高三数学第一轮复习函数基本性质（函数的概念图像与性质）

高三数学第一轮复习函数基本性质（函数的概念图像与性质）两集合A，B映射1．函数与映射的概念解释:函数

各位同学大家好，今天我们来一起复习一下函数这个大专题，函数这个大专题我们可以简化为三个部分：函数的概念、图像与性质 十大基本初等函数 导数及其应用。

历年高考中，函数专题分值稳定在22~27分，一般命制2～3道小题，1道解答题．高考的基础小题主要考查函数性质、图象，分段函数求值等，综合性较强的小题一般考查导数、不等式以及函数的零点等综合性问题．解答题一般分为两问，第一问一般是求曲线的切线方程，求函数的单凋区间，求函数的极值点或已知曲线的切线方程求参数等，属于基础问题．第二问往往是利用导数证明不等式，依据不等式恒成立求参数的取值范围，求函数的零点等问题．高考着重考查考生对函数的思想，转化的思想，数形结合的思想，分类讨论的思想的理解与运用.

好，下面让我们一起来看一下第一部分的内容：函数的概念，图像及其基本性质。

参加2020年及以后高考的考生请注意，映射的概念已经在新的课改中给删掉了，请自行略过映射的相关知识点。

第一讲　函数及其表示

1．函数与映射的概念

解释:

函数

映射

两集合A，B

设A，B是两个非空数集

设A，B是两个非空集合

对应关系f：A→B

如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中有唯一的数f(x)和它对应

如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中有唯一的元素y与之对应

名称

称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数

称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射

记法

y＝f(x)，x∈A

对应f：A→B是一个映射

(1)映射是函数的推广，函数是特殊的映射：

当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数；

(2)映射的两个特征：

第一，在A中取元素的任意性；

第二，在B中对应元素的唯一性；

映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．

2.函数

(1)函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．

(2)函数的三要素：定义域、值域、对应法则.

(3)函数的表示法：解析法、图象法、列表法.

(4)两个函数只有当定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才相同．所以判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致．

根据函数的概念，我们可以得到一个很重要的结论：

与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多只有1个交点．

3．分段函数

在一个函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

4. 函数解析式的求法

(1)凑配法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式．

(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法．

(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，即令t＝g(x)，反解出x，代入原式可得f(t)，改写即得f(x)．此时要注意新元的取值范围．

(4)方程思想：已知关于f(x)与或f(－x)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．

(5)赋值法：给变量赋予某些特殊值，从而求出函数解析式．

5. 分段函数问题的求解策略

(1)分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解．

(2)分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值(范围)是否适合相应的分段区间．

第二讲　函数的定义域值域

1．函数的定义域

函数y＝f(x)的定义域

(1)求定义域的步骤：

①写出使函数式有意义的不等式(组)；

②解不等式(组)；

③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出)

(2)求函数定义域的主要依据

①整式函数的定义域为R.

②分式函数中分母不等于0.

③偶次根式函数被开方式大于或等于0.

④一次函数、二次函数的定义域均为R.

⑤函数f(x)＝x0的定义域为{x|x≠0}.

⑥指数函数的定义域为R.

⑦对数函数的定义域为(0，＋∞).

函数定义域的求解策略

(1)已知函数解析式：构造使解析式有意义的不等式(组)求解．

(2)实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．

(3)抽象函数：

①若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b求出；

②若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．

2．函数的值域

基本初等函数的值域：

(1)y＝kx＋b(k≠0)的值域是R.

(2)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域是：

当a>0时，值域为

；

当a<0时，值域为

.

(3)

的值域是{y|y≠0}.

(4)y＝ax(a>0且a≠1)的值域是(0，＋∞).

(5)y＝logax(a>0且a≠1)的值域是R.

求函数值域的一般方法

(1)分离常数法：形如

的函数；

(2)反解法：形如

的函数；

(3)配方法：形如

的函数；

(4)不等式法；

(5)单调性法：通过研究函数单调性，求出最值，进而确定值域；

(6)换元法：形如

的函数；

(7)数形结合法：借助函数图象确定函数的值域。

(8)导数法．

我们需要注意解决函数问题时，一定要注意函数的定义域，即定义域优先原则，除此之外，我们还需要注意

1．定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．

2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集.

3．函数f(x)与f(x＋a)(a为常数a≠0)的值域相同．

第三讲　函数的单调性与最值

1．单调性的定义

(1)单调函数的定义

解释:

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D称为增区间.

当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D称为减区间.

