世界上四个最伟大的数学家，历史上最伟大的数学家--波恩哈德
世界上四个最伟大的数学家，历史上最伟大的数学家--波恩哈德黎曼对代数几何，微分几何，拓扑，数论的贡献仅仅是他工作的副产物和对他人的简单献礼，他主要研学的对象是欧拉，他是一名纯粹的分析及其应用工作者。同时他的工作时间非常短暂，结合这种狂热性的缺乏和非正式的投入，这证明了他既是一个平凡人，天赋又远远超越了一切制造幻象的人类的所谓天才。黎曼使得所有强者降卑。还记得阿提拉全面战争的那句话吗？不过凡人。黎曼姿态过低，这甚至导致了他不愿意去仔细检查而没有发现狄利克雷的错误。黎曼的工作态度一直是非常平凡，姿态低下的大众学生，讲师的态度，这导致我们几乎可以直接得到他在工作上应该缺乏一种高斯，欧拉式的狂热性，他对论文发表数量极少的谨慎态度也仅仅来自于友善和姿态低（自认为是普通人），而非是别的因素。数论Top3（解析数论，黎曼猜想），分析Top5-61851年博士论文《单复变函数的一般基础理论》 创立了黎曼面 阿尔福斯说：这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌
波恩哈德·黎曼(Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826年9月—1866年7月20日)，是德国著名的数学家，他在数学分析和微分几何方面作出过重要贡献，他开创了黎曼几何，并且给后来爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。
成就：
几何Top1
(参考丘成桐的广义相对论100周年演讲，里面说黎曼是现代几何的真正创始人，采访里他本人认为黎曼是历史上最伟大数学家）
数论Top3（解析数论，黎曼猜想），
分析Top5-6
1851年博士论文《单复变函数的一般基础理论》 创立了黎曼面
阿尔福斯说：这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，革新了代数几何，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。"
此外，建立了柯西－黎曼条件，真正使这方程成为复分析大厦的基石，揭示出复函数与实函数之间的深刻区别，黎曼映射定理。
1854年就职演说《论作为几何基础的假设》 不解释 流形，黎曼几何
1857年之一：超几何级数和常微分方程的重要研究
1857年之二：阿贝尔函数论深研究，得到黎曼-洛赫定理等，开创代数几何雏形
1859年 《论小于某给定值的素数的个数》 个人show
1861年 “巴黎之作” 继续发展黎曼几何
黎曼姿态过低，这甚至导致了他不愿意去仔细检查而没有发现狄利克雷的错误。黎曼的工作态度一直是非常平凡，姿态低下的大众学生，讲师的态度，这导致我们几乎可以直接得到他在工作上应该缺乏一种高斯，欧拉式的狂热性，他对论文发表数量极少的谨慎态度也仅仅来自于友善和姿态低（自认为是普通人），而非是别的因素。
黎曼对代数几何，微分几何，拓扑，数论的贡献仅仅是他工作的副产物和对他人的简单献礼，他主要研学的对象是欧拉，他是一名纯粹的分析及其应用工作者。同时他的工作时间非常短暂，结合这种狂热性的缺乏和非正式的投入，这证明了他既是一个平凡人，天赋又远远超越了一切制造幻象的人类的所谓天才。黎曼使得所有强者降卑。还记得阿提拉全面战争的那句话吗？不过凡人。
高斯
高斯：可以与欧拉比肩，在数论上当之无愧的史上第一，几何史上top5，在代数领域也做了阿贝尔，伽罗华之前的最强的成就，
在分析领域，也仅次于魏尔斯特拉斯，柯西，黎曼，阿贝尔等几人能稍微领先他。
在1840年以前，高斯在数论，几何，代数，分析四大数学领域里均做出了当时最顶尖的成就，拥有过属于自己的统治时代，这一点上也只有牛顿和欧拉做到过。
换言之，在1840年代群论和椭圆函数论逐渐崭露头角大放异彩之前，高斯是史上第一人毫无争议。
