高中关于能量守恒的定律（名师支招难度上升）

圣人 2023-09-28 14:15:57 128

高中关于能量守恒的定律（名师支招难度上升）链条的状态2是链条刚刚滑离桌面的时刻。动能是要求的。链条的重心在桌面下方1/2L处，所以势能是-1/2L*mg.按机械能守恒联立方程：-1/32mgL 0=-1/2L*mg 1/2*m*v2. 解得v=√（15/16*gl）分析：链条的状态1如上图所示，动能为0，势能需要先定一个参考平面，从原则上讲，这个参考面可以随意定，但为了解题方便，要选一个恰当的。这道题比较好的参考面为：桌面。这样在桌面的3/4长度链条势能为0.垂在下方的链条，其重心在桌面下方1/8L处，所以势能是-1/8L*（1/4m）g=-1/32mgL.所谓总的机械能不变就是说，物体从状态1运动到状态2，状态1的势能加动能等于状态2的势能加动能。基本题型

高中物理力学部分最综合的部分是能量守恒与动量守恒。由于动量守恒放到了选修3-5，高考难度大幅下降。为了维持力学题目应有的难度，机械能守恒或者说与能量有关题目的难度相比以前上升了。

今天，轻轻名师黄老师将帮助大家更好的理解能量守恒定律这一知识点。本篇文章先扼要地阐述能量守恒定律，再通过两道题目的解答帮助同学们加深理解。

什么是机械能守恒定律？

我们先复习一下课本中关于机械能守恒定律的表述：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，而总的机械能保持不变。

所谓总的机械能不变就是说，物体从状态1运动到状态2，状态1的势能加动能等于状态2的势能加动能。

基本题型

分析：链条的状态1如上图所示，动能为0，势能需要先定一个参考平面，从原则上讲，这个参考面可以随意定，但为了解题方便，要选一个恰当的。这道题比较好的参考面为：桌面。这样在桌面的3/4长度链条势能为0.垂在下方的链条，其重心在桌面下方1/8L处，所以势能是-1/8L*（1/4m）g=-1/32mgL.

链条的状态2是链条刚刚滑离桌面的时刻。动能是要求的。链条的重心在桌面下方1/2L处，所以势能是-1/2L*mg.按机械能守恒联立方程：-1/32mgL 0=-1/2L*mg 1/2*m*v2. 解得v=√（15/16*gl）

注意状态1求势能时，下垂链条质量是1/4m，不能顺手写成m 同时势能要严格带正负号，虽然确实可以将全过程理解成链条的重力势能释放掉1/2mgL-1/32mgL，这部分能量转化为动能，这样就不用考虑势能的正负号，但题目复杂时很容易在大脑中盘算错，不建议同学们这样分析。

实际的高考题不会如此简单，我们来逐渐加深。如果链条一开始是有初速度v0的，那么方程变为：

-1/32mgL 1/2*m* v02 = -1/2L*mg 1/2*m*v2，求出未知数v即得解。

如果链条与桌面是有摩擦的，整个过程摩擦力做功为Wf.这时应将机械能守恒定律扩充为能量守恒定律。状态1的能量包括链条初始势能与动能，状态2的能量包括链条这时的势能、动能及因摩擦产生的热量，这个热量等于Wf.方程为：

-1/32mgL 1/2*m* v02 = -1/2L*mg 1/2*m*v2 Wf，将v解出即可。

我们可以继续改造这道题，比如在链条的左侧连一根处于原长的弹簧，弹性系数k已知，弹簧另一端固定，链条无初速度，与桌面有摩擦，问链条刚刚从桌面滑出时的速度？这时的能量守恒多了弹性势能的参与。状态1 与状态2的位置不变。

分析如下：状态1的能量：重力势能-1/32mgL，动能0，弹性势能0.状态2的能量：重力势能-1/2L*mg，动能1/2mv2，弹性势能1/2*kL2 热量Wf 然后这些量的总和相等：

-1/32mgL=-1/2L*mg 1/2mv2 1/2*kL2 Wf，同样这个方程只有一个未知数v，求出就是答案。只要从状态1到状态2中间出现摩擦力，摩擦力做的功或者说热量，把热量放在状态2的总能量中。

当然，目前为止我还没有看到把链条和弹簧组合在一起的题目，常规都是弹簧和小球的组合，原理是一样的。同学们看到这里会觉得，能量守恒似乎挺简单，将两个状态下各个量的表达式列出来，然后联立方程就行了。从本质上讲是这样的，但问题是你能否将题目中物体运动的过程想清楚，如果能想清楚，高考物理没有难题可言。所以同学们在做题时要以理清思路为目标，把题目分成一个个简单小过程。千万不能稀里糊涂的刷题，纯粹浪费时间，不如多背两个英语单词。

