高考数学知识点总结大全集电子版：高考数学考前梳理

高考数学知识点总结大全集电子版：高考数学考前梳理(2) 集合与集合的关系，用“_____”、“____”或“_____”表示．______时，称A是B的子集；当________时，称A是B的真子集；当_______时，称集合A与集合B相等，两个集合所含的元素完全相同．(1) 元素与集合的关系，用____或____表示．(3) 集合按所含元素个数可分为：_____________、_____________、_________；按元素特征可分为：____________、_____________.(4) 常用数集符号：N表示_____________集；N*或N＋表示_____________集；Z表示_____________集；Q表示_____________集；R表示__________集；C表示_________集．2. 两类关系

高考前，一定要注意，回归课本知识，回归本质。熟悉公式，查漏补缺，也能很好的帮助学生稳定心态。

1. 集合的概念

(1) 集合中元素的三个特征：__________、____________、____________　

(2) 集合的表示法：__________、___________、__________等．

(3) 集合按所含元素个数可分为：_____________、_____________、_________；按元素特征可分为：____________、_____________.

(4) 常用数集符号：N表示_____________集；N*或N＋表示_____________集；Z表示_____________集；Q表示_____________集；R表示__________集；C表示_________集．

2. 两类关系

(1) 元素与集合的关系，用____或____表示．

(2) 集合与集合的关系，用“_____”、“____”或“_____”表示．______时，称A是B的子集；当________时，称A是B的真子集；当_______时，称集合A与集合B相等，两个集合所含的元素完全相同．

3. 集合的运算

(1) 全集：如果集合S包含我们所要研究的各个集合的全部元素，那么这个集合就可以看作一个全集，通常用U来表示．一切所研究的集合都是这个集合的_______.

(2) 交集：由属于A且属于B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的交集，记作A∩B，即A∩B＝____________________.

(3) 并集：由属于A或属于B的所有元素组成的集合，叫作集合A与B的并集，记作A∪B，即A∪B＝____________________.

(4) 补集：集合A是集合S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合叫作A的补集(或余集)，记作∁SA，即∁SA＝____________________.

4. 常见结论与等价关系

(1) 如果集合A中有n(n∈N*)个元素，那么A的子集有_______个，真子集有_______个，非空真子集有_______个．

(2) A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔A⊇B.

(3) ∁U(A∩B)＝____________________，∁U(A∪B)＝____________________.

知识梳理

1. 如果记“若p则q”为原命题，那么否命题为“_______________”，逆命题为“___________”，逆否命题为“______________”．其中互为逆否命题的两个命题同真假，即等价，原命题与___________等价，逆命题与___________等价．因此，四种命题为真的个数只能是偶数．

2. (1) 若p⇒q，但q

p，则p是q的___________条件；

(2) 若p

q，但q⇒p，则p是q的___________条件；

(3) 若p⇒q，且q⇒p，即p⇔q，则p是q的___________条件；

(4) 若p⇒/ q，且q

p，则p是q的___________________条件．

3. 证明命题条件的充要性时，既要证明原命题成立(即条件的___________)，又要证明它的逆命题成立(即条件的___________).

1. 全称量词

我们把表示___________的量词称为全称量词．

对应日常语言中的“一切”、“任意的”、“所有的”、“凡是”、“任给”、“对每一个”等词，用符号“∀”表示．

含有___________的命题，叫作全称命题．“对任意实数x∈M，都有p(x)成立”简记成“∀x∈M，p(x)”．

2. 存在量词

我们把表示___________的量词称为存在量词．

对应日常语言中的“存在一个”、“至少有一个”、“有个”、“某个”、“有些”、“有的”等词，用符号“∃”表示．

含有___________的命题，叫作存在性命题．“存在实数x0∈M，使p(x0)成立”简记成“_________________”．

3. 简单逻辑联结词有___________(符号为∨)，___________(符号为∧)，___________(符号为非)．

4. 命题的否定：“∀x∈M，p(x)”与“_________________”互为否定．

5. 复合命题的真假：对p且q而言，当p，q均为真时，其为_____；当p，q中至少有一个为假时，其为____.对p或q而言，当p，q均为假时，其为_____；当p，q中有一个为真时，其为____当p为真时，非p为_____；当p为假时， 非p为____.

6. 常见词语的否定如下表所示：

词语	是	一定是	都是	大于	小于
词语的否定	___________	___________	___________	___________ ___________	___________
词语	且	必有一个	至少有 n个	至多有 一个	所有x成立
词语的否定	___________	___________ ___________	___________	___________ ___________	________

1. 函数的概念

设A，B是两个___________的数集，如果按某个确定的___________，使对于集合A中的___________元素x，在集合B中都有___________的元素y和它对应，那么称___________为从集合A到集合B的一个函数，记作：y＝f(x)，x∈A.其中所有的输入值x组成的集合A叫作函数y＝f(x)的___________；所有的输出值y组成的集合叫作函数y＝f(x)的___________.

2. 相同函数

函数的定义含有三个要素，即___________、___________和___________.

当函数的___________及___________确定之后，函数的___________也就随之确定．当且仅当两个函数的___________和___________都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．

3. 函数的表示法：___________、___________和___________.

1. 函数的定义域

(1) 函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式___________的x的取值范围．

(2) 分式中分母应___________；偶次根式中被开方数应为___________，奇次根式中被开方数为一切实数；零指数幂中底数__________.

(3) 对数式中，真数必须___________，底数必须________________________，三角函数中的角要使该三角函数有意义等．

(4) 实际问题中还需考虑自变量的___________，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集．

2. 求函数值域主要的几种方法

(1) 函数的_____________________直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接通过___________求得值域．

(2) 二次函数或可转化为二次函数形式的问题，常用___________求值域．

(3) 分子、分母是一次函数或二次齐次式的有理函数常用______________求值域；分子、分母中含有二次项的有理函数，常用___________求值域(主要适用于定义域为R的函数)．

(4) 单调函数常根据函数的___________求值域．

(5) 很多函数可拆配成基本不等式的形式，利用___________求值域．

(6) 有些函数具有明显的几何意义，可根据几何意义的方法求值域．

(7) 只要是能求导数的函数常可用导数的方法求值域.

1. 函数单调性的定义

(1) 一般地，对于_____________的函数f(x)，如果对于属于这个区间的___________两个自变量x1，x2，当___________时，都有___________(或都有___________)，那么就说f(x)在这个区间上是单调增函数(或单调减函数)．

(2) 如果函数y＝f(x)在某个区间上是单调增函数(或单调减函数)，那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性，这个区间叫作f(x)的__________.若函数是单调增函数，则称该区间为____________；若函数为单调减函数，则称该区间为___________.

2. 复合函数的单调性

对于函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果当x∈(a，b)时，u∈(m，n)，且u＝g(x)在区间(a，b)上和y＝f(u)在区间(m，n)上同时具有单调性，则复合函数y＝f(g(x))在区间(a，b)上具有________，并且具有这样的规律：____________________________________.

3. 求函数单调区间或证明函数单调性的方法

(1) _____________________________；

(2) ______________；

(3) ___________.