从广度与厚度以及全面性来看，高斯无疑可以说是史上第一人，可以说，高斯一个人做到了很多人一起做到的工作，堪称智力奇迹，但论及深度，精度，开创性，洞察力，颠覆性，高斯显然就逊色了，几乎在十九世纪近现代所有最重要数学标志性成果，竟然没有一项的发明权是属于高斯的！很惊异吧？在很多人眼里史上第一的数学家，竟然没有一项成果可以跻身19世纪最重要的顶级成果的行列！
近现代数学的标志性成果，黎曼几何、非欧几何、群论、椭圆函数论、复分析、分析基础严格化、复变函数论等等，没有一项是由高斯创立的！虽然高斯几乎在所有领域都作出了杰出的贡献，但他不是决定性的人物，群论归功于伽罗华和阿贝尔，椭圆函数论上阿贝尔，雅可比的工作超越了高斯，复分析与分析基础严格化以及复变函数论成就最大的是黎曼，柯西，魏尔斯特拉斯，虽然高斯被认为是非欧几何创始人之一，但他没有公开发表论文，而且完成度不如罗巴切夫斯基，鲍耶，虽然高斯引入曲率和测地线成为现代微分几何的奠基人，但将非欧几何、微分几何、椭圆几何大一统的黎曼几何是黎曼创立的，即使在高斯最强的数论领域，高斯所有数论的著作，没有一篇比得上黎曼猜想这篇仅仅八页纸的论文来的重要！而且高斯也只是统治了初等数论，对代数数论，解析数论贡献不大，甚至不如黎曼，戴德金，狄利克雷！
黎曼
黎曼：代表作黎曼几何(人类数学史，物理史，乃至思想史，史上最重要一次智慧与认知突破，对整个人类意义层面上来说，黎曼几何产生的时空观念，堪与牛顿力学，进化论，相对论，量子力学等相媲美，其重要意义远超过微积分和群论。)
黎曼曲面，流形(现当代数学，物理的最重要的数学构造和基础工具之一)，黎曼洛赫定理(当代代数几何乃至物理学的数学中心定理中心支柱之一)，
黎曼映射定理(听说过黎曼曲面的高维单值化定理吗？)，黎曼猜想(最重要的数学猜想，史上最惊艳的个人秀，单核碾压全时代数论学者包括高斯无压力，一篇仅仅八页的短文，160年前，迄今未被超越) 。
虽然说文无第一，但是从纯数学上来看黎曼的突破性和难度上是最大的，不考虑其它方面，仅仅从数学成就的角度来看，黎曼无论在重要性，影响力，颠覆性和突破性上，都远远超过高斯 欧拉 牛顿，换言之，黎曼在数学上的成就，大约等于高斯加欧拉再加上牛顿和庞加莱的总和，他们的差距大概这么远。难度上来说，黎曼以下的数学家，跟他差距都比较大，基本不在一个等级上，除了庞加莱在拓扑学难度上可以稍微接近之外。
那么说黎曼比高斯成就高的理由是什么？
（1）以黎曼命名的数学成果共有81个，仅次于高斯(110个)，欧拉(102个)，数学成果多少不是黎曼的主要贡献，黎曼对如何证明发现几十几百条各个数学分支的定理兴趣似乎不大，
黎曼只搞那些将几何，数论，分析等各类分支大一统的数学工具，重新改变数学的观念和定义！其他数学家停留在发现和研究数学，而黎曼直接是创造数学。
这就是黎曼比高斯，庞加莱，欧拉，牛顿强的原因！黎曼所做的都是数学史上最重要的工作，而这些工作只有黎曼一个人在做。
很多人说黎曼的主要成就是开创奠基了复变函数，非欧几何，解析数论，代数几何，拓扑学等等学科，这当然很伟大，也很形式化，但这个评价并不能准确评估黎曼的地位，如果黎曼只是开创了多少新学科，那么他的数学成就和地位不会比欧拉，高斯，庞加莱，希尔伯特，牛顿更高。
开创许多数学分支并不是黎曼的核心成就，黎曼的辉煌是来自他在开创这些分支时所发明的方法和数学构造，而这些数学构造却是联接几何，分析，拓扑，数论，乃至物理的工具，比如黎曼曲面，流形，黎曼罗赫定理，黎曼映射定理，无不是直接联接数学与物理的最重要的数学工具，很难想象当代一流的数学家或理论物理学家能够不用到这些基础而作出一流的工作。
黎曼的创造性的工作，使他成为史上迄今唯一统治了数论，几何，分析各大数学分支并为现代物理提供最强力数学构造的超神级数学家。唯一能够与黎曼接近的是庞加莱。虽然牛顿联接了分析与物理，但牛顿在数论，代数，几何上的成就太次，根本达不到水准之上；高斯和欧拉，柯西等人成果覆盖数论代数几何分析，号称全才，但和黎曼直接联结分支的工作比起来，就显得完全不是一个档次的工作了。
黎曼一篇八页的论文，就能干掉高斯除算数探索和曲面几何之外所有成果的总和了。