单调性与单调区间密不可分，单调区间是定义域的子区间．

(2)证明单调性的步骤：

证明函数的单调性一般从定义入手，也可以从导数入手．

①利用定义证明单调性的一般步骤是

a.∀x1，x2∈D，且x1<x2

b.计算f(x1)－f(x2)并判断符号

c.结论

②设y＝f(x)在某区间内可导，若f′(x)≥0，则f(x)为增函数，若f′(x)≤0，则f(x)为减函数(f′(x)不恒等于零)．

求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数，再求单调区间．

(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解．

(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直接写出它的单调区间．

(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．

(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：

①求函数的定义域；

②求简单函数的单调区间；

③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．

注意：

(1)求函数单调区间，定义域优先．

(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．

2．基本函数的单调性

(1)一次函数y＝kx＋b(k≠0)：

①k>0时，增区间(－∞，＋∞)；

②k<0时，减区间(－∞，＋∞)．

(2)反比例函数

：

①k>0时，减区间(－∞，0)，(0，＋∞)；

②k<0时，增区间(－∞，0)，(0，＋∞)．

(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)：

①a>0时，增区间

，减区间

；

②a<0时，增区间

，减区间

，

(4)指数函数y＝ax(a>0且a≠1)：

①a>1时，增区间(－∞，＋∞)；

②0<a<1时，减区间(－∞，＋∞)．

(5)对数函数y＝logax(a>0且a≠1)：

①a>1时，增区间(0，＋∞)；

②0<a<1时，减区间(0，＋∞)．

3．与单调性有关的结论

(1)若f(x)，g(x)均为某区间上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)为某区间上的增(减)函数．

(2)若f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数．

(3)复合函数的单调性法则是“同增异减”，即若两个简单函数的单凋性相同，则这两个函数的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数.

(4)奇函数在关于原点对称区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称区间上的单凋性相反.

4．函数的最值

设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意x∈I，都有f(x)≤M，②存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么称M是函数y＝f(x)的最大值；类比定义y＝f(x)的最小值．

若函数f(x)在闭区间[a，b]上是减函数，则f(x)的最大值为f(a)，最小值为f(b)，值域为[f(b)，f(a)].

闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在区间端点取到．开区间上的“单峰”函数一定存在最大或最小值．

函数单调性应用问题的常见类型及解题策略

(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．

(2)利用单调性求解最值问题，应先确定函数的单调性，然后再由单调性求解．

(3)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意分点处左、右端点函数值的大小关系．

解函数不等式问题的一步步骤

第一步：(定性)确定函数f(x)在给定区间上的单调性；

第二步：(转化)将函数不等式转化为f(M)<f(N)的形式；

第三步：(去f)运用函数的单调性“去掉”函数的抽象符号“f”，转化成一般的不等式或不等式组；

第四步：(求解)解不等式或不等式组确定解集；

第五步：(反思)反思回顾．查看关键点、易错点及解题规范．

注：抽象函数问题一般用“赋值法”或寻找函数模型求解．

第四讲　函数的奇偶性与周期性

1．奇函数、偶函数、奇偶性

对于函数f(x)，其定义域关于原点对称：

(1)如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就是奇函数；

(2)如果对于函数定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就是偶函数；

(3)如果一个函数是奇函数(或偶函数)，那么称这个函数在其定义域内具有奇偶性，否则，则称这个函数既不是奇函数也不是偶函数．

2．函数的奇偶性的判定

(1)①判定定义域是否关于原点对称(定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件)；②为便于判断函数的奇偶性，有时先将函数式化简，再利用定义的等价形式：f(－x)＝±f(x)⇔f(－x)∓f(x)＝0⇔

进行判断．

(2)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

(3)对于复合函数F(x)＝f[g(x)]：g(x)为偶函数⇒F(x)为偶函数；g(x)为奇函数且f(x)为偶函数⇒F(x)为偶函数；g(x)为奇函数且f(x)为奇函数⇒F(x)为奇函数．因此复合函数F(x)＝f[g(x)]奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶．

判断函数的奇偶性的方法

(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点对称的区间，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的区间，再判断f(－x)是否等于f(x)或－f(x)，据此得出结论．

(2)图象法：奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y轴)对称．

(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数．(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)

利用函数的奇偶性求参数的思路：利用函数的奇偶性的定义转化为f(－x)＝±f(x)，建立方程，使问题得到解决，但是在解决选择题、填空题时可采用特殊值法求解．

3．奇偶函数的性质

(1)奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；

(2)若奇函数f(x)在x＝0处有意义，则f(0)＝0；

(3)若奇函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性一致；

若偶函数在关于原点对称的两个区间上分别单调，则其单调性相反.

(4)若函数f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)，反之也成立．

4．一些重要类型的奇偶函数

(1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数；

(2)函数

为奇函数；

(3)函数

为奇函数；

(4)函数

为奇函数．

5．周期函数

(1)若f(x)对于定义域中任意x均有f(x＋T)＝f(x)(T为不等于0的常数)，则f(x)为周期函数．常数T为周期．

(2)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则f(x)是周期函数，b－a是它的一个周期．

函数对称性的三个常用结论

(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；

(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)关于点(b 0)中心对称．

应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法

(1)求函数值

将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．

(2)求解析式

将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式．

(3)求函数解析式中参数的值

利用待定系数法求解，根据f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．

(4)画函数图象和判断单调性

利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．

几种常见抽象函数的周期

2.求抽象函数周期的方法

递推法：若f(x＋a)＝－f(x)，则f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，所以2a为f(x)的一个周期；