1. 奇、偶函数的定义

对于函数f(x)的定义域内的___________x，都有______________(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意x，都有_____________(或___________________)，则称f(x)为偶函数．

2. 奇、偶函数的性质

(1) 具有奇偶性的函数，其定义域关于___________对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于___________对称)．

(2) 奇函数的图象关于___________对称，偶函数的图象关于__________对称．

(3) 若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝___________.

(4) 定义在(－∞，＋∞)上的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．

1. 函数图象的两种作法

(1) 描点法：① ___________；②___________；③___________.

运用描点法作图前，必须对图象的特征(包括图象的存在范围、大致形状、变化趋势)做到心中有数，这样可减少列表的盲目性和连点成线的随意性，从而确保表列在关键处，线连在恰当处．

(2) 图2. 周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有___________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．

3. 最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___________，那么这个___________就叫作f(x)的最小正周期．

象变换法：包括___________变换、___________变换、__________变换．

1. 二次函数的三种表示

(1) 一般式：____________________________；

(2) 两点式：__________________________；

(3) 顶点式： ___________________________.

2. 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的形状、对称轴、顶点坐标、开口方向是处理二次函数问题的重要依据．

3. 一元二次方程的根的分布问题

二次函数对应的一元二次方程的实数根的分布问题是一个比较复杂的问题，给定一元二次方程f(x)＝ax2＋bx＋c＝0(a>0)．

(1) 若f(x)＝0在(m，n)(m<n)内有且只有一个实数根，则需满足________________________________________________________________________.

(2) 若f(x)＝0在(m，n)(m＜n)内有两个实数根，则需满足_________

(3) 设x1，x2为方程f(x)＝0的两个实数根：①若x1＜m＜x2，则f(m) ___________0；

②若m<x1<n<p<x2<q，则需满足___________________

(4) 若方程f(x)＝0的两个实数根中一根小于m，另一根大于n(m＜n)，则需满足

________________

(5) 若一元二次方程f(x)＝0的两个实数根都大于r，则需满足___________________________

1. 指数的相关概念

(1) n次方根

正数的奇次方根是一个___________，负数的奇次方根是一个__________，0的奇次方根是___________；正数的偶次方根是两个绝对值___________、符号___________的数，0的偶次方根是___________，负数__________________.

(2) 方根的性质

①当n为奇数时，an(n)＝___________；

②当n为偶数时，an(n)＝___________＝_________________.

(3) 分数指数幂的意义

①an(m)n(m)＝______(其中a＞0，m，n都是正整数，n＞1)；

②an(m)n(m)＝______＝_________ (其中a＞0，m，n都是正整数，n＞1)．

2. 指数函数的定义

一般地，函数__________________________________叫作指数函数．

3. 指数函数的性质

(1) 定义域：____；(2) 值域：___________；(3) 过定点___________，即x＝___________时，y＝___________；(4) 当a＞1时，在R上是___________函数；当0＜a＜1时，在R上是___________函数.

1. 对数的相关概念

(1) 对数的定义：如果ab＝N(其中a＞0且a≠1)，那么b叫作_________________，记作___________.

(2) 常用对数和自然对数

①常用对数：以___________为底N的对数，简记为lgN ；

②自然对数：以___________为底N的对数，简记为lnN.

(3) 指数式与对数式的相互转化：ab＝N⇔ _______(其中a＞0且a≠1，N＞0)．

两个式子表示的a，b，N三个数之间的关系是一样的，并且可以互化．

2. 对数运算的性质(M＞0，N＞0，a＞0且a≠1)

(1) loga(MN)＝________________；

(2) logaN(M)＝_______________；

(3) logaMn＝___________.

3. 对数换底公式(N＞0，a＞0且a≠1，b＞0且b≠1)

logbN＝__________.

由换底公式可以得到：logab＝_____，loganbm＝______，logab·logbc＝________.

4. 几个常用的结论(N＞0，a＞0且a≠1)

(1) logaa＝___________，loga1＝___________；

(2) logaaN＝___________，alogaN＝___________.

1. 对数函数的定义

函数_____________________叫作对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是___________.

2. 对数函数的性质

(1) 定义域：___________；

(2) 值域：____；

(3) 过定点___________，即当x＝___________时，y＝___________；

(4) 当a＞1时，在(0，＋∞)上是单调___________函数；

当0＜a＜1时，在(0，＋∞)上是单调___________函数.

1. 幂函数的定义：一般地，函数式___________叫作幂函数，其中x是自变量，α是常数．

2. 所有的幂函数y＝xα在区间___________上都有定义，并且图象都过点___________.

如果α>0，那么幂函数的图象过___________，并且在[0，＋∞)上是____________；如果α<0，那么幂函数的图象在(0，＋∞)上是_____________，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴的右边无限地逼近__________，当x趋向于正无穷时，图象在x轴上方无限地逼近___________.

3. 对于函数y＝f(x)，把使方程___________的实数x称为函数y＝f(x)的零点．

4. 函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的___________，也就是函数y＝f(x)的图象与x轴交点的___________.因此，函数y＝f(x)有零点等价于函数y＝f(x)的图象与x轴有___________，也等价于方程f(x)＝0有___________.

5. 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续的曲线，且有___________，那么函数y＝f(x)在(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，此时c就是方程f(x)＝0的根．但反之，不成立.

1. 数学模型及数学建模

数学模型就是把实际问题用数学语言抽象概括，再从数学角度来反映或近似地反映实际问题时，所得出的关于实际问题的数学描述．

数学建模是把实际问题加以抽象概括，建立相应的模型，利用这些模型来研究实际问题的一般数学方法．

2. 常见的函数模型：(1) ___________；(2) ___________；(3)_________________；(4) ___________.

3. 解函数应用题时，要注意四个步骤：

第一步：阅读理解．

读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字叙述，理解叙述所反映的实际背景，在此基础上，分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题．

第二步：引入数学符号，建立数学模型．

一般地，设自变量为x，函数为y，必要时引入其他相关辅助变量，并用x，y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件，运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，在此基础上将实际问题转化为一个函数问题，实现问题的数学化，即所谓建立数学模型．

第三步：利用数学方法对得到的常规函数问题(即数学模型)予以解答，求得结果．

第四步：将所得结果再转译成具体问题的解答.

1. 函数的平均变化率

一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为________________.

2. 导数的概念

已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，且x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0，比值Δx(Δy)＝___________________无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．

3. 基本初等函数求导公式

(1) (xα)′＝___________(α为常数) ；

(2) (ax)′＝___________(a>0且a≠1)，(ex)′＝___________；

(3) (logax)′＝________ (a>0且a≠1)，

(lnx)′＝________；

(4) (sin x)′＝cos x，(cos x)′＝___________.

4. 导数的四则运算法则

(1) [f(x)±g(x)]′＝___________________；

(2) [f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3) [cf(x)]′＝____________(c为常数)；

(4) g(x)(f(x))′＝______________________ (g(x)≠0)．

1. 导数的几何意义

(1) 导数f′(x0)的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0 f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．

(2)设s＝s(t)是位移函数，则s′(t0)表示物体在t＝t0时刻的___________.

(3)设v＝v(t)是速度函数，则v′(t0)表示物体在t＝t0时刻的___________.