阿贝尔，伽罗华的群论抽代思想，既可以对数学全局具有统治力，也完美联结物理，本可以与黎曼抗衡，但他们的完成度太低，短命留下了数学史上最大遗憾。黎曼唯一的缺憾是没有对代数群论作出成果，影响了他真正大一统数学领域，但也留下了大手笔，请不要忘记，黎曼-罗赫定理是现代抽象结构代数几何的中心！
（2）黎曼从来不以证明定理、爆算能力著称，甚至不在乎证明的严格性。
黎曼只搞自由自在的创造！黎曼面，流形，度量，曲率张量，亏格，参模数，模空间，力即几何，空间弯曲，等等在当时看来稀奇古怪的数学新概念新观念，后来都被证明黎曼提出的新观念，新概念。这些才是数学物理的正确打开方式，才是数学物理走进现代的基石，如果没有黎曼凭空搞出来的这些奇怪的东西，现代数学和现代理论物理估计就完蛋了，相对论和量子场论恐怕就是民科了，现在最热门的物理理论分支弦理论绝对不复存在了。
而这些稀奇古怪的东西，在黎曼屈指可数的十几篇论文里俯拾皆是，这类新概念新观念，随便你发明了其中一个，都会成为中国第一乃至世界前几位的数学家！即使是他次一级的成就，比如柯西黎曼条件，黎曼积分，黎曼许瓦兹定理，黎曼泽塔函数等等等等之类，拿出来放在今天，也足以让任何一个数学家成为相关领域的顶尖学者！
高斯是古典数学的集大成者，并启发了现代数学，但带领数学走进现代化的，是黎曼，伽罗华，阿贝尔，其中黎曼，才是现代数学和物理大爆发的原点！
（3）黎曼对当代物理学影响深远，华人数学家丘成桐，陈省身，物理学家杨振宁都是黎曼的脑残粉。
丘成桐说中国学生中只要有人能完成黎曼一篇论文中的部分，这个人就能成为中国最伟大的数学家，虽然有点夸张，但也说明了黎曼的重大影响力。
杨-米尔斯理论实质就是黎曼-罗赫定理至今的终极应用，每一次对这个黎曼-罗赫定理的推广成功都是数学和物理的巨大进步，英国当代最伟大数学家阿蒂亚(Atiyah)认为，杨-米尔斯理论实际上是数学科学大统一的核心。
它是黎曼-罗赫-格罗腾迪克(Riemann-Roch-Grothendieck)定理的推广从而与代数几何相关，同时又将分析直接同拓扑及微分几何不变量联系起来。
数学金字塔Top3，深度黎曼，广度高斯，难度庞加莱，黎曼站在高斯肩膀上并全面超越，但黎曼之后的数学巨匠庞加莱，格罗滕迪克都无法彻底走出黎曼的阴影，奠定上面两人核心地位的拓扑和代数几何雏形都是黎曼开创的，这仅仅黎曼部分成就，而黎曼对发现数学新理论，新分支，解决难题没有兴趣，仅仅是提供新的数学概念，观念，想法，却奠定了黎曼祖师爷地位。
毕业院校-哥廷根大学
出生地-汉诺威王国亚梅尔恩布列斯伦茨
布列斯伦茨
1840年，黎曼搬到汉诺威和祖母生活并进入中学学习。
汉诺威
汉诺威和哥廷根
汉诺威和哥廷根相距127公里，大约一个半小时车程
代表作品-《单复变函数一般理论的基础》、《关于以几何学为基础的假设》等
1826年9月17日，他出生于汉诺威王国（今德国）的小镇布列斯伦茨（Breselenz）。他的父亲弗雷德里希·波恩哈德·黎曼是当地的路德会牧师。他在六个孩子中排行第二。他是个安静多病而且害羞的人，终生喜欢独处。
上中学的时候，由于被学校老师看重，允许他不用上数学课而随意看自己的书。黎曼曾经用了六天时间把《数论》研究清楚，这本有800多页的巨作，被一个上周上中学的孩子在几个月之后有条不紊的讲出来，这需要多么大的天赋啊。
更让哥廷根成为世人瞩目的科学中心的是其自然科学，尤其是数学。被称为“最重要的数学家”的高斯就于18世纪任教于此并开创了哥廷根学派。此后，黎曼、狄利克雷和雅可比在代数、几何、数论和分析领域做出了贡献。到19世纪，著名数学家希尔伯特和克莱因更是吸引了大批数学家前往哥廷根，从而使德国哥廷根数学学派进入了全盛时期。到20世纪初，哥廷根已成为无可争辩的世界数学中心和麦加圣地。当时全世界学数学的学生中，最响亮的口号就是“打起你的背包，到哥廷根去”。
19世纪末至20世纪初这一时期，哥廷根大学在全欧乃至世界上的学术地位达到了顶峰。在这半个世纪从这里走出的诺贝尔奖得主人数位居世界大学第八位，创造了“哥廷根诺贝尔奇迹”。是“没有校门和围墙的大学”拿破仑曾于此研习法律到20世纪初，哥廷根已成为无可争辩的世界数学中心和麦加圣地
