会选择更没有风险的题目。长期恶性循环下来，最后的结果就是学术上变得很平庸。
我相信我不是最出色的老师，但我在哥伦比亚大学和普林斯顿大学培养的学生都是最杰出的。除了我愿意付出比较多的精力与学生共同成长，还有一个很重要的原因，我的学生自身很优秀，每年我都会在美国或者中国，按照我的标准遴选出令我满意的学生。学生们也都知道，选我做导师非常不容易。所以，我不是把一个差学生变成好学生，而是把一个好学生变成一个更出色的学生。
访：我们对您选拔学生的标准很感兴趣，希望能为优秀学子提供一个参考。张：我挑选学生会下很多功夫，成绩是个很重要的参考，但我更看重学生的学术能力和性格。
在收到申请以后，对于推荐信我都要认真核实。我会直接给推荐人打电话，请他逐条说明学生的学术能力，做出评价结论的依据，对学生的真实情况做全面了解。
通常美国学生的推荐信稍微生动一些，很多中国学生的推荐信就显得平淡、刻板，所以挑选中国学生更费心思。这和民族性格有关，也和实际情况有关。中国大学都是三十几个人的大班，老师和学生的沟通很少，相互间也不熟悉。造成出现有的学生自己写推荐信，然后请老师签字的情况。遇到这种情况，我的做法是直接把申请丢到垃圾桶里。学生最起码应该做到诚信，敢于承担责任。
在学术能力上，我要求学生要掌握两个以上专业方向。比如，既要懂代数几何，又要懂调和分析。这样很容易做到融会贯通，把两个工具相互借鉴，找到更好的研究方法。
学业之外我很关注学生的性格，只有真正热爱数学才有可能成为优秀的数学家。元老写《华罗庚》的时候，把华罗庚写成一个无所不能的大数学家。我就问元老，华老有什么数学思想？元老想了半天，他说华老没有什么数学思想，就是做题。我不相信华罗庚没有数学思想，但在当时中国科学事业积贫积弱的历史条件下，他做的很多研究，只是为了证明在国际舞台上中国人已经有了一席之地，这难免有些功利，偏离了数学研究的本意。我希望我的学生学习数学，更多是从兴趣出发，源自对这门科学由衷的热爱，而不单纯考虑名利，这会少很多羁绊。
思维模式也很重要。思路活跃、甚至跳跃的学生，通常创造能力很强，敢于冒险，这是学术创新的基础。我最近招收的邱聪灵，美国数学家齐夫(Mike Zieve)41在给他的推荐信中说，邱聪灵很活跃，要么是个疯子，要么是个天才，他写东西很快，我也不知道是怎么做出来的，也不知道真懂假懂，反正感觉结果正确。我又问杨同海42(1963一)，也说邱聪灵跟张伟一样的聪明。这种学生我肯定会接收，未来很可能是一个很有意思的数学家。
至于学生在学校的学习成绩，我会参考，但不是最重要的。即便是清华、北大、中科大这些名校的第一名，我也不是一定招收。招收张伟的时候，他在北大排名第九名，但田青春43说张伟的思维是跳跃式的，你刚跟他讲到这里，他的思路却早跑到别处去了。对于这样的学生，我就很感兴趣。
对于思路跳跃的学生，有人会评价“眼高手低”，我深不以为然。应该没有所谓的眼高手低，只是他对这个方向不感兴趣或者是锻炼比较少的缘故。比如，开汽车肯定比骑自行车要快，如果你只是技术方面差一点，但是有潜力也愿意努力工作，在我这里完全可以提供更高级的工具来实现你的抱负。
所以，有国外的数学家打电话，有北大的学生提出申请，问我的建议。我就回答，北大前20名学业都不错。因为能考进北大的学生，学业肯定不会差，但要挑到特别优秀的学生，还是要跟推荐人联系，对学生的情况了解足够清楚才行。
4、 做中国人自己的数学
访：您虽然身处国外，但是不忘初心，以提升中国数学水平为己任，为中国数学事业的发展做了大量的工作。2019年，您主持的中国科学院数学与系统科学研究院“代数与数论”暑期学校非常成功，通过这期暑期学校，我们想知道您对当下国内数学教育现状的观感。
张：中国数学有很大潜力，我对中国的数学抱着极大的希望。
