实数的梳理图，实数理论的建立

实数的梳理图，实数理论的建立a=c等价于A=C 前面我们曾经谈到，数量的本质是多与少，与此对应，数的本质是大与小。那么，如何来判断通过划分定义的实数的大小呢？令两个划分A|B和C|D得到的实数分别为a和c，那么，类型1和类型2的成立是显然的，比如，A={a;a≤2 a∈Q}和B={b;2<b b∈Q}；类型3是可能的，比如，集合A为平方小于2的所有有理数，集合B为平方大于2的所有有理数，因为√2是无理数，所以√2既不属于集合A也不属于集合B，这样集合A中就无最大值而集合B中无最小值。 为了说明仅有上述三种类型，还必须说明不会出现“A中有最大值，B中有最小值”的情况。如果A中有最大值，B中也有最小值，令它们分别为a和b，则a和b均为有理数，并且由划分定义知a<b。令c=(1/2)(a b)，应为a<c<b，所以c既不属于A也不属于B，这是不可能的，因为c是有理数，而A和B包括了所有的有理数。 现

戴德金提出利用集合分类的方法来定义实数。定义是从有理数出发的，我们仍然用Q表示有理数的集合。把Q分为上下两个不相交的集合，即没有共同元素的集合。比如说分为集合A和集合B，使得A∪B=Q，并且对任意a∈A和b∈B都有a<b，其中A∪B表示集合A的元素和集合B中的元素，称这样的做法为一个划分，记为A|B。这时可能会出现下面三种类型：

1. A中有最大值，B中无最小值

2. A中无最大值，B中有最小值

3. A中无最大值，B中无最小值

类型1和类型2的成立是显然的，比如，A={a;a≤2 a∈Q}和B={b;2<b b∈Q}；类型3是可能的，比如，集合A为平方小于2的所有有理数，集合B为平方大于2的所有有理数，因为√2是无理数，所以√2既不属于集合A也不属于集合B，这样集合A中就无最大值而集合B中无最小值。

为了说明仅有上述三种类型，还必须说明不会出现“A中有最大值，B中有最小值”的情况。如果A中有最大值，B中也有最小值，令它们分别为a和b，则a和b均为有理数，并且由划分定义知a<b。令c=(1/2)(a b)，应为a<c<b，所以c既不属于A也不属于B，这是不可能的，因为c是有理数，而A和B包括了所有的有理数。

现在我们约定：类型3的划分定义一个无理数，比如我们刚才得到的√2。实数的定义仍然是“有理数与无理数统称为实数”，于是一个划分A|B就代表了一个实数。

前面我们曾经谈到，数量的本质是多与少，与此对应，数的本质是大与小。那么，如何来判断通过划分定义的实数的大小呢？令两个划分A|B和C|D得到的实数分别为a和c，那么，

a=c等价于A=C

a<c等价于A≠C，且A被C包含

a>c等价于A≠C，且C被A包含

现在，我们证明这样一个非常有意义的命题：虽然有理数集合Q被实数集合R包含，但是Q在R中是稠密的。也就是说，对于任意两个实数a和c，如果a≠c，比如说a<c，则必然存在一个有理数r，使得a<r<c。证明如下：由戴德金分割，a<c等价于A被C包含且A≠C，则至少存在一个有理数r∈C但不属于A，因为A和B包含了所有的有理数，于是r∈B。由戴德金分割定义有a<r；再由戴德金分割定义，r∈C意味着r<c，这就证明了命题。

下面我们来讨论实数的连续性，类似对有理数的分割，把R分为上下两个不相交的集合，比如说集合A和集合B，使得A∪B=R并且对任意a∈A和b∈B都有a<b。我们说，现在只能出现下面两种类型：

1. A中有最大值，B中无最小值

2. A中无最大值，B中有最小值

现在我们证明上述类型情况必有一个成立。令A’和B’分别表示被A和B包含的有理数的全体，由A和B的定义有A’∪B’=Q，并且对于任意a∈A’和b∈B’都有a<b。根据戴德金分割，记划分A’|B’产生的实数为γ。因为γ是实数，必然属于A或者B。如果属于A，我们证明γ是A中最大值。用反证法，如果γ不是A中最大值，那么，在A中存在a>γ。由我们刚刚证明了的有理数的稠密性，至少存在一个有理数γ∈A’，使得a>r>γ，这是与戴德金分割矛盾的。用类似的方面可以证明γ属于B的情况。

对于实数的戴德金划分，只能出现上述两种情况就意味着实数是连续的。

与基本序列方法一样，戴德金分割对于计算法则也是没有新意的。同样，戴德金分割也有让人困惑不解的地方。戴德金分割在本质上是一种操作，而在数学上所有的操作都必须是有限步的，我们不可能用无限步的操作去阐述一个命题，比如我们曾经讨论过的古希腊的“划圆为方”的问题，总不能制定一个操作规则，然后说只要按照规则操作下去就能得到所需要的结果。这样，任何一个基于有理数的，步骤有限的操作，原则上只能得到以有理数为系数的方程组的解，即得到代数数。那么，如何用戴德金分割去得到超越数呢？比如我们曾经谈到过的自然对数的底e，这个数是用极限表示的：

e=lim(n→∞)(1 1/n)ⁿ

此外，戴德金分割方法多少给人一种先入为主的感觉：先有一个数存在在那里，然后再制造一个划分来表达这个数。问题是，如何用戴德金分割去发现一个新的数呢？

我们已经能够很好地刻画实数以及实数的运算法则了。因此，也能够建立基于实数理论的数学，特别是分析学方面的一系列理论了。但是，由于好奇心的本性，人们总是要对许多事物刨根问底，比如还希望知道，整数集合Z，有理数集合Q以及实数集合R的元素的个数都是无穷多的，可是在无穷多之间是否还有差异呢？因为集合之间到底是存在包含关系的。