历史：哥廷根大学曾经有非常辉煌的历史。历史上除了著名数学家高斯、黎曼、希尔伯特、克莱因、闵可夫斯基、冯·诺依曼等，有46位诺贝尔奖得主曾在此学习、工作或任教，如普朗克、海森堡、狄拉克、玻恩等量子力学先驱，2013年心理/医学奖得主Thomas C. Suedhof、2014年化学奖得主Stefan Hell等。知名校友还包括俾斯麦、格林兄弟、施罗德、季羡林、朱德等。
当前排名：US News #158；QS #195; ARWU #101-150 (2020年12月)
个人评价：底蕴很好，理科在几百年来人才辈出。由于所在州的经济不是很景气，学校的科研支持和基础设施建设受到了一些影响。德国学校普遍不那么重视"刷排名"这个事儿，所以学生能够享受的教育水准和科研条件，应该是要高于学校的排名的。在部分领域，特别是当地有马普所的学科(例如马普生物物理化学研究所、马普动力学和自组织研究所、马普实验医学研究所等)，科研实力仍然是世界顶尖的。
哥廷根大学知名华人校友中国人民解放军总司令 - 朱德元帅
语言学家 - 季羡林（在世时曾被奉为中国大陆的“国学大师”、“学界泰斗”、“国宝”，梵文研究尤其出色，哥廷根大学哲学博士）
中国著名科学家 - 王淦昌（哥廷根大学学习过）
这一时期，正是德国大学处于世界学术最顶端、最辉煌的时期。欧美各国的学生纷纷以去德国留学为荣，尤其是哥廷根大学和柏林大学。当时，如果一位学者没有德国的学习经历，会被认为没有受过完整的学术训练。而德语也成为了国际通用的学术语言，甚至英美国家的许多论文都是直接以德语命名的。
哥廷根大学是科英布拉集团的成员之一（即Coimbra Group，简称CG，是由39所欧洲最古老且富盛望的精英大学组成的集团）
德国15所大学宣布成立U15大学联盟，哥廷根大学也是其中的一员。U15大学联盟成员是：哥廷根大学、柏林自由大学、柏林洪堡大学、慕尼黑大学、海德堡大学、科隆大学、图宾根大学、弗莱堡大学、波恩大学、法兰克福大学、汉堡大学、莱比锡大学、美因茨大学、明斯特大学、维尔茨堡大学
“哥廷根仿佛是我的第二故乡。”在《留德十年》一书中，季老这样定义他当年远赴德国哥廷根大学的留学经历。
1935年，青年学子季羡林赴德留学，开始了十年羁旅生涯。数十年后，学术泰斗季先生已近耄耋之年，忆及往昔，遂写下一部《留德十年》，以时间的脉络，记述了先生当年抛家傍路赴德求学的经过。在赫赫有名的哥廷根大学，先生几经辗转选定印度学为主修方向，遂对其倾注热情与辛劳，最终获得博士学位，也由此奠定了毕生学术研究的深厚根基。在此过程中，先生饱尝了第二次世界大战的阴霾带来的戏剧性苦难，而于苦难之外，又更难忘学长深思，友人情深。
费顾哈校长曾告诉记者，在哥廷根大学，“逢人必知季羡林，他是我们学校的骄傲，我们将永远尊敬和怀念他。”他的著作《留德十年》已被译成德文，“这将使我们国家的人民永远记住他。”
1847年春，黎曼转到柏林大学，投入雅戈比、狄利克雷和Steiner门下。两年后他回到哥廷根。
1851年，在柏林大学获博士学位
柏林大学
1851年，论证了复变函数可导的必要充分条件( 即柯西-黎曼方程) 。借助狄利克雷原理阐述了黎曼映射定理 ，成为函数的几何理论的基础。
证明过程1
证明过程
柯西-黎曼微分方程是提供了可微函数在开集中为全纯函数的充要条件的两个偏微分方程，以柯西和黎曼得名。这个方程组最初出现在达朗贝尔的著作中。后来欧拉将此方程组和解析函数联系起来。 然后柯西采用这些方程来构建他的函数理论。黎曼关于此函数理论的论文于1851年问世。
1853年，定义了黎曼积分并研究了三角级数收敛的准则。
1854年，发扬了高斯关于曲面的微分几何研究，提出用流形的概念理解空间的实质，用微分弧长度的平方所确定的正定二次型理解度量，建立了黎曼空间的概念，把欧氏几何、非欧几何包进了他的体系之中。黎曼在格丁根大学发表的题为《论作为几何学基础的假设》的演说，创立了黎曼几何学。黎曼将曲面本身看成一个独立的几何实体，而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体。