1. 利用导数研究函数的单调性

在某个区间(a，b)内，如果f′(x)≥0且在(a，b)的任意子区间上___________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递增；

如果f′(x)≤0且在区间(a，b)的任意子区间上___________，那么函数y＝f(x)在这个区间内单调递减．

2. 判定函数单调性的一般步骤

(1) 确定函数y＝f(x)的定义域；

(2) 求导函数f′(x)；

(3) 在函数f(x)的定义域内解不等式f′(x)>0或f′(x)<0；　

(4) 根据(3)的结果确定函数的单调区间．

1. 函数的极值

如果在函数y＝f(x)的定义域I内存在x0，使得在x0附近的所有点x，都有___________，则称函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极大值，记作_______________；如果在x0附近的所有点x，都有___________，则称函数y＝f(x)在点x＝x0处取得极小值，记作_____________.

2. 求函数极值的步骤

(1) 确定函数f(x)的定义域，求导函数f′(x)；

(2) 求方程f′(x)＝0的所有实数根；

(3) 观察在每个根xn附近，从左到右，导函数f′(x)的符号如何变化：如果f′(x)的符号由正变负，那么f(xn)是极大值；如果f′(x)的符号由负变正，那么f(xn)是极小值；如果f′(x)的符号在xn的两侧附近相同，那么xn不是函数f(x)的极值点．

3. 函数的最值

如果在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有___________，那么称f(x0)为函数的最大值，记作ymax＝___________；如果在函数f(x)的定义域I内存在x0，使得对于任意的x∈I，都有___________，那么称f(x0)为函数的最小值，记作ymin＝___________.

4. 求函数y＝f(x)在[a，b]上的最值的步骤

(1) 求函数f(x)在[a，b]上的极值；

(2) 将第一步中求得的极值与f(a)，f(b)比较，得到函数 f(x)在[a，b]上的最大值与最小值．

1. 最值与不等式

(1) a≥f(x)恒成立⇔a≥___________；

(2) a≤f(x)恒成立⇔a≤___________；

(3) a≥f(x)有解⇔a≥___________；

(4) a≤f(x)有解⇔a≤___________.

2. 实际应用题

(1) 解题的一般步骤：理解题意，_______________，使用导数方法求解函数模型，根据求解结果回答实际问题．

(2) 注意事项：注意实际问题的___________；实际问题中的函数多数是单峰函数(即在定义域内只有一个极值点的函数)，这样的极值点也是___________.

1. 角的概念的推广

(1) 正角、负角和零角：一条射线绕顶点按___________方向旋转所形成的角叫作正角，按___________方向旋转所形成的角叫作负角；如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫作___________.

(2) 象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，这样，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．终边落在坐标轴上的角(轴线角)不属于任何象限．

(3) 终边相同的角：与角α的终边相同的角β的集合为_____________________．

2. 角的度量

(1) 1弧度的角：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角．

(2) 弧度制与角度制的关系：1°＝_____弧度(用分数表示)，1弧度＝_____度(用分数表示)．

(3) 弧长公式：l＝__________.

(4) 扇形面积公式：S＝2(1)rl＝2(1)|α|r2. 3. 任意角的三角函数的定义

设角α的终边上任意一点的坐标为P(x，y)(除原点)，点P到坐标原点的距离为r(r＝)，则sin α＝____，cos α＝____，tan α＝_________．

4. 三角函数的定义域

在弧度制下，正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域分别是_____、_____、

___________________________.

5. 三角函数的符号规律

第一象限全“＋”，第二象限正弦“＋”，第三象限正切“＋”，第四象限余弦“＋”．简称：一全、二正、三切、四余.

1. 同角三角函数间的基本关系式

(1) 平方关系：__________________.

(2) 商数关系：_______________.

2. 三个注意

(1) 同角三角函数的关系式的前提是“同角”．

(2) tanα＝cosα(sinα)是条件等式，即它们成立的前提是表达式有意义．

(3) 利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论.

1. 诱导公式

	－α	π－α	π＋α	2π－α	2(π)－α	2(π)＋α	2(3π)－α	2(3π)＋α
sin	－sin α	sin α	－sin α	－sin α	cos α	cos α	－cos α	－cos α
cos	cos α	－cos α	－cos α	cos α	sin α	－sin α	－sin α	sin α
tan	－tan α	－tan α	tan α	－tan α	/	/	/	/

诱导公式的规律可概括为十个字：奇变偶不变，符号看象限．

2. 运用诱导公式求任意角的三角函数的步骤

(1) 把求任意角的三角函数值化为求0°～360°角的三角函数值；

(2) 把求0°～360°角的三角函数值化为0°～90°角的三角函数值；

(3) 求0°～90°角的三角函数值．

1. 两角和(差)的三角函数公式

(1) sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；

(2) cos(α±β)＝___________________；

(3) tan(α±β)＝___________________.

2. 注意两角和(差)的三角函数公式的变形运用

asin x＋bcos x＝______________________________

_________________________

3. 注意几种常见的角的变换

(1) α＝(α＋β)－___________＝(α－β)＋___________；

(2) 2α＝(α＋β)＋___________；

(3) 2α＋β＝α＋___________.

1. 二倍角公式

(1) 二倍角的正弦：sin 2α＝___________.

(2) 二倍角的余弦：cos 2α＝___________________________________________.

(3) 二倍角的正切：tan 2α＝____________.

注意：①在二倍角的正切公式中，角α是有限制条件的，即α≠__________，且α≠____________ (k∈Z)．

②“倍角”的意义是相对的，如4α是_______的二倍角，α是____的二倍角．

2. 二倍角的余弦公式的几个变形公式

(1) 升幂公式：1＋cos 2α＝___________；

1－cos 2α＝___________.

(2) 降幂公式：cos2α＝___________；sin2α＝_____________.

1. 在三角式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成___________的三角函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要将__________化为___________弦．

2. 要注意“1”的代换，如1＝sin2α＋__________＝_______；还有1＋cos α＝____________，1－cos α＝_____________.

3. 对于 sin α·cos α与sin α±cos α同时存在的情况，可通过换元的思路．如设t＝sin α±cos α，则sin α·cos α＝__________.

4. 常见的“变角”方法有：2α＝(α＋β)＋__________；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋___________.

正弦函数、余弦函数、正切函数的性质

解析式	y＝sin x	y＝cos x	y＝tan x
定义域	R	R	，k∈Z(π)，k∈Z(π)
值域	[－1 1]	[－1 1]	R
零点	x＝kπ，k∈Z	x＝kπ＋2(π)，k∈Z	x＝kπ，k∈Z
对称轴	x＝kπ＋2(π)，k∈Z	x＝kπ，k∈Z	无

周期性	T＝2π	T＝2π	T＝π
单调 增区间	2(π) (k∈Z)	[(2k－1)π，2kπ] (k∈Z)	2(π) (k∈Z)
单调 减区间	2(3π) (k∈Z)	[2kπ，(2k＋1)π] (k∈Z)	无

1. 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

(1) 用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤：①列表；②描点；③连线．

(2) 用“变换法”由函数y＝sin x的图象得到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的方法：

①由函数y＝sin x的图象向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位长度，得到函数______________的图象；纵坐标不变，横坐标变为原来的ω(1)，得到函数________________的图象；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数___________________的图象．

②由函数y＝sin x的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的ω(1)，得到函数_____________的图象；向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移ω(φ)个单位长度，得到函数________________的图象；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到函数__________________的图象．

2. 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质

振幅：A；周期：T＝|ω|(2π)；频率：f＝T(1)；相位：ωx＋φ；初相：x＝0时的相位，即φ.

