数学极限的通俗解释：如何用确定的方法理解数学上的极限概念

数学极限的通俗解释：如何用确定的方法理解数学上的极限概念图一那又如何理解这个无限的过程呢？我们知道，0.1，0.01，0.001......等等，都分别对应着数轴上的一个点，因此，这个无限趋近的过程其实就是x在数轴上一个一个点逐步向0这个点靠近的过程。那么，x轴上面有没有最靠近0的那个点呢？既然我们假定数轴是由一个一个的点构成的，那我们就可以肯定最靠近0的那个点存在，但这个点我们无法确定它的数值。为了理解极限这个概念，我们就不管这个a点能不能用数字表示，只要认为它存在就可以了。有了这个假设的前提，再来理解极限这个概念就变得容易了。本文尝试从另一个角度来解释这个问题。首先，我们知道，在x 趋近于x0的过程中，x 会无限逼近于x0 但永远不会等于x0，这个等式说明的是x 趋近于x0的这个无限过程的结果等于x0 而并不是说x=x0。现在假设x0=0 那么，x 在趋近于x0的这个过程中，x可以等于0.1 可以等于0.01，0.001，等等，由于这个过程

极限的概念是高等数学中一个最基本的概念，也是一个非常难以理解的概念，特别是对于刚接触高等数学的学生来说，基本上都只能理解一个大概，

因为极限本身就是一个不确定的概念，而且教科书中关于极限的定义都是

形式的定义，这种定义本身就非常专业，也很晦涩难懂。举个最简单的例子，比如，

学过极限的同学都知道这个结果是正确的，但如果要他自己真正把这个问题讲清楚，恐怕比较难。也许，他只能这么说：一个点向另一个点无限靠近，最后结果当然就是等于那个点了。

本文尝试从另一个角度来解释这个问题。

首先，我们知道，在x 趋近于x0的过程中，x 会无限逼近于x0 但永远不会等于x0，

这个等式说明的是x 趋近于x0的这个无限过程的结果等于x0 而并不是说x=x0。现在假设x0=0 那么，x 在趋近于x0的这个过程中，x可以等于0.1 可以等于0.01，0.001，等等，由于这个过程是没有尽头的，那么，x的最终数值必然是如下形式：

那又如何理解这个无限的过程呢？我们知道，0.1，0.01，0.001......等等，都分别对应着数轴上的一个点，因此，这个无限趋近的过程其实就是x在数轴上一个一个点逐步向0这个点靠近的过程。那么，x轴上面有没有最靠近0的那个点呢？既然我们假定数轴是由一个一个的点构成的，那我们就可以肯定最靠近0的那个点存在，但这个点我们无法确定它的数值。为了理解极限这个概念，我们就不管这个a点能不能用数字表示，只要认为它存在就可以了。有了这个假设的前提，再来理解极限这个概念就变得容易了。

图一

如图所示，我们假设a点是最靠近0的那个点，注意，0点和a点之间没有连线，这是因为我们本来就假设a是最靠近0的那个点，中间当然没有其他的点。如图一所示。有了这个假设以后，我们就可以认为，

这个极限当x越过a点时，这个表达式就成立，这里假设x0=0，因为x这个点的位置，只能要么用0 表示，要么用a表示。或者更进一步，我们还可以假定，0点和a点之间虽然已经不存在其他的点，但我们可以认为这两个点之间仍然存在一段直线距离（这好像和前面的假设有矛盾？没关系，我们只是为了理解极限这个概念，用不到去考虑逻辑上的问题），当x点向着0点的方向越过0点和a点之间距离的一半的时候，那么对于x这个点来说，就只能用0来表示了，因为这段距离内已经没有其他的点可以用来表示x这个点的位置了。这样的过程也可以解释极限值为什么是精确值。还要注意一点：x这个点永远也不能和0点重合，这就是极限里面说的：x可以无限趋近于x0，但却不能等于x0。效果如图所示。

如果按照这个方法来理解，极限是不是就变成了一个确定的概念？因为，按照这样的理解，极限

就可以表述为：这个极限等式当x处于x0和最靠近它的那个点x1之间，且当x处于靠近x0这一端，并且x和x0之间的距离小于x0和x1这两者之间距离一半的时候，这个等式就成立。

按照上面的方法理解极限以后，那么导数的概念也好理解了。如图所示。

当直线P按顺时针方向旋转的时候，当它转到m这条线的位置时，直线m和曲线n存在最靠近切点a的两个交点a和b 注意，是最靠近切点的两个交点，因此两个交点a b之间也没有连线。当直线m再顺时针旋转一点点的时候，就和曲线n只有一个交点了。当然不能旋转过多，否则就会和曲线n的下半部分又有两个交点了，其实就是此时旋转的角度不能超过曲线下半部分最邻近两点连线和直线m这两者分别与X轴的夹角之差。如图所示。

切线图

通过假设数轴上最靠近原点的那个点存在，本文提供了一种新的理解极限概念的方法。

当然，本文的假设可能存在逻辑上的瑕疵，但本文仅仅是为了理解极限这个概念而作的假设。