下面再分析一下江苏高考2015年第9题。

9．（4分）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为m、套在粗糙竖直固定杆A处的圆环相连，弹簧水平且处于原长，圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，AC=h，圆环在C处获得一竖直向上的速度v，恰好能回到A，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，则圆环（　　）

高中关于能量守恒的定律（名师支招难度上升）(1)

A．下滑过程中，加速度一直减小

B．下滑过程中，克服摩擦力做的功为mv2

C．在C处，弹簧的弹性势能为mv2﹣mgh

D．上滑经过B的速度大于下滑经过B的速度

分析：这道题是选择题最后一题，出题者其实是用心良苦，怕大家做不出，通过选项A到D引导大家的思路。先考虑下滑过程，圆环水平方向静止，所以只考虑竖直方向：圆环受重力，弹簧拉力在竖直方向上的分力，摩擦力。随着圆环的下滑，弹簧拉力在竖直方向上的分力变大，而摩擦力的变化比较复杂（先变大后变小），但我们可以避开对摩擦力的分析。因为题目中说：圆环从A处由静止开始下滑，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零。这就意味着从A到B圆环做加速度越来越小的加速运动，在B点处重力等于弹簧拉力在竖直方向上的分力与摩擦力之和。过了B点，弹簧拉力在竖直方向上的分力继续变大，整体圆环受到向上的力，作加速度越来越大，速度越来越小的减速运动，最终停在C处。于是A选项错误。

然后求摩擦力做的功，由于摩擦力是变化的，不能简单地用摩擦力乘路程求出功的大小，只能用能量守恒来解。参考面定在C处，从A下滑至C，A处能量：重力势能mgh 弹性势能0，动能0.

C处能量：重力势能0 弹性势能Et，动能0.热量（摩擦力做功）Wf1 有：mgh=Et Wf1…………1

从C上滑到A，C处能量：重力势能0 弹性势能Et，动能1/2mv2

A处能量：重力势能mgh 弹性势能0，动能0 摩擦力做功Wf2.

有：Et 1/2mv2=mgh Wf2…………2

将1式代入得1/2mv2= Wf1 Wf2，然后需要证明圆环在上滑与下滑两个过程中，摩擦力做功相等。摩擦力的大小取决于压力的大小，而压力取决于弹簧的伸长量和弹簧与竖直方向的夹角，即摩擦力只与圆环位置有关，与运动方向无关。在圆环上滑或下滑时，经过同一个位置的摩擦力是相同的，这样同一个位置附近圆环向上或向下运动相同长度的微小过程中摩擦力做功相同，而向上或向下运动的始末点正好对调，于是向上或向下运动的微小过程的摩擦力做功总和相同，即Wf1= Wf2=1/4mv2，所以B选项正确。

将Wf2=1/4mv2代入2式，迅速求得Et= mgh-1/4mv2，C选项错误。

最后判断D选项。分析从A下滑至B这个过程，设AB长x.

A处能量：重力势能mgh 弹性势能0，动能0.

B处能量：重力势能mg（h-x）弹性势能Et，动能E1 摩擦力做功Q

有mgh= mg（h-x） Et E1 Q

解得E1=mgx- Et- Q…………3

再分析从B上滑至A这个过程：

B处能量：重力势能mg（h-x）弹性势能Et，动能E2

A处能量：重力势能mgh 弹性势能0，动能0，摩擦力做功Q

有mg（h-x） Et E2=mgh Q

解得E2= mgx- Et Q…………4

比较3式与4式，E2大于E1，上滑时经过B点的动能大于下滑，即上滑的速度大，D选项正确。如果我们用从B下滑至C、C上滑至B这两个过程，按能量守恒联立方程一样可以得出结论。需要注意，这个分析过程中，我们没有考虑重力及弹力做功对能量的改变。因为重力及弹力做功对应的就是重力势能、弹性势能的改变，不能重复计算。

可以看到，作为选择题最后一题，是有一定难度的。解题关键在于想清楚整个圆环运动过程，这样才能准确找出运用能量守恒的状态点。但需要分析出上滑与下滑摩擦力做功相等，这用到了微元法的思想，本质上是微积分。

可高考物理经常会出现超纲知识，对此我们只能去适应，在全面拿下中低档题的前提下适量做一些难题才是明智之举。

最后感谢同学们阅读这篇文章，如果能对各位有所帮助和启发，是我最大的荣幸。

轻轻名师黄老师