1. 建立三角函数模型解决实际问题的一般步骤

(1) 阅读理解，审清题意；

(2) 创设变量，构建模型；

(3) 计算推理，解决模型；

(4) 结合实际，检验作答．

2. 三角函数模型的主要应用

(1) 在解决物理问题中的应用；

(2) 在解决测量问题中的应用；

(3) 在解决航海问题中的应用.

1. 利用平面几何知识及三角函数知识可以证明正弦定理．

正弦定理：________________________(其中R为△ABC的外接圆的半径，下同).

变式：(1) a＝2Rsin A，b＝___________，c＝_____________；

(2) sin A＝_____，sin B＝______，sin C＝_______；

(3) a∶b∶c＝___________________________；

(4) sin A(a)＝sin B(b)＝sin C(c)＝sin A＋sin B＋sin C(a＋b＋c)(合比性质)．

2. 利用正弦定理，可以解决以下两类解斜三角形的问题：

(1) 已知两角与任一边，求其他两边和一角；

(2) 已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角).

对于“已知两边与其中一边的对角，求另一边的对角(从而进一步求出其他的边和角)”的题型，可能出现多解或无解的情况．验证解的情况可用数形结合法.

如：已知a，b和A，用正弦定理求B，解的情况如下：

①若A为锐角，则a≥b，______解.(bsin A<a<b，_____解；)

　a<bsin A　无解

　　　a＝bsin A　一解

　　 bsin A<a<b　两解

　 a≥b　一解

②若A为直角或钝角，则a>b，_____解.(a≤b，_____解；)

无解　　 　一解

3. 由正弦定理，可得三角形面积公式：

S△ABC＝_______＝________＝_______＝_____＝_____________________________．

4. 三角形内角和定理的变形：

由A＋B＋C＝π，知A＝π－(B＋C)，得

sin A＝sin(B＋C)，cos A＝－cos(B＋C).

由2(A)＝2(π)－2(B＋C)，得sin2(A)＝cos2(B＋C)，cos2(A)＝sin2(B＋C).

1. 余弦定理：

a2＝__________________，

b2＝__________________，

c2＝__________________.

2. 余弦定理的变式：

cos A＝_____________，

cos B＝_____________，

cos C＝_____________.

3. 利用余弦定理，我们可以解决以下两类解三角形的问题：

(1) 已知三边，求三个角；

(2) 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.

1. 测量问题的有关名词

(1) 仰角和俯角：是指与目标视线在同一垂直平面内的水平视线的夹角．其中目标视线在水平视线上方时叫作仰角，目标视线在水平视线下方时叫作俯角．

(2) 方向角：是指从指定方向线到目标方向线的水平角，如北偏东30°，南偏西45°.

(3) 方位角：是指北方向顺时针转到目标方向线的角．

(4) 坡角：是指坡面与水平面所成的角．

(5) 坡比：是指坡面的铅直高度与水平宽度之比．

2. 求解三角形实际问题的基本步骤

(1) 分析：理解题意，弄清已知和未知，画出示意图；

(2) 建模：根据条件和目标，构建三角形，建立一个解三角形的数学模型；

(3) 求解：利用正弦定理和余弦定理解三角形，求数学模型的解；

(4) 检验：检验上述所求的角是否符合实际意义，从而得到实际问题的解．

1. 向量的有关概念

向量：既有大小又有方向的量叫作向量．向量的大小叫向量的___________

(或模)．

2. 几个特殊的向量

(1) 零向量：___________________，记作0，其方向是任意的．

(2) 单位向量：__________________________________.

(3) 平行向量：______________________________，平行向量又称为共线向量，规定0与任意向量共线．

(4) 相等向量：___________________________________.

(5) 相反向量：__________________________________.

3. 向量的加法

(1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量________________________的对角线所对应的向量．

(2) 运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以___________________为起点，则由第一个向量的起点指向_____________________为和向量．

4. 向量的减法

将两个已知向量平移到公共起点，差向量是___________向量的终点指向___________向量的终点的向量．注意方向指向被减向量．

5. 向量的数乘

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下：

(1) |λa|＝_______.

(2) 当λ>0时，λa的方向与a的方向___________；

当λ<0时，λa的方向与a的方向__________；

当λ＝0时，λa＝_____.

注：向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算．

6. 两个向量共线定理

向量b与非零向量a共线⇔有且只有一个实数λ，使得b＝λa.

1. 平面向量的基本定理

(1) e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使得______________，其中不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．平面内任意___________的向量都可以作为一组基底，两个平行向量不可以作为向量的基底．

(2) 平面内的任一向量a，都可以沿两个不共线的方向分解成唯一两个向量的和，所以平面向量的基本定理也叫作唯一分解定理．

2. 平面向量的坐标形式

在平面直角坐标系内，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底．对平面内任意一个向量a，有且只有一对实数x，y，使得a＝_________(向量的分量表示)，记作a＝(x，y)(向量的坐标表示)，其中x叫作a的横坐标，y叫作a的纵坐标．

3. 平面向量的坐标运算

(1) 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝____________________，a－b＝__________________，λa＝____________.

(2) 若点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，那么→(AB)的坐标为_____________.

1. 向量的夹角

已知两个非零向量a与b，记→(OA)＝a，→(OB)＝b，则___________叫作向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围为________．当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称向量a与b ___________.

2. (1) 两个向量平行的充要条件：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b≠0，则a∥b⇔_________________.

(2) 两个非零向量垂直的充要条件：设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔ __________________________.

1. 两个向量的数量积

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则a·b＝|a|·|b|cos θ，其中|b|·cos θ称为_____________________________．规定：零向量与任一向量的数量积为0.

2. 两个向量的数量积的性质

设a与b是非零向量，θ是a与b的夹角．

(1) 若a与b同向，则a·b＝|a||b|；若a与b反向，则a·b＝________.特别地，a·a＝|a|2.

(2) a·b＝0 ⇔________.

(3) cos θ＝_________.

3. 数量积的运算律

(1) 交换律：a·b＝b·a.

(2) 数乘结合律：(λa)·b＝a·(λb)．

(3) 分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

1. 复数的概念

形如z＝a＋bi(a，b∈R)的数叫作复数，其中a称为实部，b称为虚部．当___________时，z为虚数，当___________且___________时，z为纯虚数．

2. 两个复数相等的充要条件

a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔_________________.

3. 复数的四则运算

设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)．

(1) 复数的加减法：z1±z2＝____________________.

(2) 复数的乘法：z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_____________________________.

(3) 复数的除法：若z2≠0，则z1÷z2＝___________________________.

4. 复数模的几何意义

(1) z＝a＋bi⇔点Z(a，b)⇔向量→(OZ)；

(2) |z|＝＝|→(OZ)|.