这期暑期学校名义上是“代数与数论”方向，实际上主要教授表示论、代数几何与数论。代数领域很宽泛，包括代数几何、代数数论和表示论。按照我在国外的经验，这个领域是数学中最难的部分，上年度(2018年)4位菲尔茨奖得主，有3位是数论和代数几何学家，其难度和研究热度可见一斑。暑校招生的对象主要是本科二、三年级的学生。开班之前，我估计国内不会选出很多合格学生进入暑期学校，挑选三四十个人应该都很困难。
可是我错了。原计划招收40人，最初采用开卷考试自测的模式，结果300人报考，有一半考生成绩几乎是满分。吃惊之余，又在这部分考生中间组织复试，进行闭卷考试，又有六十几个人通过了复试。
为了招收到合格的学生，学生都是经过统一考试、凭自身能力进入暑校。没有采用学校推荐的模式，只由任课老师提供一个鉴定，保证学生的性格没有问题。注册的六十几名学生中，北大、清华、国科大，中科大和复旦5个学校学生考得特别好，也有个别名校学生考的不理想。令人高兴的是，传统上数学专业并不突出的学校，像西安交大、大连理工也有学生被录取。后来和同学们沟通，有的学校甚至没有代数方向的教授，完全是凭个人兴趣，努力自学的结果。这也印证了元老曾经说过的话：人才不是刻意培养出来的，人才是干出来的。
第一天上课更为惊人，课堂里居然坐了二百多人。除了注册的学生，还有硕士生、博士生、青年教师，甚至有五年级的小学生、初中生，由大人带着来上课。其中有很多外地同学，赶到北京租房子参加学习。学生人数太多，我们只能大班上课，小班作业。上课时，二百多人在一间大教室听课。下课后，注册学生五六个人一组，组织讨论班，其他学生由助教悉心辅导。
在一个月的时间里，学生们从早到晚用功，几乎没有任何休息时间，有一百多人坚持完成了全部课程的学习。其中有的小孩生病了，仍坚持听课，最后只能被抬到医院。尤为可贵的是，同学们自始至终保持着高涨的学习热情。
这期学校包括我，一共4位教师，师资水平让人称道。田一超44、田野就像两个魔术师，他们在黑板上画出很多定理，翻手间一一得到求证。再看薛航45的讲义，是标准的网红段子手，用最喜闻的语言道出枯燥的理论[7-10]。我自己则受大家热情的激发，在黑板上一本正经妄说起哲学。助教们也非常辛苦，每天从下午一点半直到晚上睡觉之前，全部时间和学生在一起、辅导作业，并不在乎报酬的寥寥，按规定他们一个月只能拿到3000块。
国内师生的专业水平、对数学的热爱让我感触很深。
访：有没有哪方面不尽人意或者遗憾的地方？
张：这期暑校盛况空前，让我对中国的数学有了新的认识，但也有一丝隐忧，这就是教育资源的不平衡。当今中国，不缺好学生，也不缺好的师资，但是在资源的组织和分配上还有很多工作可以做。我回国组织暑校，是希望建立一种新的教学、交流模式，能够让优秀的学生具备国际视野，掌握最先进的工具，这种模式国内没有，国外也不多见。
参加暑校学生的踊跃和人数众多，在美国是不可想象的。这不仅与对数学的热爱程度有关，而且因为美国很多学校都有类似的项目，没必要集中于一期趋之若鹜。
北京的学术资源优势明显，有最强大的师资力量，但并不是所有人都有机会赶来北京学习。我觉得很多大学，像中科大、复旦、浙大、南大都有能力组织这样的项目，使资源分配更为均衡、普惠。人才在哪里从来都是不可预测的，当类似学术活动成为常态，形成了良好的环境和氛围，自然会有更多的人才脱颖而出。
我在数学所读书的时候，经常有面对面受教于大数学家的机会，从中我得出一个结论：数学是活的，是人的科学。同样的理论，于大师口中，有完全不同的解读，与书本的刻板、枯燥有天壤之别。长期的学术研究，使知识在这些大师的脑子里像积木一样自由组合。哪些理论更重要，哪些方法最实用，可以信手拈来，让学生一窥数学的精髓。
中科院原本就有大数学家参与到一线教学的传统。当初中科大的“华龙”、“关龙”和“吴龙”46成为一时佳话，培养出了一大批数学人才。我们今天的做法，就是追随前辈数学家的脚步，只不过把招生范围放大到全国。