换元法：若f(x＋a)＝f(x－a)，令x－a＝t，则x＝t＋a，则f(t＋2a)＝f(t＋a＋a)＝f(t＋a－a)＝f(t)，所以2a为f(x)的一个周期．

若函数f(x)关于x＝a和x＝b(a≠b)对称(或f(x＋a)、f(x＋b)均为偶函数)，则f(x)为周期函数，且2|b－a|为一个周期；

若函数f(x)关于(a 0)，(b 0)对称(或f(x＋a)、f(x＋b)均为奇函数)，则f(x)为周期函数，且2|b－a|为一个周期；

若函数f(x)关于(a 0)和直线x＝b对称(或f(x＋a)为奇函数、f(x＋b)为偶函数)，则f(x)为周期函数，且4|b－a|为一个周期．

特别提醒：f(a＋x)＝f(b＋x)⇔f(x)为周期函数，|b－a|必为周期；

f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)图象关于直线对称，

即：和为定值即对称，对称轴即为和的一半，差为定值即周期周期即为差的绝对值．

抽象函数问题的常用解法：

①赋值法；

②数形结合法——画出符合题意的函数示意图，观察图形求解．

③模型法：如若f(xy)＝f(x)＋f(x)可联想y＝logax；若f(x＋y)＝f(x)·f(y)可联想y＝a^x等．

第五讲　函数的图象

1．利用描点法作函数图象的流程

2．平移变换

3．伸缩变换

4．对称变换

5．翻折变换

函数对称的重要结论

(1)若f(m＋x)＝f(m－x)恒成立，则y＝f(x)的图象关于直线x＝m对称．

(2)设函数y＝f(x)定义在实数集上，则函数y＝f(x－m)与y＝f(m－x)(m>0)的图象关于直线x＝m对称．

(3)若f(a＋x)＝f(b－x)，对任意x∈R恒成立，则y＝f(x)的图象关于对称．

(4)函数y＝f(a＋x)与函数y＝f(b－x)的图象关于对称．

(5)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称．

(6)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)中心对称．

2．函数图象平移变换八字方针

(1)“左加右减”，要注意加减指的是自变量．

(2)“上加下减”，要注意加减指的是函数值．

函数图象的画法

(1)直接法：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出．

(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．

(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、伸缩、翻折、对称等变换得到，可利用图象变换作出．

注：的图象是以为对称中心以直线为渐近线的双曲线．

易错提醒：

(1)画函数的图象一定要注意定义域．

(2)利用图象变换法时要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．

函数图象的识辨可从以下几方面入手

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；

(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．

用特殊点法破解函数图象问题需寻找特殊的点，即根据已知函数的图象或已知函数的解析式，取特殊点，判断各选项的图象是否经过该特殊点，从而得正确的选项．在求函数值的过程中运算一定要认真，从而准确进行判断.

数形结合思想是学习函数的一条主线，有关函数的问题常用函数的图象来研究：

(1)方程的根的个数为相应函数图象与x轴交点的个数，或将方程变形后，转化为两个熟悉的函数的图象交点个数．

(2)已知含参数的方程根的情况，可用数形结合法求参数的范围，一般先把方程变形成一端含参数，再转化为两个熟悉的函数的图象交点个数问题．

(3)有关函数不等式的问题，常常转化为两个函数图象的上、下关系来解．

第六讲　函数与方程

1．函数的零点

(1)函数零点的定义

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．

注：函数的零点不是点．是函数f(x)与x轴交点的横坐标，而不是y＝f(x)与x轴的交点．

(2)几个等价关系

方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点.

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)

如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．

2．二分法

(1)对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：

①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精确度ε；

②求区间(a，b)的中点c；

③计算f(c)；

(Ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；

(Ⅱ)若f(a)·f(c)<0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；

(Ⅲ)若f(c)·f(b)<0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．

④判断是否达到精确度ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.

3．有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．

(4)由函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0，如图所示．所以f(a)·f(b)<0是y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．

(5)若函数f(x)在[a，b]上单调，且f(x)的图象是连续不断的一条曲线，则f(a)·f(b)<0⇒函数f(x)在[a，b]上只有一个零点．

2.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系

确定函数零点所在区间的方法

(1)解方程法：当对应方程f(x)＝0易解时，可先解方程，然后再看求得的根是否落在给定区间上．

(2)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．

(3)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．

函数零点个数的判定有下列几种方法

(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点．

(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是连续的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点．

(3)数形结合法：利用函数y＝f(x)的图象与x轴的交点的个数，从而判定零点的个数，或转化为两个函数图象交点个数问题．画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

已知函数有零点(方程有根)求参数值常用的方法和思路：

(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；

(3)数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解．

比较零点大小常用方法：

(1)确定零点取值范围，进而比较大小；

(2)数形结合法．

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——完结——