知识梳理

1. 数列的概念：按照___________排列的一列数称为数列，数列中的___________都叫作这个数列的项．

2. 数列的通项公式：如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用___________来表示，那么___________叫作这个数列的通项公式．

3. Sn与an的关系：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，an＝_________________

4. 等差数列的定义及通项

等差数列的通项公式：____________________________________；

推广：an＝am＋(___________)d.

5. 等差数列的求和公式

Sn＝2(n(a1＋an))＝na1＋2(n(n－1))d.

6. 等差数列的其他性质

(1) 若a，b，c成等差数列，则称b为a，c的等差中项，且b＝_______.

(2) 在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则___________________.

(3) S2n－1＝___________.

(4) 因为n(Sn)＝a1＋(n－1)2(d)，所以n(Sn)也是等差数列，首项为_______，公差为____.

(5) 若Sm，S2m，S3m分别为等差数列{an}的前m项、前2m项、前3m项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成___________数列．

(6) 已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则an，bn，S2n－1，T2n－1之间的关系为bn(an)＝_______.

(7) 非零等差数列奇数项与偶数项的性质

若项数为2n，则S偶－S奇＝___________，S偶(S奇)＝________；

若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝___________，

S奇－S偶＝___________，S偶(S奇)＝________.

1. 等比数列的定义及通项

如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的________都等于_________________，那么这个数列就叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的___________.

等比数列的通项公式：___________；

推广：an＝amqn－m.

2. 等比数列的求和公式

Sn＝___________________＝_________________________

3. 等比数列的性质

设数列{an}是等比数列，公比为q.

(1) 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则___________________；

(2) 数列{kan}(k为非零常数)，an(1)，{an(k)}(k∈Z且为常数)也是等比数列；

(3) 每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列；

(4) 若{an}的前n项和为Sn，则Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比数列(各项不为0)．

1．递推数列

(1) 概念：数列的连续若干项满足的等量关系an＋k＝f(an＋k－1，an＋k－2，…，an)称为数列的递推关系．由递推关系及k个初始值确定的数列叫作递推数列．

(2) 求递推数列通项公式的常用方法：迭代法、构造法、累加(乘)法、归纳猜想法．

2. 数列递推关系的几种常见类型

(1) 形如an－an－1＝f(n)(n∈N*且n≥2)

方法：累加法，即当n∈N*且n≥2时，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1；

(2) 形如an－1(an)＝f(n)(n∈N*且n≥2)

方法：累乘法，即当n∈N*且n≥2时，an＝an－1(an)·an－2(an－1)·…·a1(a2)·a1；

注意：n＝1不一定满足上述形式，所以需要检验．

(3) 形如an＝pan－1＋q(n∈N*且n≥2)

方法：化为an＋p－1(q)＝pp－1(q)的形式，令bn＝an＋p－1(q)，则bn＝pbn－1，{bn}为等比数列，所以可求得数列{an}的通项公式；

(4) 形如an＝pan－1＋f(n)(n∈N*且n≥2)

方法：两边同除以pn，得pn(an)＝pn－1(an－1)＋pn(f(n))，令bn＝pn(an)，则bn＝bn－1＋pn(f(n))，转化为利用累加法求bn为常数，则{bn}为等差数列(f(n))，所以可求得数列{an}的通项公式

常用的一般数列的求和方法

1. 公式法：若可以判断出所求数列是等差(比)数列，则可以直接利用公式进行求和．

2. 分组转化法：把数列的每一项拆成两项的差(或和)，或把数列的项重新组合，使其转化为等差数列或等比数列．

3. 裂项相消法：把数列的通项拆成两项的差(或和)，使求和时出现的一些正负项相互抵消，于是前n项和变成首尾两项或少数几项的和(差)．

4. 倒序相加法：把Sn中项的顺序首尾颠倒过来，再与原来顺序的Sn相加．这种方法体现了“补”的思想，等差数列的前n项和公式就是用它推导出来的．

5. 错位相减法：数列{anbn}的求和问题应用此法，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列．

1. 数列可以与函数、方程、不等式、三角函数、平面向量、解析几何等组成综合问题，灵活运用等差数列、等比数列的知识分析问题、解决问题是关键．

2. 解答有关数列的实际应用问题，通常可分为三步：

(1) 根据题意建立数列模型；

(2) 运用数列知识求解数列模型；

(3) 检验结果是否符合题意，给出问题的答案.

1. 合情推理：_____________________________________叫作合情推理．_________________________是两种常用的合情推理．

2. 演绎推理：___________________________________________________的推理，叫作演绎推理．演绎推理的主要特点是当前提为真时，结论必然为真．

3. 直接证明

从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性，叫作直接证明．常用的直接证明的方法有综合法与分析法．

4. 间接证明：______________________________________________________的方法叫作间接证明．常用的间接证明的方法是反证法．

1. 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(其中a≠0)的解集

设相应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(其中a≠0)的两根为x1，x2，且x1≤x2，Δ＝b2－4ac，则不等式的解的各种情况如下表所示：

	Δ＞0		Δ＝0		Δ＜0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根		有两个相异的实数根x1，x2(x1＜x2)		有两个相等的实数根x1＝x2＝－2a(b)		无实数根
ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集		________________		________________		____
ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集		________________		_____		_____

2. 求解一元二次不等式的步骤

(1) ___________________________________；

(2) ___________________________________；

(3) __________________________________.

1. 线性规划及相关概念

(1) 目标函数：欲达到最大值或最小值所涉及的变量x，y的解析式称为目标函数．

(2) 约束条件：由x，y的不等式(或方程)组成的不等式组称为x，y的约束条件．关于x，y的一次不等式或方程组成的不等式组称为x，y的线性约束条件．

(3) 可行解：_____________________________________________.

(4) 可行域：_________________________________________.

(5) 最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解称为最优解．

(6) 求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为________________.

2. 解线性规划问题的步骤

(1) 画，即___________________________________；

(2) 移，即在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距_____________的直线；

(3) 求，即____________________________；

(4) 答，即____________.

1. 基本不等式的定理表达式为：______________________________________________________________．

2. 应用基本不等式求最值时应注意的问题是：______________________________________________.

3. 与基本不等式相关的重要不等式

(1)_________________________；

(2)______________________；

(3)________________________________．

4. 基本不等式≤2(a＋b)(a≥0，b≥0)的两个等价变形

(1)________________________________________；

(2)______________________________________.

1. 基本不等式的应用

(1) 研究函数的性质；

(2) 求解最值问题；

(3) 确定参数的取值范围；

(4) 解决实际问题．

2. 基本不等式的综合应用

三角函数、数列、立体几何、解析几何中的最值问题．

3. 解不等式问题的一般步骤

(1) 分析题意；

(2) 建立数学模型；

(3) 解决数学问题；

(4) 检验作答．

1. 立体几何公理系统

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上____________的点都在这个平面内，是判定直线在平面内的依据．

公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线．它是判定两平面相交，作两个平面交线的依据．

公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面．

推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．

推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．

推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相____________.

