2x-1z等于根号16解方程，已知方程x2-3x10的两根也是方程x4-px2

2x-1z等于根号16解方程，已知方程x2-3x10的两根也是方程x4-px2因为α2 β2=(α β)2-2αβ=9-2=7，(α4 β4)-p(α2 β2) 2q=0……（*），因为α，β也是方程x4-px2 q=0的两根，所以α4-pα2 q=0 ，β4-pβ2 q=0，两式相加，得

题：已知一元二次方程x2-3x 1=0的两根α，β也是方程x4-px2 q=0的两根，求p q的值。

分析：这是四川省数学竞赛题，一见一元二次方程两根，我们自然会想到韦达定理，从而可得一种解法；如果采用比较系数法，将两个方程化为次数相同的方程，再根据它们有相同的根得到对应系数相同进行求解。

解法一：由韦达定理，得

α β=3，αβ=1，

因为α，β也是方程x4-px2 q=0的两根，

所以α4-pα2 q=0 ，β4-pβ2 q=0，

两式相加，得

(α4 β4)-p(α2 β2) 2q=0……（*），

因为α2 β2=(α β)2-2αβ=9-2=7，

α4 β4=(α2 β2)2-2(αβ)2=49-2=47，

代入（*）式，得

47-7p 2q=0……（**）

同理，两式相减，得：

α4-β4-p(α2-β2)=0，

整理，得(α2 β2)( α2-β2)-p(α2-β2)=0，

显然，α2-β2≠0，

所以α2 β2-p=0，

所以p=α2 β2=(α β)2-αβ

=9-2=7，

把p=7代入（**），得

47-49 2q=0，q=1，

所以p q=8.

解法二：注意到四次方程

x4-px2 q=0不含一次项和三次项的，

因此，如果设x2=y，则y2-py q=0，

根据已知条件，该方程的两根是α2，β2，

所以p=α2 β2=7，q=α2β2=1，

所以p q=8.

解法三：由x2-3x 1=0，得

x2=3x-1，

两边平方，得 x4=9x2-6x 1，

所以x4-9x2 6x-1=0，

又由x2-3x 1=0，得3x= x2 1，

代入x4-9x2 6x-1=0，得

x4-9x2 2(x2 1)-1=0，

整理，得x4-7x2 1=0，

与x4-px2 q=0比较系数，得

-7=-p，1=q，

所以p=7，q=1，

所以p q=8.

按照这种解法的思路，如下的方程变形解法更简洁。

解法四：由x2-3x 1=0，得

x2 1=3x，

两边平方，得 x4 2x2 1=9x2，

所以x4-7x2 1=0，

与x4-px2 q=0比较系数，得

-7=-p，1=q，

所以p=7，q=1，

所以p q=8.

解法五：因为二次方程

x2-3x 1=0的两根也是四次方程

x4-px2 q=0的根，

所以四次方程含有二次方程的因式，也就是说，四次方程

x4-px2 q=0可化为

( x2-3x 1)(x2 ax q)=0的形式，

将括号去掉，并整理，得

x4 (a-3)x3 (q-3a 1)x2 (-3q a)x q=0，

与原方程x4-px2 q=0比较系数，得

a-3=0，-p=q-3a 1，-3q a=0，

解得a=3，q=1，p=7，

所以p q=8.