亚历山大里亚的欧几里德（希腊文：Ευκλειδης ，约公元前330年—前275年），古希腊数学家，被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世（公元前323年－前283年）时期的亚历山大里亚，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，提出五大公设，发展欧几里德几何，被广泛的认为是历史上最成功的教科书。 欧几里德也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。
1915年，A.爱因斯坦运用黎曼几何和张量分析工具创立了新的引力理论——广义相对论。
1857年，初次登台作了题为“论作为几何基础的假设”的演讲，开创了黎曼几何，并为爱因斯坦的广义相对论提供了数学基础。
1857年，发表的关于阿贝尔函数的研究论文，引出黎曼曲面的概念 ，将阿贝尔积分与阿贝尔函数的理论带到新的转折点并了做系统的研究。其中对黎曼曲面从拓扑、分析、代数几何各角度作了深入研究。创造了一系列对代数拓扑发展影响深远的概念，阐明了后来为G.罗赫所补足的黎曼-罗赫定理。1857年，升为哥廷根大学的编外教授。
1859年，接替狄利克雷成为教授。并发表论文《论小于某给定值的素数的个数》，提出黎曼假设。研究了黎曼ζ函数，给出了ζ函数的积分表示与它满足的函数方程，他指出素数的分布与黎曼ζ函数之间存在深刻联系。这一关联的核心就是J(x)的积分表达式
1862年，他与爱丽丝·科赫（Elise Koch）结婚
他是世界数学史上最具独创精神的数学家之一，黎曼的著作不多，但却异常深刻，极富于对概念的创造与想象。
黎曼的著作主要有：《单复变函数一般理论的基础》《关于以几何学为基础的假设》《借助三角级数表示函数的可能性》《数学物理的微分方程》(与韦伯合著)、《椭圆函数论》《引力、电、磁》《不超过已知数的素数的数量》等
代表作品
《单复变函数一般理论的基础》、《关于以几何学为基础的假设》等
现今数学七大难题之一——黎曼猜想
黎曼猜想（或称黎曼假设）是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想，由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出。德国数学家戴维·希尔伯特在第二届国际数学家大会上提出了20世纪数学家应当努力解决的23个数学问题，其中便包括黎曼假设。现今克雷数学研究所悬赏的世界七大数学难题中也包括黎曼假设。 [1]
虽然在知名度上，黎曼猜想不及费尔马猜想和哥德巴赫猜想，但它在数学上的重要性要远远超过后两者，是当今数学界最重要的数学难题，当今数学文献中已有超过一千条数学命题以黎曼猜想（或其推广形式）的成立为前提。
2018年9月，迈克尔·阿蒂亚声明证明黎曼猜想，于9月24日海德堡获奖者论坛上宣讲。 [1-4] 9月24日，迈克尔·阿蒂亚贴出了他证明黎曼假设（猜想）的预印本，但是这一证明并不成立 [5] 。
曾经凭几篇几篇论文就可以创造和改变数学，几乎每一篇论文都产生了革命性的影响。尽管他的一生很短暂，但他对现代数学产生了目前为止最高的影响，为后世数学家的研究奠定基础
波恩哈德·黎曼，德国数学家、物理学家，对数学分析和微分几何做出了重要贡献，其中一些为广义相对论的发展铺平了道路。他的名字出现在黎曼ζ函数，黎曼积分，黎曼引理，黎曼流形，黎曼映照定理，黎曼-希尔伯特问题，黎曼思路回环矩阵和黎曼曲面中。
黎曼猜想与费马大定理已经成为广义相对论和量子力学融合的m理论几何拓扑载体。
数学是科学的皇后，数论是数学的皇后。----高斯
未完待续
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