微积分知识结构图，微积分发展史13:微积分基本定理

微积分知识结构图，微积分发展史13:微积分基本定理F(1)-F(0)就是曲线在0到1之间围成的面积，我们这样得到的结果是1/3，跟我们原来用矩形逼近计算的结果一模一样，惊不惊喜，意不意外？但是它明显比原来的方法简单太多太多太多了，简单到一个中学生都能轻而易举地算出来，这才是微积分的真正力量。对，你没看错，这样就完了。有了f(x)=x²的原函数F(x)以后，怎么去求f(x)和x轴在0到1区间里围成的面积呢？前面已经分析了，原函数具有积分的效果，而积分就是曲线围成的面积，所以原函数也可以表示曲线围成的面积（为了方便理解，这里我们先不考虑常数c的影响，反正函数相减的时候常数c会抵消掉）。因此，我们要求f(x)与x轴在0到1区间内围成的面积，直接用这个代表面积的原函数F(x)在1处的值F(1)减去在0处的值F(0)就完了：

上一文提到牛顿莱布尼兹发现了积分和微分是一对互逆运算。好，既然要用反向微分的方法求面积，那我们就去找f(x)=x²的原函数，看看到底是哪个函数求导之后变成了f(x)=x²。我们用F(x)来表示这个原函数，那么F(x)就是它（C为常数）：

大家不放心可以自己去验算一下，看看这个F(x)求导之后的结果是不是f(x)=x²。

因为求导是一个非常重要、基础的东西，所以求一些常见函数的导数和原函数都被一劳永逸的制成了表格，大家需要的时候直接去查，记住几个常用的就行。不过，在学习的初期，大家还是要亲自去算一些求导的例子。

有了f(x)=x²的原函数F(x)以后，怎么去求f(x)和x轴在0到1区间里围成的面积呢？前面已经分析了，原函数具有积分的效果，而积分就是曲线围成的面积，所以原函数也可以表示曲线围成的面积（为了方便理解，这里我们先不考虑常数c的影响，反正函数相减的时候常数c会抵消掉）。

因此，我们要求f(x)与x轴在0到1区间内围成的面积，直接用这个代表面积的原函数F(x)在1处的值F(1)减去在0处的值F(0)就完了：

对，你没看错，这样就完了。

F(1)-F(0)就是曲线在0到1之间围成的面积，我们这样得到的结果是1/3，跟我们原来用矩形逼近计算的结果一模一样，惊不惊喜，意不意外？但是它明显比原来的方法简单太多太多太多了，简单到一个中学生都能轻而易举地算出来，这才是微积分的真正力量。

有了这样的铺垫，微积分基本定理（牛顿-莱布尼茨公式）就非常容易理解了：如果函数f(x)在区间a到b之间连续（简单理解就是曲线没有断），并且存在原函数F(x)，那么就有：

这是式子的左边就是函数f(x)与x轴在a到b区间内围成的面积，这点我们在讲积分的时候讲过了：

式子的右边就是原函数在b点和a点的差。意义也很明确：函数反向求导得到的原函数F(x)本来就表示面积，那么F(b)-F(a)自然就是这两点之间的面积之差。于是公式左右两边就都表示面积，完美！

这就是微积分的基本定理，这就是微积分的核心思想。

相信大家一路看到这里，要理解这个已经不是什么难事了。所谓牛顿和莱布尼茨发明的微积分，本质上就是他们看到了“积分和微分是一对互逆运算”，于是我就可以使用“反向微分（求原函数）”的方法来处理积分的问题。

未完待续～