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七年级二元一次方程组知识点:数学七下第二章

七年级二元一次方程组知识点:数学七下第二章②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程.则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便;①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时,可以直接利用代入法求解;要点诠释:(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为:用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式,再代入另一个方程中达到消元的目的.(2)代入消元法的技巧是:


七年级二元一次方程组知识点:数学七下第二章(1)

【知识要点】

要点一、消元法

1.消元思想:二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数,那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程,我们就可以先求出一个未知数,然后再求出另一个未知数. 这种将未知数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想.

2.消元的基本思路:未知数由多变少.

3.消元的基本方法:把二元一次方程组转化为一元一次方程.

要点二、代入消元法

通过“代入”消去一个未知数,将方程组转化为一元一次方程,这种解法叫做代入消元法,简称代入法.

要点诠释:

(1)代入消元法的关键是先把系数较简单的方程变形为:用含一个未知数的式子表示另一个未知数的形式,再代入另一个方程中达到消元的目的.

(2)代入消元法的技巧是:

①当方程组中含有一个未知数表示另一个未知数的代数式时,可以直接利用代入法求解;

②若方程组中有未知数的系数为1(或-1)的方程.则选择系数为1(或-1)的方程进行变形比较简便;

③若方程组中所有方程里的未知数的系数都不是1或-1,选系数绝对值较小的方程变形比较简便.

要点三、加减消元法解二元一次方程组

两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法,简称加减法.

要点诠释:用加减消元法解二元一次方程组的一般步骤:

(1)方程组的两个方程中,如果同一个未知数的系数既不互为相反数,又不相等,那么就用适当的数乘方程的两边,使同一个未知数的系数互为相反数或相等;

(2)把两个方程的两边分别相加或相减,消去一个未知数,得到一个一元一次方程;

(3)解这个一元一次方程,求得一个未知数的值;

(4)将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中,求出另一个未知数的值,并把求得的两个未知数的值用“大括号”联立起来,就是方程组的解.

【典型例题】

类型一、用代入法解二元一次方程组

【例1】用代入法解方程组:

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.

【思路点拨】直接将上面的式子代入下面的式子,化简整理即可.

【答案与解析】

解:

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将①代入②得:

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去括号,移项,合并,系数化1得:

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把④代入①得:

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∴ 原方程组的解为:

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【总结升华】当方程组中出现一个未知量代替另一个未知量的方程时,一般用直接代入法解方程组.

举一反三:

【变式】若方程y=1-x的解也是方程3x+2y=5的解,则x=____,y=____.

【答案】3,﹣2.

【例2】用代入法解二元一次方程组:

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【思路点拨】观察两个方程的系数特点,可以发现方程②中x的系数为1,所以把方程②中的x用y来表示,再代入①中即可.

【答案与解析】

解:由②得x=5-y ③

将③代入①得5(5-y)-2y-4=0,

解得:y=3,把y=3代入③,得x=5-y=5-3=2

所以原方程组的解为

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【总结升华】代入法是解二元一次方程组的一种重要方法,也是同学们最先学习到的解二元一次方程组的方法,用代入法解二元一次方程组的步骤可概括为:一“变”、二“消”、三“解”、四“代”、五“写”.

举一反三:

【变式1】与方程组

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有完全相同的解的是( )

A.x y-2=0

B.x 2y=0

C.(x y-2)(x 2y)=0

D.

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【答案】D

【变式2】若∣x-2y+1∣+(x+y-5)2=0,则 x= , y= .

【答案】3 2

类型二、由解确定方程组中的相关量

【例3】方程组

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的解

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的值相等,则

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的值是 .

【思路点拨】将

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代入上式,可得

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的值,再代入下面的方程可得

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值.

【答案】1

【解析】

解:

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代入②得

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,再代入①得

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.

【总结升华】一般地,先将k看作常数,解关于x,y的二元一次方程组再令x=m或y=m,得到关于m的方程,解方程即可.

举一反三:

【变式】若方程组

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的解x与y相等,求k.

【答案】将

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代入上式得

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,再代入下式得

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.

【例4】若方程组

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的解为

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,试求

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的值.

【答案与解析】

解:将

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代入得

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,即

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解得

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.

【总结升华】将已知解代入原方程组得关于

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的方程组,再解关于

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方程组得

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的值.

类型三、加减法解二元一次方程组

【例5】直接加减:(芜湖)解方程组

七年级二元一次方程组知识点:数学七下第二章(36)

【思路点拨】注意到方程组中y的系数互为相反数,可将两个方程直接相加即可消元.

【答案与解析】

解:① ②,得6x=18,解得x=3.

将x=3代入②,得4×3-3y=11,解得

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所以原方程组的解为

七年级二元一次方程组知识点:数学七下第二章(38)

【总结升华】如果两个方程中某个未知数的系数的绝对值相等,可将两个方程直接相加或相减,即可消去这个未知数.

【例6】先变系数后加减:

七年级二元一次方程组知识点:数学七下第二章(39)

【思路点拨】注意到方程组中x的系数成2倍关系,可将方程①的两边同乘2,使两个方程中x的系数相等,然后再相减消元.

【答案与解析】

解:②-①×2,得13y=65.解得y=5.

将y=5代入①,得2x-5×5=-21,解得x=2.

所以原方程组的解为

七年级二元一次方程组知识点:数学七下第二章(40)

【总结升华】如果两个方程中未知数的系数的绝对值不相等,但某一未知数的系数成整数倍,可将一个方程的系数进行变化,使这个未知数的系数的绝对值相等.

举一反三:

【变式】解方程组:

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【答案】

解: (1)×3:6x 15y=21 (3)

(2)×2:6x 4y=10 (4)

(3)-(4):11y=11

y=1

代入(1):2x 5=7

2x=2

x=1

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【例7】建立新方程组后巧加减:解方程组

七年级二元一次方程组知识点:数学七下第二章(43)

【思路点拨】注意到两个方程中两个未知数的系数的和相等、差互为相反数,所以可将两个方程分别相加、相减,从而得到一个较简单的二元一次方程组.

【答案与解析】

解:① ②,得7x 7y=7,整理得x y=1. ③

②-①,得3x-3y=-15,整理得x-y=-5. ④

解由③、④组成的方程组

七年级二元一次方程组知识点:数学七下第二章(44)

得原方程组的解为

七年级二元一次方程组知识点:数学七下第二章(45)

【总结升华】解方程组时,我们应根据方程组中未知数的系数的特点,通过将两个方程相加或相减,把原方程组转化为更简单的方程组来解.

【例8】先化简再加减:解方程组

七年级二元一次方程组知识点:数学七下第二章(46)

【思路点拨】方程组中未知数的系数是分数或小数,一般要先化成整数后再消元.

【答案与解析】

解:①×10,②×6,得

七年级二元一次方程组知识点:数学七下第二章(47)

③×3-④,得11y=33,解得y=3.

将y=3代入③,解得x=4.

所以原方程组的解为

七年级二元一次方程组知识点:数学七下第二章(48)

【总结升华】当二元一次方程组的形式比较复杂时,通常是先通过变形(如去分母、去括号等),将它化为形式简单的方程组,再消元求解.

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