2. 空间两条直线的位置关系

位置关系	共面情况	公共点个数
相交直线	在同一个平面内	_______________
平行直线	在同一个平面内	___________
异面直线	不同在任何一个平面内	___________

3. 一条直线和一个平面的位置关系

位置 关系	__________________	直线a与平面α相交	直线a与平面α平行
公共点	_________________	有且只有一个公共点	没有公共点
符号表示	a⊂α	____________	____________
图形表示

4. 直线与平面平行的判定定理：

______________________________________________________________________

直线与平面平行的性质定理：

______________________________________________________________________________________________

5. 两个平面的位置关系

位置关系	____________	____________
公共点	____________	____________________
符号表示	____________	α∩β＝a
图形表示

6. 两个平面平行的判定定理：

_____________________________________________________________________

两个平面平行的性质定理：

____________________________________________________________________.

知识梳理

1. 直线与平面垂直的判定定理：________________________________________ __________________________________

2. 直线与平面垂直的性质定理：________________________________________ ________________________

3. 两个平面垂直的判定定理：________________________________________ ____________________________

4. 两个平面垂直的性质定理：________________________________________ ___________________________________________

5. 线线、线面、面面垂直的相互转化关系：

多面体的面积与体积公式：

1. 底面周长为c，高为h的直棱柱的侧面积公式为_________________；

2. 长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则它的体积公式为______________；

3. 柱体的体积等于它的底面积S和高h的积，即____________；

4. 底面周长为c，斜高为h′的正棱锥的侧面积公式为____________________；

5. 锥体的体积公式为_______________，其中锥体的底面积为S，高为h；

6. 上、下底面周长分别为c，c′，斜高为h′的正棱台的侧面积公式为____________________________；

7. 台体的体积公式为V台体＝____________________________，

其中台体的上、下底面面积分别为S′，S，台体的高为h；

8. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式分别为_______________、________________、

____________________________________________；

9. 球体的体积公式为_________________，表面积公式为______________，其中R为球的半径．

1. 证明线面平行的关键点：

(1) 证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线；

(2) 利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行；

(3) 注意说明已知的直线不在平面内，即三个条件缺一不可．

2. 证明线面垂直的关键点：

(1) 解答此类问题的关键在于熟练把握空间垂直关系的判定与性质，把握平面图形中的一些线线垂直关系的灵活应用，这是证明空间垂直关系的基础；

(2) 由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心而展开，这是化解空间垂直关系难点的技巧所在．

3. 平行与垂直综合应用问题的处理策略：

(1) 探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点的存在问题，点多为中点或三等分点中的某一个，也可以根据相似知识寻找点．

(2) 折叠问题中平行与垂直关系的处理关键是结合图形弄清折叠前后变与不变的数量关系，尤其是隐含着的垂直关系．

1. 直线的倾斜角α的取值范围是____________.

2. 已知直线上不同的两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，当x1≠x2时，直线PQ的斜率为x2－x1(y2－y1)；当x1＝x2时，直线PQ的斜率____________.

3. 当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与直线的倾斜角α之间的关系是____________.

4. 直线方程的五种形式：

名称	方程	适用范围
点斜式	y－y0＝k(x－x0)	不含直线x＝x0
斜截式	y＝kx＋b	不含垂直于x轴的直线
两点式	y2－y1(y－y1)＝x2－x1(x－x1)	不含直线x＝x1(x1≠x2)和y＝y1 (y1≠y2)
截距式	a(x)＋b(y)＝1	不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式	Ax＋By＋C＝0(A，B不全为零)	平面直角坐标系内的直线都适用

1. 平行

(1) 已知两条直线l1，l2的斜率分别是k1，k2，它们在y轴上的截距分别是b1，b2，那么l1∥l2的充要条件是________________；l1与l2相交的充要条件是___________.

(2) 已知两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0，那么l1∥l2的充要条件是____________________________________________.

(3) 当两直线l1，l2的斜率都不存在时，则l1与l2____________.(填“平行”“相交”或“垂直”)

2. 垂直

(1) 已知两条直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，那么l1⊥l2⇔____________.

(2) 已知两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0，那么l1⊥l2 的充要条件是____________.

(3) 当两直线中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l1与l2的位置关系为___________.(填“平行”“相交”或“垂直”)

3. 两直线公共点的个数

已知两条直线l1：a1x＋b1y＋c1＝0，l2：a2x＋b2y＋c2＝0.

(1) 若方程组a2x＋b2y＋c2＝0(a1x＋b1y＋c1＝0，)(*)的解有一组，则l1与l2的位置关系为____________.

(2) 若方程组(*)的解有无穷多组，则l1与l2的位置关系为___________.

(3) 若方程组(*)无解，则l1与l2的位置关系为____________.

4. 距离

(1) 平面上两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的距离PQ＝____________________；

(2) 点P(x0，y0)到直线l：ax＋by＋c＝0的距离d＝__________________；

(3) 两平行直线ax＋by＋m＝0与ax＋by＋n＝0间的距离d＝__________.

1. 以(a，b)为圆心、r(r>0)为半径的圆的标准方程为________________________.

2. 圆的方程的一般形式是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，其中圆心坐标为_________________，半径为_______________________.

3. 以点A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径两端点的圆的方程为____________________________________________.

4. (1) 设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r.若点P在圆上，则____________；若点P在圆外，则___________；若点P在圆内，则____________.

(2) 设点P(m，n)，圆C：f(x，y)＝(x－a)2＋(y－b)2－r2＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(r>0，D2＋E2－4F>0)，则点P在圆C外⇔f(m，n)>0；点P在圆C上⇔f(m，n)＝0；点P在圆C内⇔f(m，n)<0.

1. 直线与圆的三种位置关系： ____________、___________、____________.

2. 直线与圆的位置关系的判定有两种方法：代数法和几何法．

(1) 代数法：联立直线与圆的方程，根据方程组的解的个数，判定它们的位置关系．

将直线方程代入圆的方程，得到关于x或y的一元二次方程．若Δ>0，则直线与圆相交；若Δ＝0，则直线与圆相切；若Δ<0，则直线与圆相离．

(2) 几何法：由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小来判断．

当____________时，直线与圆相交；当____________时，直线与圆相切；当____________时，直线与圆相离．

3. 圆的切线

(1) 若点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2上，则经过点P(x0，y0)的圆的切线方程为____________；若点P(x0，y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上，则经过点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.

(2) 当点P(x0，y0)在圆外时，切线有____________条．求圆的切线方程时，常设出切线的点斜式方程，然后运用点到直线的距离公式求出斜率．如果只能解出斜率的一个值，要注意斜率不存在的情形．

(3) 当点P(x0，y0)在圆x2＋y2＝r2外时，直线____________是切点弦所在的直线方程．

4. 圆的弦(直线与圆相交时)

(1) 当直线与圆相交时，设圆心到直线的距离为d，圆的半径为R，则直线被圆截得的弦长为2.

(2) 直线y＝kx＋b与圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB＝|x1－x2|＝k2(1)|y1－y2|.

1. 圆与圆的位置关系(圆O1，圆O2的半径分别为r1，r2，d＝O1O2)

关系		外离	外切	相交	内切	内含
图形
量化	几何观点	d>r1＋r2	d＝r1＋r2	|r2－r1|<d<r1＋r2	d＝|r1－r2|	d<|r1－r2|
	方程观点	Δ<0	Δ＝0	Δ>0	Δ＝0	Δ<0

2. 圆系及圆系的方程

(1) 当直线l：ax＋by＋c＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交时，经过直线l与圆C交点的圆系的方程可以设为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0，λ为待定参数．

(2) 经过圆C1：f1(x，y)＝0与圆C2：f2(x，y)＝0交点的圆的方程为_______________________________.

