快捷搜索:  汽车  科技

点到右边平面的距离,点到平面的距离

点到右边平面的距离,点到平面的距离根据类比的经验,我们猜:无非是从二维变成三维而已。我们可以将其看成点(a b)到点(1 -2)的距离,而点(a b)则是直线x y=4上的点,因此,本题实际上是求点(1 -2)到直线x y=4的距离的平方于是我们代入公式

故事开始于《不等式选讲》中柯西不等式的练习题。

点到右边平面的距离,点到平面的距离(1)

既然是柯西不等式的练习题,当然按照柯西不等式来拼凑。

点到右边平面的距离,点到平面的距离(2)

搞定!So easy

不过,这个题目具有太强烈的视觉冲击力了,和我们曾经做过的某一类题目极其相似。比如

点到右边平面的距离,点到平面的距离(3)

我们可以将其看成点(a b)到点(1 -2)的距离,而点(a b)则是直线x y=4上的点,

因此,本题实际上是求点(1 -2)到直线x y=4的距离的平方

于是我们代入公式

点到右边平面的距离,点到平面的距离(4)

点到右边平面的距离,点到平面的距离(5)

无非是从二维变成三维而已。

根据类比的经验,我们猜:

点到右边平面的距离,点到平面的距离(6)

用这个猜测出来的公式来解一开始提出的问题试试?

点到右边平面的距离,点到平面的距离(7)

解:点(1 -2 3)到平面2x 2y z-8=0的距离为

点到右边平面的距离,点到平面的距离(8)

哇塞,居然比柯西不等式还简单方便!

应付考试的数学到此为止,以下我们不妨探讨一下这个解法的背后,还有什么样的结论。

我们要解决几个问题。

第一、在空间中,平面的方程是什么?

第二、在空间中,点到平面的距离公式是什么?

是不是我们猜测的那个样子,虽然我的数学直觉告诉我,没错,但是需要证明。

点到右边平面的距离,点到平面的距离(9)

哇塞,这个公式似乎很好用哦。平面的方程居然只是简单的三元一次方程而已。

第二个问题,点到平面的距离公式。

点到右边平面的距离,点到平面的距离(10)

证明完毕,其实很简单的证明,我相信高中学生多半能看懂。

有了这两个公式,立体几何的很多问题其实可以很简单计算,尤其是求二面角和求距离问题。对吗?

点到右边平面的距离,点到平面的距离(11)

(1)证:略。

(2)取AD中点F,则

由PA=PD,得PF⊥AD,所以PF⊥面ABCD

由AB⊥面PAD,得AB⊥AD

以F为原点建立坐标系,设AD=2则

点到右边平面的距离,点到平面的距离(12)

点到右边平面的距离,点到平面的距离(13)

点到右边平面的距离,点到平面的距离(14)

猜您喜欢: