为什么不连续的函数一定不可导：你能想象处处连续处处不可导的函数什么样子吗

为什么不连续的函数一定不可导：你能想象处处连续处处不可导的函数什么样子吗证明略。有了这两个定理，下面继续证明这个无穷级数在负无穷到正无穷区域内连续。一致收敛的Weierstrass判别法：证明略。第二个定理是对于一致收敛的函数项级数，极限运算与无限求和运算可以交换顺序。连续性定理：

对于连续函数大家都知道，一般我们所接触的连续函数都能找到在一段区域里可导。而在数学的发展过程中，数学家猜测有没有处处连续又处处不可导的函数呢？一般的函数把它局部放大，当它放大到一定程度，就会是一条光滑的曲线。只要光滑就肯定可导。那么处处连续处处不可导的函数，不管怎么放大，一定不会出现光滑的曲线，后来这样函数被数学家找到了，现在给出Van Der Waerden在1930年找到的一个函数，是用无穷级数表示的：

首先证明这个无穷级数在负无穷到正无穷区域内连续。

该证明需要用到函数项级数里的两个定理，第一个是函数项级数一致收敛的Weierstrass判别法。这里先解释一下一致收敛。

一致收敛其实就是函数项级数在各个点的收敛速度一致，收敛速度与函数点的位置无关。

一致收敛的Weierstrass判别法：

证明略。第二个定理是对于一致收敛的函数项级数，极限运算与无限求和运算可以交换顺序。

连续性定理：

证明略。有了这两个定理，下面继续证明这个无穷级数在负无穷到正无穷区域内连续。