(3) 已知圆C1：f1(x，y)＝0与圆C2：f2(x，y)＝0有公共点(二次项系数相同)，那么方程_____________________表示经过它们交点的直线；如果两圆有两个交点，那么方程____________________表示公共弦所在直线；如果两圆外切，那么方程_____________________表示公切线方程．

3. 圆C1：f1(x，y)＝0与圆C2：f2(x，y)＝0外离时，其中圆心分别为C1(a，b)，C2(m，n)，半径分别为r1，r2，则外公切线长为_________________，内公切线长为______________________.

1. 圆的方程：以点C(a，b)为圆心、r为半径的圆的标准方程为___________________；方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充分条件是___________________，此圆的圆心为2(E)，半径为______________________.

2. 点与圆：

(1) 点在圆外：过该点有2条切线，点与圆上的点的距离的最大值、最小值的求法．

(2) 点在圆上：过该点只有1条切线，圆心与切点的连线垂直于切线．

(3) 点在圆内：过该点没有切线，点与圆上的点的距离的最大值、最小值的求法．

3. 直线与圆：设圆心到直线的距离为d，圆的半径为r；将直线方程代入圆的方程得到关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ.

(1) 相离：几何法，d>r；代数法，Δ<0.

(2) 相切：几何法，d＝r；代数法，Δ＝0.

圆的切线方程的求法．

(3) 相交：几何法，d<r；代数法，Δ>0.

弦长为2，经过直线ax＋by＋c＝0与圆交点的圆的方程——圆系：

x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(ax＋by＋c)＝0.

4. 圆与圆：两圆Ci：x2＋y2＋Dix＋Eiy＋Fi＝0(i＝1 2)的圆心距为d，两个圆的半径分别为R，r.

(1) 外离：两圆有4条公切线，两圆上两点间的距离的最大值为d＋R＋r，最小值为d－R－r.

(2) 外切：两圆有3条公切线，过切点的公切线的方程为

(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.

(3) 相交：两圆有2条公切线，公共弦所在直线的方程为

(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，

公共弦长为2.

(4) 内切：两圆有1条公切线．

(5) 内含：两圆无公切线．

1. 椭圆的第一定义：

把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于____________(大于F1F2)的点的轨迹叫作椭圆．这两个定点叫作椭圆的焦点，两焦点间的距离叫作椭圆的焦距，用符号表示为_____________________(2a>F1F2)．

2. 椭圆的第二定义：

平面内，到定点F(c 0)的距离与到定直线l：x＝c(a2)的距离之比是常数a(c)(a>c>0)的动点的轨迹叫作椭圆．定义的符号表示为_________________.

3. 椭圆的标准方程：

(1) 椭圆的标准方程有两种形式：__________________________________；

(2) 熟记a，b，c三个量之间的关系：a2＝b2＋c2.

注意：焦点分别在x轴和y轴上对应的椭圆方程的区别与联系．若已知焦点在x轴或y轴上，则标准方程唯一；若无法确定焦点的位置，则需要考虑两种形式．

1. 椭圆的标准方程及简单的几何性质

条件	2a>2c，a2＝b2＋c2，a>0，b>0，c>0
标准方程 及图形	a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)		a2(y2)＋b2(x2)＝1(a>b>0)
范围		|x|≤a，|y|≤b		|y|≤a，|x|≤b
对称性		曲线关于原点、x轴、y轴对称
顶点		长轴顶点(±a 0) 短轴顶点(0，±b)		长轴顶点(0，±a) 短轴顶点(±b 0)
焦点		(±c 0)		(0，±c)
长、短轴的长度		长轴长2a，短轴长2b
焦距		F1F2＝2c(c2＝a2－b2)
准线方程		x＝±c(a2)		y＝±c(a2)
离心率		e＝a(c)∈(0 1)，e越大，椭圆越扁，e越小，椭圆越圆

2. 点P(x0，y0)和椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)的关系

(1) 点P(x0，y0)在椭圆外⇔0()＋0()>1；

(2) 点P(x0，y0)在椭圆上⇔0()＋0()＝1；

(3) 点P(x0，y0)在椭圆内⇔0()＋0()<1.

定义		(1) 第一定义：平面上，到两定点F1，F2的距离之差的绝对值为正常数2a(小于两定点间距离2c)的动点轨迹叫作双曲线． (2) 双曲线的定义用代数式表示为|MF1－MF2|＝2a，其中2a< ____________. (3) 当MF1－MF2＝2a时，曲线仅表示靠近____________的双曲线的一支；当MF1－MF2＝－2a时，曲线仅表示靠近____________的双曲线的一支；当2a＝F1F2时，轨迹为____________________________；当2a>F1F2时，动点轨迹不存在． (4) 第二定义：平面上，到定点F的距离与到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的动点轨迹叫作双曲线．
图形
标准方程			a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)			a2(y2)－b2(x2)＝1(a>0，b>0)
几何性质	范围			|x|≥a	|y|≥a
	焦点			F1(－c 0)，F2(c 0)	F1(0，－c)，F2(0，c)
	顶点			A1(－a 0)，A2(a 0)	A1(0，－a)，A2(0，a)
	对称性			关于x轴、y轴成轴对称，关于原点成中心对称
	实、虚轴长			实轴A1A2长为2a，虚轴B1B2长为2b
	离心率			e＝a(c)的含义：双曲线上任意一点到一个焦点F的距离与到这个焦点对应的准线l的距离之比
	准线方程			x＝±c(a2)	y＝±c(a2)
	渐近线方程			______________	y＝±b(a)x

几何性质	范围	|x|≥a	|y|≥a
	焦点	F1(－c 0)，F2(c 0)	F1(0，－c)，F2(0，c)
	顶点	A1(－a 0)，A2(a 0)	A1(0，－a)，A2(0，a)
	对称性	关于x轴、y轴成轴对称，关于原点成中心对称
	实、虚轴长	实轴A1A2长为2a，虚轴B1B2长为2b
	离心率	e＝a(c)的含义：双曲线上任意一点到一个焦点F的距离与到这个焦点对应的准线l的距离之比
	准线方程	x＝±c(a2)	y＝±c(a2)
	渐近线方程	______________	y＝±b(a)x

2. (1) 等轴双曲线：实轴和虚轴长度相等的双曲线叫作等轴双曲线，也叫等边双曲线．

(2) 等轴双曲线⇔离心率e＝___⇔两条渐近线垂直(位置关系)⇔实轴长＝虚轴长．

(3) 双曲线的离心率e与a(b)e2－1(b)都是刻画双曲线的开口大小的量．

3. 焦半径：双曲线上的点P(x0，y0)与左(下)焦点F1或右(上)焦点F2之间的线段长度称作焦半径，分别记作r1＝PF1，r2＝PF2.

(1) 双曲线的标准方程为a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)．若点P在右支上，则r1＝____________，r2＝ex0－a；若点P在左支上，则r1＝－ex0－a，r2＝－ex0＋a.