因此，我期望那些正处在学术巅峰期的数学家，应该多承担从本科生到研究生的具体教学任务，多花时间培养学生。只有他们才知道什么是活的数学，通过把自己的知识和经验系统整理出来，传授给学生，从而培养出最优秀的学生。而不是把过多的时间用在评选院士、申请基金方面，忽略了事业的传承。我也期望主管部门，重视资源调配的优化，在模式上做出更多创新。
访：时至今日，中国数学与国际最先进水平仍有很大差距。在您的眼中，国内有最好的学生、有最好的师资，在这种情况下，如何务实、有效地缩小这种差距，我们想听一下您的想法。
张：缩小与国外的差距，关键在于人才的培养。为了完成高水平人才的培养，我认为必须重新组织数学，构造中国人自己的数学。
华罗庚、王元、陈景润、吴文俊等一批老一代数学家，为提升中国数学事业付出了长期、艰苦的努力，但时至今日，我们与国外的差距仍然明显。其中一个重要的原因，就是我们总是跟在别人后面，重复走别人的老路。中国人在证明哥德巴赫猜想上的突破之所以令世人瞩目，是因为这是世界公认的难题。但哥德巴赫猜想并不是由中国人提出来的，取得的成就只是衡量我们事业发展的一个标志，并不足以代表中国数学水平的高下。要想彻底改变这种局面，就必须做中国人自己的数学，到那时或者也能提出类似的猜想。
讲一个笑话。读研究生的时候，有一个同学喜欢摆弄收音机，他把机器拆散重新组装，经常会发现多出几个零件，而收音机还能正常工作，也不必知道少装的几个零件原本应该放到什么位置。所以，绝对不要迷信所有零件都是必需的，都已经放到了最恰当的位置。数学也是这样，要敢于去重新整理和组合。
对于最优秀的学生，如果完全按照教学大纲学习数学，是时间的浪费，完全没有效率。大纲上的数学是按部就班、默守陈规的数学，就像我们现在的微积分教材已经沿用了近百年、少有变化。大纲只能教你先学好A，然后学B，学好了B再到C。而对有能力的学生，打好A的基础以后，完全可以接受先进的工具，直接从A到D，跳过不必要环节。
最初学习基础数学的时候，由于没有多少工具可选择，就像是用步枪打飞机，只有瞄得很准，力度用得恰到好处，才能解决问题。但如果有一天你有导弹了，打起飞机肯定得心应手多了，不会因为工具简陋而绞尽脑汁。想要国内学生成为跨世纪的人才，担负起提升中国数学的重任，沿用以前的教学模式肯定不行。
如果说微积分是19世纪数学领域的一项重要革命，20世纪数学最精彩的部分应该是李群和代数拓扑。但国内很少有人去总结这些学问，去深入浅出地提炼出来精华，让本科生都能够学得明白。
在这期暑校中，我有个初衷，希望通过几门课的教学，把学生从19世纪快速引领到21世纪数学。这就要关注哪些学问本科生能听得明白，并不是说一定要增加学习量，而是向学生提供更先进的工具。如果在一线做研究的数学家，他们有活用数学工具的能力，都能够把知识和经验重新整理，就有可能帮助本科生从最基本的部分跳跃到最前沿的部分。
如果从本科生开始就有国际视野，掌握到最先进的工具，中国数学的快速提升将指日可待。
访：重新组织数学，这是一个新的命题，您有什么具体计划？
张：我计划从编写教材开始，做好数学的传承。
格罗滕迪克(Alexander Grothendieck，1928-2014)47著的代数几何“圣经”48差不多有21卷之巨，美国数学家哈特肖恩把它浓缩成五百多页49，而我准备编写一部研究生能读的教材，只有150页，可以让学生快速进入代数几何最精彩的部分，比如格罗滕迪克的Rie-mann-Roch定理。这项工作实际上已经开始进行了，正指导一个本科生具体做，本科生编出的教材，本科生肯定能够读懂。我们都知道，格里菲斯(Phillip Griffiths，1938-)50和哈里斯(Joseph D. Harris)的《代数几何原理》51，就是哈里斯做本科生的时候完成的。
数学能够得到传承，是不断简化的过程。历史上创造出来的数学学说不胜枚举，但真正能流传下来的只是很少一部分。勾股定理，每个人都在用，就是因为它被简化成一个方程，初中生都能看懂。所以，数学家一个很重要的任务是简化数学，在繁复的学问中提炼出最简单的道理。
