数学高中函数定义域小妙招（必备技能求解高中数学）

数学高中函数定义域小妙招（必备技能求解高中数学）c) 含参时，要分类讨论。b) 二次 – 利用“开口和对称轴位置”；或者利用配方法；(1) 常见函数求值域一般方法（分类归纳总结）① 一次/二次函数a) 一次 – 利用“端点”范围；

1. 基本问题说明

“求函数值域”是常见的基础应用之一。

该基础应用或者独立出题，如直接求值域、最值等，或者与其它基础应用综合在一起出题，如恒成立、存在性问题等，其求解时一般需要先求出值域或最值。

2. 解决问题的一般方法

(1) 常见函数求值域一般方法（分类归纳总结）

① 一次/二次函数

a) 一次 – 利用“端点”范围；

b) 二次 – 利用“开口和对称轴位置”；或者利用配方法；

c) 含参时，要分类讨论。

② 对勾函数（原理 - 均值不等式）

y=ax b/x（a>0 b>0）；ax=b/x时，得其第一象限最值点（√(b/a) 2√ab）

③ 分式函数

a) 简单一次分式函数y=c/(ax b)

先求分母，再求整体

b) 一般一次分式函数y=(cx d)/(ax b)

c) 二次分式函数

提示：判别式法，在满足条件——x的定义域为R时有通用的方法，即当分子或分母有二次，可两边同乘分母，再解判别式不等式即可得y的范围。

y=(ax2 bx c)/x

直接除后，如果ac>0，可以用对勾函数求解；如果ac<0，可以用单调性求解（提示：此时ax和c/x有相同单调性）

y=x/(ax2 bx c)

分子分母同除x，然后用上述一样思路求解即可。

y=(ax2 bx c)/(dx e)

换元t=dx e，然后类似上述方法解答。

y=(dx e) /(ax2 bx c)

换元t=dx e，然后分dx e=0和0两种情况；不等于0时可按类似上述方法解答。

④ 根式函数

只有一个根式时，如y=x √x， 可用换元法，t=√x；有些题也可用平方法——根式在一边，其余在等式另一边，再两边平方以去根号。提示：无论是换元还是平方，都要留意定义域的转化（传递要一致！）。

提示：其它常见基本初等函数，如反比例函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等，可利用这些函数的性质、结合区间端点等去求解（详见相关主题，这里不再赘述）。

(2) 求值域的常用方法

① 直接法– 适用于函数或其图像特性易观察或得到

直接利用函数性质和定义域，通过观察、分析求出值域

② 配方法– 适用于二次函数及其复合函数

③ 判别式法– 适用于二次函数

④ 换元法– 适用于根式、三角情形

复合函数思想，由内而外，一层一层求值域；反之，如果给定值域，求其它（如参数值），则由外而内去求！

⑤ 反函数法 – 适用于反函数的定义域更方便求得或表示，如分母含一次函数的分式

反函数的定义域为原函数的值域。

⑥ 单调性法 – 适用于求复合函数的值域或最值

根据单调性和定义域范围求解

⑦ 导数法– 适用于导数易求、零点和单调性易分析的情形

导数是用来求极值点和单调性的更便捷且通用的方法！因此用来求某些题型值域时很方便，有时还可避免不必要的讨论。

因复合函数求导后式子看上去很复杂，为了避免这种情况出现，可先换元，或则考虑改用其它方法。

⑧ 数形结合法（又称图像法）– 适用于某些客观题求解，或作为上述方法的辅助

⑨ 不等式法

利用重要不等式及其性质来求解，如基本不等式（均值不等式）。

⑩ 参数方程法(详见例题)

提示：需要时，先对函数整理、变换（如分离常数），以看清函数的特征及其适用方法；

提示：需要时，可多种方法结合使用。

提示：在学过选修2-2的导数部分后，同学们会掌握一种更具普遍适用性的方法——通过导数法求极值、最值或值域。

3. 典型例题

例1求函数y = 1/(1 x^2)的值域。

解：（直接法）因为1 x^2大于1 所以0<1/(1 x^2 )≤1

所以函数的值域为(0 1]。

例2求函数y= √(x 1) √(x-1)的值域

解：（单调性法）由题可知，该函数的定义域为[1 ∞)。

当x≥1时，该单数单调递增，而f(1)= √2

所以该函数值域为[√2

讲解：

① 本题示例了利用单调性求解值域的一般方法

(1) 先确定定义域，得其端点；

(2) 说明其单调性（递增或递减）；

(3) 代入端点得值域。

② 提示：端点或上、下界可以是∞。

例3 已知函数f(x)＝(2x2 bx c)/(x2 1)的值域为[1 3] 求实数b c的值。

讲解：

① 本题利用判别式法求解值域。提示：注意该通用方法的适用前提条件。

② 解题过程中，理解并将已知条件与判别式正确地联系起来是关键。

例4 求下列函数的值域：

(1) y=(2x 1)/(x-3)，

(2) y=x 2√(1 x)，

(3) y=(x^2-x 1)/(2x^2-2x 3)。

例5 求函数y=|x-3|-|x 1|的值域.

解：解法1：（数形结合法）可以分类

例6 求函数y=√(x-3) √(5-x)的值域.

解：（平方法）函数定义域为:x∈[3 5]

y^2=(x-3) (5-x) 2√(-x^2 8x-15)

由x∈[3 5]，得：(-x^2 8x-15)∈[0 1]

所以y^2∈[2 4]，又y>0，

所以所求值域为[√2 2]。

例7 求函数y=x √(1-x2)的值域

解：（参数方程法）

因为-1≤x≤1 设x=cosθ θ∈[0 π]

y=cosθ |sinθ|=cosθ sinθ=√2sin(θ π/4)∈[-1 √2]，

所以所求值域为[-1 √2]。

讲解：

例8函数y=x 1/x 1的值域

解：（基本不等式法）

当x>0时，x 1/x≥2

所以y≥3

当x<0时，x 1/x≤-2

所以y≤-1

综上可知，原函数值域为(-∞ -1)∪(3 ∞)。

例9求函数y=（4x 3）/(x^2 1)的值域。

本文小结:

① 本文论述了“函数值域"相关问题的求解一般方法与技巧。大家平时练习或作业中，应多加以应用和体会，查漏补缺，直至能够熟练掌握和应用这类问题的常用方法与技巧。

温馨提示：本文属于高中数学《集合与函数》模块第13讲。关注本号“轻快学习课堂”，可查阅其它已发表文章。