数学立体几何大题第二问解题技巧：2022高考数学中的小学立体几何问题

数学立体几何大题第二问解题技巧：2022高考数学中的小学立体几何问题解：(1)记A到平面A1BC的距离为h 则代数法，就是给图形建空间坐标系，然后利用向量运算来解决。但这个图想直接建系也不太可能。还需要找到适合建系的原点。观察图形之后，发现B点可以做空间坐标系的原点。但仍需用几何证明的方法，证明AB，BC，和BB1两两互相垂直，才能用它们做坐标轴。下面开始组织解题过程：分析：(1)第一小题所求的距离，其实是三棱锥A1-ABC一个面A1BC上的高。而这个三棱锥与三棱柱ABC-A1B1C1有相同的底面ABC 又有同一条的高(是底面ABC上的高，不是上面所说的高)。而三棱锥的体积是同底等高的三棱柱体积的三分之一，也就是三分之四个立方单位。另一方面，由三棱锥的体积公式，已知一个面的面积，就可以求得这个面上的高，也就是我们要求的距离。这就是一个小学立体几何的问题嘛。(2)不过第二小题就没有那么容易了。直接作出二面角，用纯几何的方法来解决这个问题，恐怕有一定难度。

2022年高考数学全国卷I的立体几何大题，需要同时运用几何法和代数法来解决。第一小题用几何法，而且是小学的立体几何问题。整张卷子，不仅这一处，还有很多地方可以看到小学数学问题的痕迹。

如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的体积为4，△A1BC的面积为2根号2.

(1)求A到平面A1BC的距离；

(2)设D为A1C的中点，AA1=AB，平面A1BC⊥平面ABB1A1，求二面角A-BD-C的正弦值.

分析：(1)第一小题所求的距离，其实是三棱锥A1-ABC一个面A1BC上的高。而这个三棱锥与三棱柱ABC-A1B1C1有相同的底面ABC 又有同一条的高(是底面ABC上的高，不是上面所说的高)。而三棱锥的体积是同底等高的三棱柱体积的三分之一，也就是三分之四个立方单位。

另一方面，由三棱锥的体积公式，已知一个面的面积，就可以求得这个面上的高，也就是我们要求的距离。这就是一个小学立体几何的问题嘛。

(2)不过第二小题就没有那么容易了。直接作出二面角，用纯几何的方法来解决这个问题，恐怕有一定难度。因为老黄受限于空间想象能力的不足，所以只能用代数法来解决。

代数法，就是给图形建空间坐标系，然后利用向量运算来解决。但这个图想直接建系也不太可能。还需要找到适合建系的原点。观察图形之后，发现B点可以做空间坐标系的原点。但仍需用几何证明的方法，证明AB，BC，和BB1两两互相垂直，才能用它们做坐标轴。下面开始组织解题过程：

解：(1)记A到平面A1BC的距离为h 则

V三棱锥A1-ABC=hS△A1BC/3=V三棱柱ABC-A1B1C1/3=4/3

∴h=4/(2根号2)=根号2. 即A到平面A1BC的距离为根号2.

(2)取A1B的中点E 连接AE DE

则AE=根号2 AA1=AB=2 A1B=2根号2 【首先，AE就是点A到平面A1BC的距离。因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，AE在平面ABB1A1上，且垂直于两个平面的交线A1B，所以AE垂直于平面A1BC。另一方面，因为AA1=AB，因此三角形ABA1是等腰直角三角形，从而推出后面各条线段的长】

AE=A1B/2 AD=A1C/2 DE=BC/2 【其中前两个等式都可以由直角三角形斜边中线与斜边的关系得到，后面的等式是由三角形的中位线定理得到的。】

∴Rt△AED∽Rt△A1BC 【因为三边成比例，这里关键是推知三角形A1BC是一个直角三角形】

BC=2S△A1BC/AB=2 【直角三角形面积公式的变形】

又AE⊥BC，A1B⊥BC 所以BC⊥平面AA1B，所以BC⊥AB，【这就形成了建系的充分条件】

以B为原点 AB为x轴，BC为y轴，BB1为z轴，建立空间坐标系，则【三条坐标轴转换一下也没有什么关系，后面的坐标做出相应调整就可以了】

B(0 0 0) A(2 0 0) C(0 2 0) A1(2 0 2) D(1 1 1)

向量BD=(1 1 1) 向量BA=(2 0 0)

设平面ABD的法向量n=(x y z)，

则2x=0 x y z=0 解得：x=0 y=-z

取y=1，则向量n=(0 1 -1)，【只要y不取0就可以了，因为一个平面是有无穷多个 法向量的】

同理，求得平面BCD的法向量m=(-1 0 1)，

cosθ=|向量n*向量m|/(|向量n|*|向量m|)=1/2

sinθ=根号(1-(cosθ)^2)=根号3/2.

只要建立了空间坐标系，一切就水到渠成了。您能用纯粹的几何方法解决这个问题吗？请不吝分享出来哦！