我们身处知识爆炸的年代，每一个研究方向看上去都很深奥、复杂，但是解决问题还是要用那些最基本的原理。我们做研究的时候，不可避免要面对复杂的局面。但我们在传播工作的时候，必须尽量简化，从复杂问题中提炼出学生能接受的道理。我在普林斯顿上一门课，通常只有24学时，要在这么短的时间内，让学生从懵懂到了解现代数学，简化是必然过程，如果开始就不尽其繁，想让学生理解是不可想象的。
我能把格罗滕迪克的巨著简化成百十页的教材，也是时代进步的结果。在他开始做这项工作的时候，很多条件不成熟，需要不断从最基础的部分开始求证。随着代数几何的不断发展，更多定理已经被证明成立，而不用再重复那些求证过程，使简化成为可能。所以，只要有心为之，我认为这是一件非常有趣的工作。
不仅是数学，所有文学、艺术能够流传下来的，应该都是最简单的。
访：非常期待您编写的教材。今天的访谈非常精彩，感谢您抽出宝贵的时间接受我们的访谈！
注释：
1、1986年，Benedict H. Gross和Don B. Zagier提出的公式，发表在数学顶级期刊Imrentiones. Math。
2、斯隆研究奖(Sloan Research Fellowships)于1955年设立，每年颁发一次，旨在支持和奖励处于职业早期阶段的杰出科学家和学者。授予学科领域有：化学、分子生物学、计算机科学、经济学、数学、神经科学、物理学和海洋科学。
3、晨兴数学奖（Morningside Medal of Mathematics)授予45岁以下、在纯数学与应用数学方面有杰出成就的华人数学家，被誉为“华人菲尔兹奖”，是世界华人数学家大会的最高奖项。该奖创立于1998年，每三年颁发一次，奖项包括金奖与银奖。
4、古根海姆奖(Guggenheim Fellowship)设立于1925年，旨在奖励各国在教育、文学、艺术和科学领域做出杰出贡献的个人。
5、中国科学院数学与系统科学研究院是1998年12月由中国科学院的数学研究所、应用数学研究所、系统科学研究所以及计算数学与科学工程计算研究所4个研究所整合而成的研究机构。
6、陈景润，学部委员(院士)，1973年发表了哥德巴赫猜想“1 2”的详细证明。
7、《初等数论I》，北京：科学出版社，1978年。
8、华罗庚，学部委员(院士)、美国国家科学院外籍院士。中国的解析数论、典型群、矩阵几何学、自守函数论与多复变函数等许多领域的创始人与开拓者。
9、《数论导引》，北京：科学出版社，1957年。
10、潘承洞，学部委员(院士)，主要研究方向为数论。
11、潘承彪，主要研究方向为数论。
12、《哥德巴赫猜想》，北京：科学出版社，1981年。
13、马希文，数学家，计算机科学家，语言学家和教育家。
14、刘木兰，中科院数学与系统科学研究院研究员，主要研究方向为信息安全、密码学、计算机代数。
15、冯绪宁，中科院数学与系统科学研究院研究员，主要研究方向为数论、信息通信理论。
16、胥鸣伟，中科院数学与系统科学研究院研究员，主要研究方向为计算机、代数几何。
17、于坤瑞，中科院数学与系统科学研究院研究员，主要研究方向为数论。
18、丁石孙，数学家、教育家和社会活动家。本文中所提讲课时，应为1984年至1988年间。
19、吴文俊，学部委员(院士)，主要研究方向为：拓扑、数学机械化、数学史。
20、法尔廷斯，德国数学家，1983年用代数几何学的方法证明了数论中的莫德尔猜想，1986年获得菲尔兹奖。
21指的是：G.Faltings Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten über Zahlkirpern Inrentiones mathematicae 73(1983)：349-366.