(2) 双曲线的标准方程为a2(y2)－b2(x2)＝1(a>0，b>0)．若点P在上支上，则r1＝____________，r2＝ey0－a；若点P在下支上，则r1＝－ey0－a，r2＝－ey0＋a.

4. 焦点弦：AB为经过双曲线a2(y2)－b2(x2)＝1(a>0，b>0)的焦点的弦，通径长为____.

5. 焦点三角形的面积：若P为双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，∠F1PF2＝θ，则S△PF1F2＝_________.

6. 中点弦：过点P(x0，y0)的直线与双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)交于A，B两点，且P恰为弦AB的中点，则kAB＝_________.

1. 抛物线的几何性质

方程	焦点	准线	焦半径	图形
y2＝2px (p>0)	F，0(p)	x＝－2(p)	x0＋2(p)
y2＝－2px (p>0)	F，0(p)	x＝2(p)	－x0＋2(p)

x2＝2py (p>0)	F2(p)	y＝－2(p)	y0＋2(p)
x2＝－2py (p>0)	F2(p)	y＝2(p)	－y0＋2(p)

2. 点P(x0，y0)和抛物线y2＝2px(p>0)的关系

(1) 点P在抛物线内(含焦点)⇔y0(2) <2px0；

(2) 点P在抛物线上⇔y0(2)＝2px0；

(3) 点P在抛物线外⇔y0(2)>2px0.

3. 焦半径：抛物线上的点P(x0，y0)与焦点F的距离PF称作焦半径．

(1) y2＝2px(p>0)，PF＝x0＋2(p)；

(2) y2＝－2px(p>0)，PF＝－x0＋2(p)；

(3) x2＝2py(p>0)，PF＝y0＋2(p)；

(4) x2＝－2py(p>0)，PF＝－y0＋2(p).

4. 焦点弦：AB为抛物线y2＝2px(p>0)经过焦点F的弦(简称焦点弦)．已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的倾斜角为α，那么：

(1) x1x2＝4(p2)；(2) y1y2＝－p2；(3) AB＝x1＋x2＋p＝sin2α(2p)，当且仅当α＝2(π)时，ABmin＝2p.

5. 中点弦：P(x0，y0)为抛物线y2＝2px(p>0)内一点，过点P的直线交抛物线y2＝2px(p>0)于A，B两点，且点P恰好平分弦AB，则kAB＝y0(p).

1. 直线与圆锥曲线的位置关系主要是指公共点问题、相交弦问题及其他综合问题．

2. 解决这类问题的常用方法是转化为研究它们所对应的方程组解的个数问题．对相交所得弦的长度问题及中点弦问题，要恰当运用“设而不求”的方法．

3. 重视圆锥曲线的定义在解题中的作用，有时可以避免很多繁杂的计算，进而提高解题效率．

4. 经过圆锥曲线焦点的弦问题，要注意运用统一定义来处理．椭圆a2(x2)＋b2(y2)＝1(a>b>0)与双曲线a2(x2)－b2(y2)＝1(a>0，b>0)的通径都是a(2b2)，抛物线的通径为2p，是经过焦点的最短弦.

1. 一般而言，对一类问题的__________、__________的求解方法称为算法．算法的主要特点： __________、__________.算法的表述形式： __________、__________、__________.

2. 常用流程图符号：__________、_________、__________、__________、__________.

3. 四种基本的算法语句分别是__________、__________________、__________、__________.

4. 赋值语句的一般格式是：x←y，表示将y的值赋给x.

5. 输入语句的一般格式是：Read a，b，表示输入的数据依次赋给a，b.输出语句的一般格式是：Print x，表示输出运算结果x.

6. 算法中的选择结构是由__________语句来实现的，条件语句的一般形式是 _____

7. 算法中的循环结构是由__________语句来实现的，循环语句有两种形式：

(1) 当循环的次数已经确定，可用For语句来表示．一般形式为：

____________________________________________.

(2) 当循环次数不确定时，用__________语句．一般形式为：______________

一、 抽样方法

1. 简单随机抽样

设一个总体的个体数为N，如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本，且每次抽取时各个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单随机抽样．如果用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么每个个体被抽到的概率等于________.

常用的简单随机抽样方法有：①__________，②______________.

2. 系统抽样

当总体的个体数较多时，可将总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每个部分抽取一个个体，得到所需的样本，这样的抽样叫作系统抽样．

系统抽样的步骤可概括为：

(1) 采用随机的方式将总体中的个体编号．

(2) 为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔k.当n(N)是整数时，k＝____；当n(N)不是整数时，通过从总体中剔除个体使剩下的总体中的个体数N′能被n整除，这时k＝_______.　

(3) 在第1段中采用________________确定起始的个体编号l.

(4) 按照事先确定的规则抽取样本．

3. 分层抽样

当总体由差异明显的几部分组成时，为使样本更充分地反映总体的情况，常将总体分成几部分，然后按照各部分所占的比例进行抽样，这样的抽样方法叫作分层抽样，其中所分成的各部分叫作层，每层抽样时采取_______________或__________.

二、 总体分布特征数的估计

1. 频率分布表

求一组数据的频率分布，可按以下三步进行：(1) 数出落在各小组内的数据的个数，即__________；(2) 每个小组的频数与样本容量的比值叫作这一小组的__________；(3) 列出频率分布表．

2. 频率分布直方图：图中纵轴是_______，_______________等于相应组的频率. 各个小矩形的面积的和等于__________.

3. 样本平均数＝____________________，

样本方差s2＝______________________________________.

1. 随机事件及其概率

(1) 在一定的条件下必然要发生的事件，叫作__________.

(2) 在一定的条件下不可能发生的事件，叫作______________.

(3) 在一定的条件下可能发生也可能不发生的事件，叫作__________.

(4) 在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率n(m)总是接近于某个常数，且在它附近摆动，这时就把这个常数叫作事件A发生的_________，记作P(A)．

2. 古典概型

我们把具有：①试验中所有可能出现的基本事件只有__________，②每个基本事件出现的可能性__________，以上两个特点的概率模型称为__________.如果一次试验中的等可能基本事件共有n个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是____；如果某个事件A包含了其中的m个等可能的基本事件，那么事件A发生的概率为P(A)＝______.

1. 几何概型的概念

如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域的__________(长度、面积或体积)成比例，那么称这样的概率模型为几何概型．

2. 几何概型的概率公式

在区域D中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域d内”为事件A，则事件A发生的概率为________________________.

3. 几何概型的特点

(1) 试验中所有可能出现的结果(基本事件)有__________；

(2) 每个基本事件出现的_____________.

1. 互斥事件：不可能__________的两个事件叫互斥事件．

2. 对立事件：两个事件必有一个发生的__________叫对立事件. 互为对立的两个事件一定__________，但互斥事件不一定是__________事件．

3. 互斥事件的概率

如果事件A，B互斥，那么事件A＋B发生(即A，B中有一个发生)的概率等于事件A，B分别发生的__________，即______________________.推广：如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么_____________________________________________.

4. 对立事件的概率

对立事件的概率的和为__________，即__________________，它的变形形式为P()＝_________.

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