高考全国卷数学压轴题类型（数学高考新课程全国卷压轴题特点分析与教学策略建议）

高考全国卷数学压轴题类型（数学高考新课程全国卷压轴题特点分析与教学策略建议）1．压轴题的求解“策略”二、压轴题中的要素分析【点评】通过上述的分析可以看出这种求解是自然的，考查的知识、技能都是最基本的；用到的数学思想方法也是常见的，关键是分析问题的能力．通过分析，不断地将问题转化，使得压轴题回归到数学的基础上来．【点评】例2与例1，虽然具体的表现形式不同，但是，比较两道题目的求解过程，其本质都是一致的．这种一致性正如历年“考试说明”中写到的，考查函数的概念和性质，考查导数的运算和利用导数研究函数性质的方法以及分类讨论的数学思想，考查学生灵活应用导数这一工具去分析、解决问题的能力等等．而这些考查点的核心是分析问题的能力．【点评】通过分析可见，这些压轴题考查的是数学的“四基”．每年都会有变化，但由分析能力掌控，通过分析，顺势而为，可以自然地求解．因此，通过分析，将压轴题分解回归到教材，回归到基本知识与技能，这是破解压轴题的秘籍．

薛红霞（山西省教育科学研究院）

摘要：剖析历年新课程全国卷压轴题中有代表性的试题，即2011年、2012年、2013年新课程全国卷理科第21题，发现压轴题考点的共性、困难所在、求解策略、需要具备的基本能力，由此总结出针对压轴题的教学策略：注重过程，回归基础注重联系，注重几何直观，注重分析问题的能力。

关键词：新课程全国卷；压轴题；解题策略；教学策略

压轴题——本文特指新课程全国卷理科的第21题，考什么？历年教育部考试中心出台的试题分析都会给出解释．比如，《高考理科试题分析（课程标准实验·2014年版）》第114页中写到：“本题考查函数的单调性和极值点的概念，考查求导公式和导数运算法则以及函数与方程的数学思想，考查学生灵活应用导数这一工具去分析问题、解决问题的能力．”在“命制过程”中写到：“……第（2）问将参数的范围与函数不等式结合起来，旨在考查学生利用导数工具分析、解决与函数有关的问题，为学生求解提供广阔的想象空间，对学生分析应用知识、寻找合理的运算策略以及推理论证能力提出较高要求……”

【点评】通过上述的分析可以看出这种求解是自然的，考查的知识、技能都是最基本的；用到的数学思想方法也是常见的，关键是分析问题的能力．通过分析，不断地将问题转化，使得压轴题回归到数学的基础上来．

【点评】例2与例1，虽然具体的表现形式不同，但是，比较两道题目的求解过程，其本质都是一致的．这种一致性正如历年“考试说明”中写到的，考查函数的概念和性质，考查导数的运算和利用导数研究函数性质的方法以及分类讨论的数学思想，考查学生灵活应用导数这一工具去分析、解决问题的能力等等．而这些考查点的核心是分析问题的能力．

【点评】通过分析可见，这些压轴题考查的是数学的“四基”．每年都会有变化，但由分析能力掌控，通过分析，顺势而为，可以自然地求解．因此，通过分析，将压轴题分解回归到教材，回归到基本知识与技能，这是破解压轴题的秘籍．

二、压轴题中的要素分析

1．压轴题的求解“策略”

根据上面的分析，我们可以大致概括出求解这类题目的 “策略”。

第一步，将问题转化为某类不等式问题．包括已知不等式在某个范围内成立，求其中参数的取值范围；或者是证明不等式在某个范围内成立等．

第二步，用函数的观点研究不等式．首先要直观分析函数的图象特征，规划求解的步骤．在此处通常需要分类解决，于是得到分类的初步方案．

第三步，转化为利用导数研究函数．根据第二步的分析，此处可能是利用导数求出函数的最值，也可能是根据导数满足的条件求出参数满足的关系式等等．在这一步也可能得到进一步分类的办法．如果含有多个变量，在这一步应该可以找到它们的关系，进而找到消元转化的办法．

第四步，求出最终的结果．

2．压轴题的“考查点”