22、哈特肖恩，加利福尼亚大学伯克利分校数学系教授，主要研究方向为代数几何。
23、布尔巴基是20世纪30年代开始，一些法国数学家所组成的数学结构主义团体的笔名。经过两代布尔巴基成员的努力，把代数拓扑学、同调代数、微分拓扑学、微分几何学、多复变量函数论、代数几何学、代数数论、李群和代数群理论、泛函分析等数学领域汇合在一起，形成现代数学的主流，到20世纪五六十年代发展到顶峰。
24、哥德费尔德，哥伦比亚大学教授，主要研究方向是数论。1985年曾获沃恩奖(Vaughn Prize)，1987年获科尔数论奖(Frank Nelson Cole in Number Theory 美国数学会设立的唯一数论奖项)。
25、施皮罗，法国数学家，研究方向为算数代数几何。
26、施密特，当代权威数论学者，在丢番图逼近论和丢番图方程等领域做出重要贡献，特别是将关于代数数有理逼近的Roth定理(荣获1958年菲尔茨奖)扩充到联立逼近的情形，建立了子空间定理，推动了代数数的逼近和丢番图方程等课题的研究。
27、赫克，德国汉堡大学教授，有代数数论大师之称。在自守函数研究方面有重要突破，以Hecke命名的环与算子是自守函数学科中的重要概念。
28、全称是Mathematical Sciences Research Institute，即：数学科学研究所。
29、陈建功，学部委员(院士)，主要研究方向为函数论。
30、苏步青，学部委员(院士)，主要研究方向为微分几何、计算几何。
31、指的是1955年，波兰数学家库拉托斯基来北京访问一事。参见文献[5]。
32、张益唐，美国加州大学圣塔芭芭拉分校教授，2013年在孪生素数猜想上取得了突破性进展，同年获晨兴数学卓越成就奖，2014年获麦克阿瑟天才奖，2016年获求是杰出科学家奖。
33、邦别里，美国普林斯顿高等研究院教授，主要研究方向为数论，1974年获得菲尔兹奖。
34、塞尔伯格，美国普林斯顿高等研究院教授，主要研究方向是解析数论、自守形式，1950年获得菲尔兹奖，1986年获得沃尔夫数学奖。
35、丘成桐，美国国家科学院院士、中国科学院外籍院士，现任美国哈佛大学教授、清华大学教授等，对微分几何和数学物理的发展做出了重要贡献。曾获维布伦几何奖(1981)、菲尔兹奖(1982)、麦克阿瑟奖(1985)、克拉福德奖(1994)、美国国家科学奖(1997)、沃尔夫数学奖(2010)、马塞尔·格罗斯曼奖(2018)等奖项。
36、田野，中科院数学与系统科学研究院研究员，主要研究方向是数论、算术代数几何，获晨兴数学金奖(2013)、拉马努金奖(2013)。
37、张伟，现为美国麻省理工学院教授，主要从事数论、自守形式和算术几何等方面的研究，曾获拉马努金奖(2010)，晨兴数学金奖(2016)。
38、刘一峰，曾任美国耶鲁大学教授，现为浙江大学数学高等研究院教授，研究方向为代数数论、自守形式与代数几何，曾获斯隆研究奖(2017)、拉马努金奖(2018)。
39、袁新意，现为北京大学教授，研究方向为数论和算术几何，是获得美国克雷研究所研究奖(2008)的第一位华人。
40、怀尔斯，牛津大学教授，证明了“费马大定理”，1998年获菲尔兹奖，2016年获诺贝尔奖。
41、齐夫，密西根大学数学系教授，研究方向为：代数、数论、代数几何、动力学系统、离散数学、复杂分析、代数拓扑、理论计算机科学和密码学。
42、杨同海，数论和算术几何学家，现任美国威斯康星大学数学系教授。
43、田青春，北京大学数学系副教授，研究方向为代数几何。
44、田一超，中科院数学与系统科学研究院研究员，主要研究方向是算术代数几何。
45、薛航，主要研究方向是数论。
