小学数学能力训练系列（小学数学提高训练）

小学数学能力训练系列（小学数学提高训练）解析：仔细观察，这2009个数不是随意排列的，每六个数重复一次，按1、4、2、8、5、7一个循环依次不断重复出现排列的。周期找到了，接着用总量除以周期，把余数与周期对比，很容易解答问题。（3）这2009个数相加的和是多少？例1．有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、、、、、、、（1）第2009个数是多少？（2）这列数字中，“2”会出现多少次

在日常生活中，有一些现象按照一定的规律不断重复出现，比如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环不断重复出现。这即为周期问题。

要解决这类问题，关键要抓住两点：

①找出规律，找出周期。即多少个（次）又出现重复

②用总量除以周期，看余数，余几就是周期里的第几个，没有余数就是最后一个。

例1．有一列数，1、4、2、8、5、7、1、4、2、8、5、7、、、、、、、

（1）第2009个数是多少？

（2）这列数字中，“2”会出现多少次

（3）这2009个数相加的和是多少？

解析：仔细观察，这2009个数不是随意排列的，每六个数重复一次，按1、4、2、8、5、7一个循环依次不断重复出现排列的。周期找到了，接着用总量除以周期，把余数与周期对比，很容易解答问题。

（1） 2009÷6=334、、、5，即重复了334次，还余5个数，分别是1、4、2、8、5。所以第2009个数就是5

（2）（1、4、2、8、5、7）重复了334次，“2”也就出现了334次，再加上余下的五个数中，“2”又出现了一次，所以，数字“2”总共出现了335次

（3） 我们把2009个数按每一组（1、4、2、8、5、7）这样分组，可以分成334组，还剩5个数，334组的数都相同，每组的和=1 4 2 8 5 7=27，那么这334组的总和是27×334=9018，再加上还余下的五个数，即为2009个数的总和了。

（1 4 2 8 5 7）×334 （1 4 2 8 5）=9018 20=9038

例2．求2×2×、、、×2（2008个2相乘）的个位数字

​解析：要想求和的个位数字，关键是要求出每个加数的个位数字。

先观察下2×2×、、、×2（2008个2相乘）个位数的特点，看是否有周期性，若有，则可根据周期问题的方法来解答

2 个位数字是2

2×2 个位数字是4

2×2×2 个位数字是8

2×2×2×2 个位数字是6

2×2×2×2×2 个位数字是2

可见，个位数字是按2、4、8、6不断循环重复，所以周期是4

2008÷4=502，没余数，个位数字就是最后一个：6

例3．2009年9月8日是星期二

（1）2009年9月27日是星期几？

（2）2009年12月25日是星期几？

（3）2012年10月1日是星期几？

解析：推算星期几的题目，第一要知道周期；第二也是最重要的是要学会计算天数。第三推星期几：总天数除以7，看余数，余几就从当天往后推几天。一周七天，不断循环重复，周期是7。计算天数时，遵守以下几个规律：①一个月之内的，尾减首就得天数②跨月的，先算整月再算零头天数③跨年的，先算整年再算整月最后算零头天数④有几个常识要清楚：1、月：3、5、7、8、10、12月为大月，31天；4、6、9、11月为小月，30天；2月平年28天，闰年29天；年：平年365天，闰年：366天，四年一闰，一般情况下能被4整除的是闰年，下面的为例外：能被100整除的但不能被400整除的是平年。3200年以及它的倍数年将不是闰年

（1）属一个月之内的。从9月8日到27日有 27-8=19天

19÷7=2（周）、、、、5（天）

从星期二往后推5天，就是星期日。

即2009年9月27日是星期日

（2）属跨月的。

先算整月：9月8日至10月8日至11月8日至12月8日，三个月共 30 31 30=91（天）

再算零头：12月8日至12月25日有 25-8=17天

所以，共有91 17=108（天）

108÷7=15（周）、、、3（天）

从星期二往后推三天，就是星期五

即2009年12月25日是星期五

（3）属跨年的

先算整年：2009.9.8--2010.9.8--2011.9.8--2012.9.8 三年共365 365 366=1096天

再算整月:2012.9.8—2012.10.8 一个月 共 30天

最后算零头: 2012.10.8—10.1 共8-1=7天

所以 共有 1096 30-7=1119天

1119÷7=159(周)、、、、6天

从星期二往后推六天，就是星期一

即2012年10月1日是星期一

例5．伸出你的左手，从大拇指开始，按大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指、、、、、的顺序依次数数字：1、2、3、、、、，问：数到2009时，你数在哪个手指上？

解析：我们先看数字规律，找出周期来。大拇指、食指、中指、无名指、小指、无名指、中指、食指、大拇指、食指、、、、、8个循环重复一次，周期是8

2009÷8=251、、、1

余几就是一个周期中的第几个。

所以，数到2009时，正好数到大拇指的位置上。

例4．一列数1、2、4、7、11、16、22、29、、、、。这列数左起第2009年数除以5的余数是几？

解析：由于是求余数，因此找出这列数除以5的余数规律是本题的关键。

1÷5 余数是1

2÷5 余数是2

4÷5 余数是4

7÷5 余数是2

11÷5 余数是1

16÷5 余数是1

22÷5 余数是2

29÷5 余数是4

从上可以看出余数的排列规律是：按1、2、4、2、1、、、、、每隔这五个数循环重复出现，周期是5

2009÷5=401、、、、4 余数是几就是一个周期中的第几个数

所以，第2009个数除以5的余数是2。

小结：解答周期性问题，需要我们具有较强的观察能力，能从数字变化中找出它的周期性变化规律。找周期是关键，找周期的方法往往从出发位置开始，看经过多少步以后又回到起始位置。对于一些较复杂的问题，我们可以借助画示意图或列举部分数字等方法帮助寻找周期。