初中数学求线段差最大值问题：初中数学-提高篇

初中数学求线段差最大值问题：初中数学-提高篇此类问题是“将军饮马”问题的最简单转化。A、B两点为定点，在直线 MN上确定点P，使AP BP最小。一、两定一动（两定点，一动点）第二步：利用两点之间线段最短或垂线段最短的定理找出最短路径。第三步：求出最短路径的长度。我们将最常见的几种情况总结如下：

在勾股定理的应用中，我们学习了一类最短路径问题。然而还有一类最短路径问题也是我们常遇到的，即“将军饮马”问题。其衍生出的类型较多，但皆有规律可循，今天我们就探究一下。

“将军饮马”问题的原型是这样的：一位骑马的将军每天从营地A出发去河边饮马，并回到河同岸的营地B，如何走，才能使路程最短。

此类问题的解题思路如下：

第一步：作定点关于线段的对称点，以使几条线段能在同一直线上。

第二步：利用两点之间线段最短或垂线段最短的定理找出最短路径。

第三步：求出最短路径的长度。

我们将最常见的几种情况总结如下：

一、两定一动（两定点，一动点）

此类问题是“将军饮马”问题的最简单转化。A、B两点为定点，在直线 MN上确定点P，使AP BP最小。

作法：过A点作关于直线MN的对称点A1，连接A1和B点，与直线MN的交点P即所求（也可作B点关于直线MN的对称点，并与A相连） 且AP BP最小值等于A1B。

证明思路：在直线MN上任取一点P1(不与P重合)，连接AP，BP1，A1P1，只需证明AP1 BP1>AP BP即可。

因为MN是线段AA1的垂直平分线，所以AP=A1P，AP1=A1P1。根据两点之间线段最短可知A1P1 BP1>A1B。故AP1 BP1>AP BP。

例1：在边长为4的等边△ABC中，D、E为BC、AB上的中点，M为AD上的动点，连线BM，ME 则BM ME的最小值为（）。

解析：此为“两定一动”情况，定点B关于AD的对称点正好是C，连线C，E，与AD的交点为M，此时BM ME有最小值，且等于CE。BC=4，BE=2，利用勾股定理，易得CE=。

二、一定两动（一定点，两动点）

已知A为定点，B、C为MO、NO上的动点，试确定B、C两点的位置，使得AB BC最小。

作法：过A点作关于MO的对称点A1，过A1点作NO的垂线 垂足为C，交MO与B点，此两点即为所求。且AB BC最小值等于A1C。

证明思路：在MO，NO上任取B1和C1两点（不同时与B和C重合），只需证明AB1 B1C1>AB BC即可。

因为线段MO是垂直平分线段AA1，所以AB=A1B，AB1=A1B1，根据两点之间线段最短和垂线段最短可知：A1B1 B1C1>A1C1>A1C。故AB1 B1C1>AB BC。

例2：在Rt△ABC中，∠B=900 ∠BAC=600，AB=4，AD为∠BAC的角平分线，M、N为AD、AB上的动点，则BM MN的最小值为（）。

解析：此为“一定两动”情况，作B点作关于AD的对称点B1，因为AD为角平分线，所以B1定落在AC上。过B1作AB的垂线，交AD，AB于M，N点，此时BM MN有最小值，且等于B1N。在等边△ABB1中 BB1=4，BN=2，则B1N=。

三、 两定两动（两定点，两动点）

已知A B为定点，C、D为MO、NO上的动点，试确定C点和D点，使AC CD BD最小（或AC CD BD AB最小）。

作法：过A，B点分别作关于MO，NO的对称点A1，B1，连接A1，B1点，与MO，NO分别交于C，D两点。此两点即为所求，且AC CD BD最小值等于A1B1。

证明思路：在MO，NO上任取C1（不与C重合）和D1（不与D重合）两点，只需证明AC1 C1D1 BD1>AC CD BD即可。

因为线段MO，NO分别垂直平分线段AA1、BB1，所以AC=A1C，AC1=A1C1，BD=B1D，BD1=B1D1。根据两点之间线段最短可知A1C1 C1D1 B1D1>A1B1。故AC1 C1D1 BD1>AC CD BD。

例3：已知∠AOB=300，OD=5，OE=12，M、N为OB、OA上的动点，则DM MN NE的最小值为（）。

解析：此为“两定两动”情况，作定点D、E关于OB、OA的对称点D1，E1，连结D1，E1 与OB、OA的交点为M、N，此时DM MN NE有最小值，且等于D1E1。易知，△OEE1和△ODD1为等边三角形。且OE1=12，OD1=5 ∠E1OE=900，根据勾股定理，易得D1E1=13。

【小试牛刀】

1、在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，直线MN垂直平分AC，D是MN上一动点 △BCD的周长最小值为（）。

2、在面积为12的△ABC中，AB=AC=6，D点为BC的中点，E点为AD上一动点，且EF⊥AB，EB EF最小值为（）。

答案：（1）14 （2）4