46、华罗庚、关肇直和吴文俊分别于1958年、1959年和1960年在中国科学技术大学数学系，带一届本科生，而且是从一年级一直带到五年级，3位数学家依各自对数学的理解进行课程内容整体设计，实验“一条龙教学法”，各自带的学生则分别称为“华龙、“关龙”和“吴龙”。
47、格罗滕迪克，现代代数几何的奠基者，被誉为“20世纪最伟大的数学家”。
48、指的是：A. Grothendieck. Eacute; lements de géométrie algebrique，简称EGA。(中译名：代数几何基础)
49、指的是:Robin Hartshorne. Algebraic geometry. Springer 1977.
50、格里菲斯，曾任美国普林斯顿高等研究院院长、国际数学联盟秘书长，主要研究方向是代数几何。
51、即 Phillip Griffiths Joseph Harris. Principles of algebraic geometry. Wiley 2007.
作者简介：杨静，1977年生，河北石家庄人，副教授，主要研究方向为中国现当代数学史，Email:mathyangjing@163.com。魏蕾，1975年生，甘肃天水人，博士生，主要研究方向为现代数学史。赵晶，1986年生，山西原平人，中级馆员，主要研究方向为图书情报、信息管理。
基金项目：王元学术成长资料采集工程(项目编号：CJGC2019-K-Z-BJ02)。
参考文献
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[2] GROSS B ZAGIER D. Heegner points and derivatives of L-series ].Invent. Math. 1986 84:225-320.
[3] ZHANG S. Heights of Heegner cycles and derivatives of L-series [1]. Inrent. Math. 1997 130: 99-152.
[4]易蓉蓉，王丹红.张寿武：一位天才加幸运的数学家].数学通报，2009，48(5)：4-10.
[5]李文林，杨静.我的数学生活——王元访谈录[M].北京：科学出版社，2020:44.
[6]张寿武：我是怎样培养学生的EB/OL].[2019-05-06].https: //www.sohu.com/a/312085727 99896109.
[7]PAN J. Notes of Leetures on algebraie geometry by Shouwu Zhang [EB/O1.].[2019-07-29].htp://www.math.ac.cn/xshd/hyyzt/201902/W020191210557979268803.pdf.
[8] Algebraic numlber theory—summer school notes [EB/O1]. [2019-07-30]. htp://www.math.ac.cnxshdhyyzat/201902/W020191210557979308728.pdf.
[9] TIAN Y. Lecture notes on (Part II)—Summer school [EB/O1]. [2019-08-17]. http: //www.math.ac.cnxshdhyyzt/201902/W020191210557979330691.pdf.
[10]薛航.中国科学院暑假学校讲义：群表示论的一些小知识[EB/OL]. [2019-08-17]. http://
www.math. ac.cnxshdhyyzt/201902/W020191210557979361932.pdf.
