初中数学每日一练一题（每日一练初中数学经典习题）

初中数学每日一练一题（每日一练初中数学经典习题）又∵ ∠E=∠1（已知）∠E=∠3（两直线平行，同位角相等）∴ ∠ADC=∠EGC=90°∴ AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）∴ ∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等）

如图，已知：AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，∠E=∠1．求证：AD平分∠BAC．

【解析】已知AD⊥BC于，EG⊥BC，根据平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行，得到AD∥EG，再利用平行线的性质和已知条件证得∠2=∠3，即可得结论．

【详解】

∵ AD⊥BC于D，EG⊥BC于G，（已知）

∴ ∠ADC=∠EGC=90°

∴ AD∥EG，（同位角相等，两直线平行）

∴ ∠1=∠2，（两直线平行，内错角相等）

∠E=∠3（两直线平行，同位角相等）

又∵ ∠E=∠1（已知）

∴ ∠2=∠3，（等量代换）

∴ AD平分∠BAC．（角平分线的定义）

如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为_____．

【解析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，在求得∠BCP=30°，在Rt△ECP中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求得PD的长．

【详解】

过P作PE⊥OB于E，

∵ PD⊥OA，PE⊥OB，∠AOP=∠BOP=15°

∴ ∠BOA=30°，PE=PD

∵ PC∥OA

∴ ∠BOA=∠BCP=30°

又△ECP为直角三角形，且PC=4

∴ PE=2，PD=2

如图，AB是⊙O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB ADCD 垂足为D，AD交⊙O 于E 连接CE.

（1）求证：CD 是⊙O 的切线

（2）若E是弧AC的中点，⊙O 的半径为1，求图中阴影部分的面积。

【解析】

（1）由AC为角平分线得到一对角相等，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到OC与AD平行，根据AD垂直于CD，得到OC垂直于CD，即可得证；

（2）根据E为弧AC的中点，得到弧AE=弧EC，利用等弧对等弦得到AE=EC，可得出弓形AE与弓形EC面积相等，阴影部分面积拼接为直角三角形DEC的面积，求出即可．

【详解】

（1）∵ AC为∠DAB的平分线

∴ ∠DAC=∠BAC

∵ OA=OC

∴ ∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OCA，∴OC∥AD

∵ AD⊥CD

∴ OC⊥CD

∴ CD与圆O相切

（2）连接EB，交OC于F

∵ E为弧AC的中点

∴ 弧AE==弧EC，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA

又∵ ∠EAC=∠OAC

∴ ∠ECA=∠OAC，∴CE∥OA

又∵ OC∥AD

∴ 四边形AOCE是平行四边形，∴CE=OA，AE=OC

又∵ OA=OC=1

∴ 四边形AOCE是菱形

∵ AB为直径，得到∠AEB=90°

∴ EB∥CD

∵ CD与⊙O相切，C为切点

∴ OC⊥CD，∴OC∥AD

∵ 点O为AB的中点

∴ OF为△ABE的中位线