有了“策略”，求解的思路是比较清楚的，但是依然很难攻克．在教学中如何应对压轴题呢？再来概括压轴题考什么？纵观7道压轴题，可以将它们的考点罗列如下：

考查的基本知识、技能有：基本初等函数的图象与性质，特别是（含参）二次函数的图象与性质；新函数（简单复合函数或基本初等函数经四则运算所得函数）的图象与性质；方程的根与函数关系；函数的零点；导数的定义及其几何意义，导数的计算等；利用导数研究函数的性质，导数图象与原函数图象之间的关系等．

考查的基本技能有：消元法；放缩法；整体求解；优化计算；分离常数法等

考查的基本思想方法有：分类讨论的数学思想方法；数形结合的数学思想方法；方程的数学思想方法；函数的数学思想方法；化归与转化的数学思想方法等．

考查的基本能力有：运算求解的能力；分析问题、解决问题的能力等．

3．求解压轴题的核心能力

以上两点中概括的策略和考查点之间的关系，可以用图1表示.

从图1可以看出，在求解压轴题时起决定作用的是分析问题的能力．在将新问题转化为旧问题，复杂问题转化为简单问题的过程中，数学思想方法起着重要的作用．而知识技能只有在具体求解时才能发挥作用．

4．压轴题之难所在

通过上面的分析可以看出，解决压轴题最终都回归到数学的“四基”与“四能”，独立地看每一步，都是一个基本的、简单的，类似于教材中练习难度的题目；就上述分析过程看，将它分解为一道道简单题目的思路的获得也是自然的，水到渠成的．但压轴题却让莘莘学子们望而却步，它到底难在何处呢？人教A版教材“主编寄语”中谈到“数学是难学的，也因为它是清楚的……在没有学会加法的时候就想学习乘法，那就要处处碰壁，学不下去了．”由此可见学习数学之难所在．解决压轴题更体现了这个特点．如果知识链条有断裂之处，那么，如图1中的转化就难以进行．即使知识没有欠缺，在转化的过程中，由于“路途遥远”，而且“崎岖难行”，哪一步有失误都难以回归到简洁的基础中．这就是压轴题之所以难的原因，这也是数学严谨性的体现．

三、压轴题的教学策略

1．注重过程

求解压轴题的核心能力是分析问题的能力，分析问题能力的培养脱离了具体的解题过程，只能是纸上谈兵，机械记忆．

压轴题的求解，关键是要不断地拆分转化．如何转化，这对数学思想方法运用的要求比较高．而对数学思想方法的理解、掌握和运用，也只能是在具体的解题过程中达成．所以，在实际的教学中，要舍得给学生自主探索的时间．要让学生尽量完整地经历题目求解办法的探索过程，获得解题经验，才能灵活地运用数学的思想方法，顺利地解决问题．在这样的教学过程中，培养学生独立思考，积极探索的习惯．

2．回归基础，注重联系

从压轴题的“考查点”可以看出，应对高考课标全国卷理科压轴题的教学策略之一必然是：回归基础．不论题目的外在形式是什么特点，要紧扣函数图象与性质的研究，通过分析，将问题转化为函数图象与性质的基本问题，从而求解．

因此在平时的教学中要注重落实函数、导数、不等式的基本知识和技能．并注重研究数学知识之间的联系．联系是数学转化的通道．孤立的数学知识是没有意义的，没有价值的．

3．注重几何直观

4．提高分析问题的能力

分析问题的能力运用的好，会觉得它很具体；不善于运用会觉得它很抽象遥远．根据上面的阐述可知，分析问题的能力是解决压轴题的核心能力．所以在实际教学中要引导学生多用分析法，根据压轴题的求解“策略”进行分析，通过分析，不断地将问题转化，最终获得解决办法．就在这样的分析探索中让学生的分析问题能力得到提高．

真正破解压轴题不是简单的题海训练．破解压轴题关键是要回归基础，要落实教学的基本过程，要理解数学的基本知识，感悟数学的基本思想，经历数学的基本过程，最终培养数学的基本能力．这正是数学教学的追求．

参考文献：

[1]曹才翰，章建跃．数学教育心理学[M]．北京：北京师范大学出版社，2002。

[2]祝妍．紧扣教材，解决压轴题[J]．中国数学教育（高中版），2014（10），56-60．