几何分析与微分几何：分形几何探讨

几何分析与微分几何：分形几何探讨第一轮“增生” 设初始正三角形的边长为a_0，周长和面积分别为p_0和A_0。显然，经过第 k 轮“增生”后，周长有增有减，且增加的部分大于减少的部分，而面积只增不减。设周长的（净）增加值为Δp_k，面积的增加值为ΔA_k（k=1，2，......，n）。 对于日常生活中的直观图形，随着分形的不断深入，图形的总周长和面积将呈现何种趋势？现以正三角形的分形为例进行探讨。图3. 正三角形的分形图 对正三角形的各边三等分，以中间一份的长度为边长作新的正三角形。依次进行下去，对新增的正三角形各边三等分，再以中间一份的长度为边长向外“增生”新的正三角形。下面推导经过 n 次“增生”后，整个图形的周长（实线部分）和面积。

1.何谓分形？

顾名思义，分形是对几何图形的局部细分，而这种细分可以无限进行。自然界的许多景物呈现出这种特点。例如椰菜花（图1）、肺组织（图2）。

图1. 椰菜花

图2. 肺组织

对于日常生活中的直观图形，随着分形的不断深入，图形的总周长和面积将呈现何种趋势？现以正三角形的分形为例进行探讨。

图3. 正三角形的分形图

对正三角形的各边三等分，以中间一份的长度为边长作新的正三角形。依次进行下去，对新增的正三角形各边三等分，再以中间一份的长度为边长向外“增生”新的正三角形。下面推导经过 n 次“增生”后，整个图形的周长（实线部分）和面积。

设初始正三角形的边长为a_0，周长和面积分别为p_0和A_0。显然，经过第 k 轮“增生”后，周长有增有减，且增加的部分大于减少的部分，而面积只增不减。设周长的（净）增加值为Δp_k，面积的增加值为ΔA_k（k=1，2，......，n）。

第一轮“增生”

第二轮“增生”

第 n 轮“增生”

总周长为

总面积为

随着分形的无限深入，

可见，对于这种分形方式的无限进行，总周长和总面积均趋于有限值。