微积分的基本公式讲解（五分钟MIT公开课-多元微积分）
微积分的基本公式讲解（五分钟MIT公开课-多元微积分）得到P的参数方程为：参数有很多种选择，这里使用角度代替时间参数t，这样可以使结果更加简单。等价于：常数项（-1，2，2）是t0时刻的位置，一次项（2，1，-3）就是向量P0P1，告诉了点应该移动的方向。得到了直线的参数方程，再来一个平面 x 2y 4z=7，平面和直线是否相交，交点在哪里。如何判断点相对于平面的位置。
Equations of Lines 直线的方程直线，可以用两个平面的交集表示，但这种方法并不高效率。更好的办法是把直线当作运动点的轨迹。轨迹就是 参数方程。
例：确定经过点 Q0=(-1 2 2) 和 Q1=(1 3 -1) 的直线。
定义Q(t)是一个移动点，在t=0时刻，在Q0点。在直线上做匀速运动，在单位时间内，到达点Q1。直线的方程问题就转化为当时刻为t的时候，点Q(t)在什么位置？
分别以x(t) y(t) z(t)表示Q(t)的坐标，可以得到直线的参数方程：
等价于：
常数项（-1，2，2）是t0时刻的位置，一次项（2，1，-3）就是向量P0P1，告诉了点应该移动的方向。
Intersection of a Line and a Plane 直线和平面的相交得到了直线的参数方程，再来一个平面 x 2y 4z=7，平面和直线是否相交，交点在哪里。如何判断点相对于平面的位置。
参数有很多种选择，这里使用角度代替时间参数t，这样可以使结果更加简单。
得到P的参数方程为：
仔细思考，摆线在接近底面底面候到底是什么样子？
想要知道原点处到底发生了什么，就要自己的研究参数方程了，首先要做的就是近似。大家都知道的是，当角度足够小的时候，
但是将这个近似代入原参数方程中，并不能提供好的结果，我们需要更加准确的近似：泰勒展开。
定理：
设 n 是一个正整数。如果定义在一个包含 a 的区间上的函数 f 在 a 点处 n 1 次可导，那么对于这个区间上的任意 x，都有：
其中的多项式称为函数在$a$处的泰勒展开式，剩余的 Rn(x) 是泰勒公式的余项，是 (x−a)^n 的高阶无穷小。
得到三角函数的三阶泰勒展开：
当半径为1，这时候的参数方程变成：
在原点处的斜率，当角度足够小时：
说明摆线在原点处有一个垂直的切线，选项是d。
Velocity and Acceleration 速度和加速度不用泰勒展开，换一个思路来研究点的运动，还是摆线，看看摆线的速度和加速度
位置向量 可以表示任意时刻的点的坐标，角度和时间成正比，半径为1，以单位速度运动的摆线：
速度向量（Velocity vector）：
在t=0时刻时，速度为0。
速率（speed）：
当t=pi时，瞬时速率最大，这是点的运动速度是轮子速度的两倍。
加速度（Acceleration）：
在 t=0 时刻时，
说明摆线在原点处只有垂直于x轴的向上加速度。
Velocity and Arc Length 速度和弧长单位切向量（unit tangent vector）：用来表示轨迹运动的方向。
弧长（arc length）：点运动沿着轨迹的长度。
求摆线的弧长，需要对速率进行积分
发现，这个积分不太容易算。怎么用向量的思想解决问题呢？重新来看速度向量，我们把它分解下
发现第一部分近似于切向量，第二部分是速率，为什么可以把第一部分近似为切向量，如图所示：
由于移动的距离s是位置向量的模，在单位时间段足够小时，就可以近似的认为两者的比例为单位切向量：
现在新的速度方程也是又有大小，又有方向，而且聪明的使用了切向量的概念。
例子：Kepler's Second Law 开普勒第二定律这个例子说明为什么用向量的方法去分析运动是很好的方法。
普勒第二定律：
1.每个行星的运动都保持在一个平面内。
2.在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都是相等的。
根据开普勒第二定律，叉乘的模是常数，向量叉乘的方向是常数。也就是：
加速度是和位矢平行的。由于加速度由万有引力引起的，这个力是永远指向施力物体的，也就是太阳。现在发现，在向量的观念里，开普勒第二定律和牛顿万有引力定律有着异曲同工的妙处。
